初中数学沪科版（2024）七年级下册7.1 不等式及其基本性质精练

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考点1 不等式的基本性质
1．（2023秋·河南信阳·七年级统考期末）下列变形，符合等式性质的是（ ）
A．由得B．由得
C．由得D．由得
思路引领：根据等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
A、∵，∴，故本选项错误；
B、∵，∴，故本选项错误；
C、∵，∴，故本选项错误；
D、∵，∴，故本选项正确．
故选D．
总结提升：本题考查的是等式的性质，解题的关键是熟记等式的两个基本性质．
2．（2021春·四川成都·八年级校考期中）若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
思路引领：根据不等式的性质，不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，由此即可求解．
解：选项，在两边同时加上，得，故A选项一定成立，不符合题意；
选项，在两边同时乘以正数，得，故B选项一定成立，不符合题意；
选项，在两边同时除以正数，得，故C选项一定成立，不符合题意；
选项，如：当时，，故D选项不一定成立，符合题意；
故选：．
总结提升：本题主要考查不等式的性质，理解和掌握不等式的性质是解题的关键．
3．（2022春·河南新乡·七年级校考期末）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
思路引领：根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
解：A、则，故该选项不成立，不符合题意；
B、，则，故该选项成立，符合题意；
C、，不能判断，故该选项不成立，不符合题意；
D、，当时，；当时，；故该选项不成立，不符合题意；
故选：B．
总结提升：本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
4．（2021春·河南郑州·八年级郑州市郑中国际学校校考期中）如果的解集是，那么的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．是任意有理数
思路引领：已知的解集是，根据不等式的基本性质3 可得，解不等式即可求得m的取值范围.
解：∵的解集是，
∴，
∴
故选B.
总结提升：本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解决问题的关键．
5．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）若，且，则的取值范围是_____．
思路引领：根据不等式的基本性质解答即可．
解：，且，
，
解得．
故答案为：．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
6．（2021春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）若，那么______（填“>”“
总结提升：此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质．
7．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）已知，请比较与的大小，并说明理由．
思路引领：根据不等式性质1和不等式性质2进行变形即可证明．
解：，理由如下：
∵，
∴（不等式性质2），
∴（不等式性质1）．
总结提升：本题考查了不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质，并能根据性质对不等式进行变形．
考点2 不等式的其他性质
8．（2023春·八年级单元测试）下列说法错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
思路引领：根据不等式的性质判断即可．
解：A、不等式两边都加上4，不等号的方向不变，即，原变形正确，故该选项不符合题意；
B、不等式两边都乘，不等号的方向不变，即，原变形正确，故该选项不符合题意；
C、不等式两边都乘，必须规定，才有，原变形错误，故该选项符合题意；
D、不等式两边都加上5，不等号的方向不变，即，所以，原变形正确，故该选项不符合题意．
故选：C．
总结提升：本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
9．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）都是实数，且，则下列不等式的变形正确的是（ ）
A． B．
C．D．
思路引领：根据不等式的性质，进行计算即可解答．
解：A、，
，故此选项不符合题意；
B、，
，
，故此选项不符合题意；
C、，
，故此选项不符合题意；
D、，
∴，故此选项符合题意；
故选：D．
总结提升：本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
10．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：利用不等式的基本性质判断即可．
解：∵，
当,，且时，，
即，选项A不符合题意；
当时，，选项B不符合题意；
∵，
当,，且时，，
∴选项C不符合题意；
∵，
∴，即，选项D符合题意．
故选：D．
总结提升：此题考查了不等式的性质，不等式的基本性质：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变；同时乘同一个负数，不等号方向改变．
11．（2022秋·浙江·八年级期中）若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C．D．
思路引领：根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解．
解：A、不等式的两边都减去2021可得，原变形正确，故本选项不符合题意；
B、不等式的两边都乘以可得，原变形正确，故本选项不符合题意；
C、不等式的两边都除以c，只有才可得，所以，不等式不一定成立，故本选项符合题意；
D、不等式的两边都加上c可得，原变形正确，故本选项不符合题意．
故选：C
总结提升：本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：(1)不等式两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）若，，，则__0．
思路引领：先判断出，然后不等式的两边都乘以负数c，不等号的方向改变．
解：因为，，
所以，
因为，
所以．
故答案为：．
总结提升：本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质，三个性质如下：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
13．（2022秋·浙江·八年级专题练习）若，那么__（填“＞”“＜”或“＝”）．
思路引领：根据不等式的性质3得出答案即可．
解：∵，
∴，
故答案为：＞．
总结提升：本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质3（不等式的两边都乘同一个负数，不等号的方向改变）是解此题的关键．
14．（2022秋·浙江·八年级专题练习）说出下列不等式的变形依据．
(1)若，则；
(2)若，则；
(3)若，则．
思路引领：（1）根据不等式的性质变形；
（2）根据不等式的性质变形；
（3）不等式的性质变形．
（1）解：根据不等式的性质，不等式的两边同时减去．
（2）解：根据不等式的性质，不等式的两边同时除以．
（3）解：不等式的性质，不等式的两边同除以．
总结提升：本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
二、易错点
易错点1：忽视第一个0（系数不等于0）
（错因刨析）从不等式的基本定义出发，一定要注意一次项前面的系数不等于0.
15．（2022秋·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）若方程是关于的一元一次方程，则______．
思路引领：关于的一元一次方程，则的系数不能为零，指数为，由此即可求解．
解：根据题意得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
总结提升：本题主要考查一元一次方程的定义，绝对值的性质，掌握一元一次方程的定义，绝对值的性质是解题的关键．
易错点2：忽视第二个0（因式不等于0）
（错因刨析）不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。但是在做题目时，还要注意不等式左右两边乘以（或除以）的式子能不能等于0.
16．（2022春·黑龙江大庆·八年级统考期末）若不等式的解集为，则必须满足（ ）
A．B．C．D．
思路引领：根据不等式在系数化1时，不等号的方向不变，可知x的系数大于0，进行解题即可．
解：∵不等号的方向不变，
∴，
∴，
故选B．
总结提升：本题考查了不等式的性质，掌握不等式两边同时除以同一个正数，不等号的方向不变是解题的关键．
17．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）若不等式的解集是，则的取值范围为____．
思路引领：根据不等式的性质，可知a-3＜0，据此即可作答．
将两边同时除以a-3，解得不等式为x＜1，
即可知不等式两边同时除以a-3，不等号方向发生改变，
即a-3＜0，
即a＜3，
故答案为：a＜3．
总结提升：本题主要考查了不等式的性质．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若，那么；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若，且，那么或；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若，且，那么或．
三、拔尖角度
角度1 利用不等式的性质比较整式的大小
18．（2020秋·广西梧州·七年级校考期中）若，则的大小关系是__________．（用>连接）
思路引领：根据a的取值范围利用不等式的基本性质判断出，的取值范围，再用不等号连接起来．
解：∵0＜a＜1，
∴0＜a2＜a，1，
∴a＞，
故答案为：a＞．
总结提升：本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
19．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）已知，则的大小为_______．（用“>”连接）
思路引领：利用不等式的性质，由b＜a＜0，可得，，由此即可判断．
解：∵b＜a＜0，
∴，，
∴，
故答案为：．
总结提升：本题考查不等式的性质，解题的关键是灵活应用不等式的性质解决问题．
角度2 利用不等式的性质确定字母的取值范围
20．（2022春·陕西西安·八年级统考期中）已知不等式的解集为，则a的取值范围为________．
思路引领：直接利用不等式的性质，得出a+1＜0，进而得出答案．
解：∵不等式（a+1）x＞2的解集是，
∴ a+1＜0，
解得：a＜-1．
故答案为：a＜-1．
总结提升：此题主要考查了不等式的性质，正确得出a+1的符号是解题关键．
21．（2022秋·八年级单元测试）若不等式（m﹣1）x＞1的解集是x＜，则m的取值范围是 _____．
思路引领：根据不等式的基本性质3即可得．
解：∵（m﹣1）x＞1的解集是x＜，
∴m-1