2025亳州第二完全中学高二上学期第二次月考数学试题含解析

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，把答案填涂到答题卡上对应题目的标号下.如需改动，用橡皮擦干净后，再填写其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）
1. 直线的倾斜角和斜率分别是（ ）
A. ，B. 、C. ，不存在D. 不存在，不存在
2. 用数字 组成三位数，各数位上的数字允许重复，则满足条件的三位数的个数为（ ）
A. 12B. 24C. 48D. 64
3. 已知直线，若，则实数 （ ）
A 1B. 3C. 1或3D. 0
4. 若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线与两坐标轴分别交于两点，如果△的面积为，那么满足要求的直线的条数是（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（ ）
A. 48种B. 40种C. 32种D. 24种
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点，若点在焦点为的抛物线上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选题）下列说法中，正确有（ ）
A. 已知直线：，始终过定点
B. 直线在轴上的截距是
C. 直线的倾斜角为30°
D. 过点并且倾斜角为90°的直线方程
10. 如图，在棱长为1的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B 若，则平面
C. 若，，则平面
D. 若，时，直线与平面所成角为，则
11. 已知为双曲线的右焦点，经过点的直线交的两条渐近线于两点，为坐标原.若，则以下说法正确的是（ ）
A. 是的角平分线B.
C. 两条渐近线夹角的余弦值为D. 双曲线的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知三角形的三个顶点，，，则的高CD所在的直线方程是______.
13. 某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是___________.
14. 已知点是抛物线上一点，点是的焦点，动点，在上，且，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知坐标平面内两点.
（1）当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围；
（2）若直线的方向向量为，求的值.
16. 计算下列各式．
（1）；
（2）；
（3）解方程：.
17. 已知圆：.若直线：与圆相交于A，B两点，且.
（1）求圆的方程；
（2）请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为点的坐标，求过点与圆相切的直线的方程.
①；②.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是的中点．
（1）求证：平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（3）在棱上是否存在一点，使直线平面？若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由．
19. 已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点(不过点).
（1）若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积.
（2）若，求直线的方程；
（3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点，并求出此定点.