2025届东北师大附中高三联合模拟考试数学试卷及参考答案

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A．B．C．D．
2．若集合，集合，则的非空真子集个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知向量，，满足，则实数（ ）
A．2B．C．D．0
4．已知一组数据是公差为的等差数列，若去掉首末两项，后，则（ ）
A．平均数变大B．中位数没变C．方差变大 D．极差没变
5. 已知动点到定点的距离之和为4，直线与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B． C． D．
6．若 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知菱形的边长为，对角线AC与BD相交于O，以为折痕把折起，使点到达点的位置，使.若点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知指数函数，若有且只有两个不等根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数的定义域为，则（ ）
A．B．
C．是奇函数D．是偶函数
10．已知曲线，则（ ）
A．曲线C关于原点对称
B．曲线C上任意点P满足（O为坐标原点)
C．曲线C与有且仅有两个公共点
D．曲线C上有无数个整点（整点指横纵坐标均为整数的点）
11．设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，
即，其中为有理数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．二项式，若，则 .
13．已知数列满足，则 ．
14. 已知双曲线C：的左焦点为，点在右支上且关于轴对称，为正三角形，O为坐标原点，且，则双曲线的离心率e为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在中，角的对边分别为，若成等差数列，且.
求的值；
若，求的面积.
16．已知曲线在处的切线方程为．
(1)求；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
17．如图，三棱锥中，，平面平面，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若为钝角，且二面角的大小为45，求.
18. 在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量，定义协方差为.将号码分别为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球.
(1)求1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中的概率；
(2)记所放小球号码与盒子号码相同的个数为，不同的个数为，求证：；
(3)结合实例，解释协方差的实际含义.
19．已知的两个顶点，，点G为的重心，边上的两条中线的长度之和为6，记点G的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)若点P是曲线E上的任意一点，，，，，直线PC，PD与x轴分别交于点M，N．
①求的最大值；
②判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，求出它的最大值．
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