2024-2025学年上海市吴淞中学高一（上）数学期末试卷+解析

这是一份2024-2025学年上海市吴淞中学高一（上）数学期末试卷+解析，共13页。试卷主要包含了填空，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，3}，则A∩B=______．
【答案】{2，3}
【解析】
【分析】根据集合的交集的概念，即可求解，得到答案.
【详解】解：∵集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，3}，
∴A∩B={2，3}．
故答案为（2，3}．
【点睛】本题主要考查了交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题，着重考查了推理与运算能力.
2. 与2019°终边相同的最小正角是_________
【答案】219°
【解析】
【分析】把2019°角化成360º的整数倍加上一个正角而得.
【详解】2019º=5360º+219º，所以与2019°终边相同的最小正角是219º.
故答案为：219º
3. 函数的零点是___________.
【答案】
【解析】
【分析】函数的零点指的是使得函数值为0的自变量 的值，令，解得，即零点为.
【详解】令， ，即，解得 ，即函数零点为.
故答案为：
4. 若扇形的弧长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为_________ ．
【答案】9
【解析】
【分析】直接根据扇形的弧长公式，面积公式求解.
【详解】设扇形弧长为，半径为，面积为，圆心角的弧度为，根据题干数据及弧长公式可得：，根据面积公式可得：
故答案为：9.
5. 角的终边在第二象限，，则_____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件，利用诱导公式及平方关系可求出的值，再利用诱导公式及商数关系，即可求解.
【详解】因为，又角的终边在第二象限，
所以，
所以，
故答案为：.
6. 已知，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由题设求出，再由正弦倍角公式即可计算求解.
【详解】因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：
7. 当，_____．
【答案】或，
【解析】
【分析】由辅助角公式可得，再取角即可.
【详解】因为，
所以，
即，
所以或，
即或，
故答案为：或.
8. 在中，若，，，则的面积是________．
【答案】
【解析】
分析】根据余弦定理求，再根据三角形面积公式求结果.
【详解】因为,
所以（负值舍去）
因此面积是
故答案为
【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
9. 已知，则___．
【答案】
【解析】
【分析】利用两角和、差的余弦公式可求的值，从而可求的值，利用对数的运算性质可求的值.
【详解】因为，所以，
所以，故，
所以.
故答案为：
10. 甲同学碰到一道缺失条件的问题:“在中，已知，试判断此三角形解的个数."查看标准答案发现该三角形有一解.若条件中缺失边，那么根据答案可得所有可能的的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理得到,再由三角形只有一个解,可得的范围,进而求解即可
【详解】由题,由正弦定理可得,则,
因为三角形有一解,则或,则或
故答案为
【点睛】本题考查利用正弦定理处理三角形的个数问题,考查数形结合思想
11. 已知是定义域为的偶函数，，且当时，（是常数），则不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据以及奇偶性计算的值，然后根据奇偶性和单调性解不等式.
【详解】因为是偶函数，所以，
所以，所以；
又因为时是增函数且，
所以时是减函数且；
所以，解得，即不等式的解集为，
故答案为：
12. 已知函数 若对任意实数，总存在实数，使得 则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】以二次函数的对称轴为标准分与讨论，求解即可.
【详解】当时，因为对任意实数，总存在实数，使得
所以，解得，
当时，由，解的，
综上：实数的取值范围是：.
故答案：.
二、选择题（本大题满分12分，每小题3分）
13. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A．
考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．
14. “是第二象限角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由充分条件和必要条件定义，结合三角函数的定义判断即可.
【详解】充分性：若是第二象限角，则，，可推出，充分性成立；
必要性：若，即与异号，则为第二象限或第三象限角，必要性不成立；
故选：A
15. 在中，，以为圆心，为半径作圆弧交于点，若弧等分的面积，且弧度，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析题意，首先设出扇形的半径，表示出扇形的面积和直角三角形的面积，列方程即可求得.
【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为.
直角三角形POB中，，△POB的面积为.
由题意得，所以.
故选：B
16. 设是含数2的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】问题相当于圆上由12个均匀分布的点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，利用排除法，若时，圆上有部分关于轴对称的点，即一个对应2个，不满足函数的定义，从而可得结果.
【详解】问题相当于圆上由12个均匀分布的点为一组，
每次绕原点逆时针旋转个单位后会与下一个点重合，
我们可以通过代入和赋值的方法当时，
这12 个点对应的圆心角分别为，
然而此时有5组关于轴对称的点，即一个对应2个，
因为函数的定义要求一个只能对应一个，排除选项，
因此只有当时，旋转后得到的12个点，没有任何两个点关于轴对称，
此时每个都满足一个只会对应一个.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将问题转化为“问题相当于圆上均匀分布12个点,且都不关于轴对称”.
三、解答题
17. 已知
（1）求的值；
（2）求的值
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由两角差的正切公式即可计算求解；
（2）由倍角公式和两角和的余弦公式结合商数关系即可计算求解.
【详解】（1）；
（2）
.
18. 在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小；
（2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理，得，
即，即.
因为在中，，
所以.
又因为，所以.
【小问2详解】
因为的面积为，
所以，得.
由，即，
所以.由余弦定理，得，即，
化简得，所以，即，
所以的周长为.
19. 如图A、B是半径为2，圆心在原点的圆O上的点，且点在第二象限． C是圆O与轴正半轴的交点，为等边三角形，以射线OB为终边的角为．
（1）试用表示点B的坐标；
（2）若，求及线段的长度
【答案】（1）；
（2），.
【解析】
【分析】（1）由三角函数的定义即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得，然后结合正弦的和差角公式代入计算，再由余弦定理即可得到的长度.
【小问1详解】
因为圆的半径为，为等边三角形，所以，
以射线为终边的角，由三角函数的定义可得，
，所以.
【小问2详解】
因为三角形为等边三角形，所以，
，且为第二象限角，所以，
则，
所以
在中，由余弦定理可得，
，
.
20. 已知，函数；
（1）当时，解不等式；
（2）若函数的值域为，求的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得到对数不等式，求解不等式即可；
（2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数的不等式，求解即可.
【小问1详解】
由已知a=2 时，
不等式 等价于 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以不等式 的解集为 ．
【小问2详解】
因为函数 的值域为，
即 的值域为，
故 能够取到一切大于0的实数，
当时, ,不符合题意；
当 时，
，不符合题意；
当 时，根据二次函数的图象和性质可得
，解得或，所以；
综上所述：的取值范围是．
21. 已知函数（其中a为常数）．
（1）当a=1时，求f（x）在上的值域；
（2）若当x∈[0，1]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设，是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以f（g（m）），f（g（n）），f（g（p））为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）[2，] （2）-＜a＜（3）（-，-）∪（，）
【解析】
【分析】（1）当a=1时，f（x）=x+，结合对勾函数的图象和性质，可得f（x）在[，2]上的值域；
（2）若不等式f（2x）＜2x++4在[0，1]上恒成立，即a＜-2（2x）2+1+2x在[0，1]上恒成立，令t=2x，则t∈[1，2]，y=-2t2+t+1，结合二次函数的图象和性质，求出函数的最小值，可得实数a的取值范围；
（3）换元，原问题等价于求实数a的范围，使得函数在给定的区间上，恒有2ymin＞ymax
【详解】解：（1）函数，
当a=1时，f（x）=x+，导数为f′（x）=1-=，
f（x）在[，1]上减函数，在[1，2]上为增函数，
∴当x=，或x=2时，函数最最大值，当x=1时，函数取最小值2，
故f（x）在[，2]上的值域为[2，]；
（2）若不等式f（2x）＜2x++4在[0，1]上恒成立，
即2x+＜2x++4在[0，1]上恒成立，即a2＜1+4•2x在[0，1]上恒成立，
1+4•2x在[0，1]递增，可得最小值为1+4=5，即a2＜5，解得-＜a＜；
（3）设t=g（x）==-1+在x∈[0，]递减，可得t∈[，1]，则y=t+，
原问题转化为求实数a的取值范围，使得y在区间[，1]上，恒有2ymin＞ymax．
讨论：①当0＜a2≤时，y=t+在[，1]上递增，∴ymin=3a2+，ymax=a2+1，
由2ymin＞ymax得a2＞，∴＜a≤；或-≤a＜-；
②当＜a2≤时，y=t+在[，|a|]上单调递减，在[|a|，1]上单调递增，
∴ymin=2|a|，ymax=max{3a2+，a2+1}=a2+1，
由2ymin＞ymax得2-3＜|a|＜2+3，∴＜|a|≤；
③当＜|a|＜1时，y=t+在[，|a|]上单调递减，在[|a|，1]上单调递增，
∴ymin=2|a|，ymax=max{3a2+，a2+1}=3a2+，
由2ymin＞ymax得＜|a|＜，∴＜|a|＜1；
④当|a|≥1时，y=t+在[，1]上单调递减，∴ymin=a2+1，ymax=3a2+，
由2ymin＞ymax得a2＜，∴1≤a2＜；
综上，a取值范围是（-，-）∪（，）．
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用问题，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理分类讨论求解函数的最值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和转化思想的应用，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.