2024-2025学年上海市大同中学高二上期末数学试卷+解析

这是一份2024-2025学年上海市大同中学高二上期末数学试卷+解析，共20页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知向量，，则在方向上的数量投影为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用关系式求出向量的投影向量的长度．
【详解】在方向上的数量投影的长度为：．
故答案为：．
2. 已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为________.
【答案】
【解析】
【分析】求出圆锥的底面圆半径，母线长，再计算圆锥的高．
【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则底面圆周长为，解得；
所以圆锥侧面展开图的圆心角为，解得；
所以该圆锥的高为．
故答案为：．
3. 已知向量，若向量、、共面，则实数等于__．
【答案】10
【解析】
【分析】根据向量共面得到，代入数据计算得到答案.
【详解】因为向量、、共面，所以存在实数、使得．
所以，所以．
故答案：
4. 已知数列的前n项和，则其通项______.
【答案】
【解析】
【分析】根据，利用数列前n项和与通项的关系求解.
【详解】当时，；
当时，.
故
故答案为：
5. 某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1：4：3：2，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据分层抽样的概念计算出答案.
【详解】由分层抽样得到讲师应抽取的人数为.
故答案为：12
6. 在数列中，，，若，则正整数____________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据题意，令，判断数列是等差数列，从而求得通项公式，进而代入求解即可．
【详解】由，，令，则，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即，
又为正整数，所以，即，解得或（舍去）．
故答案为：10．
7. 甲和乙两射手射击同一目标，命中的概率分别为0.7和0.8，两人各射击一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中目标的概率为________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用独立事件的乘法公式分别求出“仅有一人命中目标”的概率和“两人同时命中目标”的概率，即可得出结果.
【详解】根据题意可知“至少一人命中目标”包括“仅有一人命中目标”和“两人同时命中目标”两个基本事件；
可得“仅有一人命中目标”的概率为；
“两人同时命中目标”的概率为；
所以至少一人命中目标的概率为.
故答案为：
8. 《九章算术》卷第五《商功》中，有“假令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图，刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体）”.若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底面的距离为，从而可得，解方程可得，再利用球的面积公式即可求解.
【详解】由已知得球心在几何体的外部，
设球心到几何体下底面的距离为，
则，解得，
，该球体的表面积.
故答案为：
【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，需熟记球的表面积公式，属于基础题.
9. 在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有________ .
①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”；
②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”；
③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；
④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”.
【答案】②③
【解析】
【分析】对于①，写出两个事件的基本事件，两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误；对于②，两事件不可能同时发生，②正确；对于③，写出两个事件的基本事件，得到③正确；对于④，两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误.
【详解】对于①，A：“所取3件中至多2件次品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；
B：“所取3件中至少2件为次品”包含2个基本事件，即3件次品；2件次品，1件正品；
两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误；
对于②，A：“所取3件中有一件为次品”，和B：“所取3件中有二件为次品”不可能同时发生，为互斥事件，②正确；
对于③，B：“所取3件中至少有一件次品”包含3个基本事件，即1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；3件次品；
与A：“所取3件中全是正品”不可能同时发生，故为互斥事件，③正确；
对于④，A：“所取3件中至多有2件次品”，包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；
B：“所取3件中至少有一件是正品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；
两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误.
故答案为：②③
10. 水管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部.若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况，如图所示），这就要精确计算带子的“缠绕角度”指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面时的，其中为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1，水管直径为2，则“缠绕角度”的余弦值为___________.

【答案】
【解析】
【分析】使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），即斜边长为水管的周长为.利用展开图解决.
【详解】其展开图如下图所示.

水管直径为2，则水管的周长为，
故答案为：.
11. 若等差数列 的前n 项和为 ，且满足 > 0， < 0 ，对任意正整数n ，都有，则 的值为________ .
【答案】2022
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质及前项和公式计算推理得.
【详解】因为，，所以，即，
则，
又，则，
又因为，且，
所以等差数列单调递减，
则
所以对于任意的正整数，都有，
则.
故答案为：
12. 已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成角为，球与的四个侧面及底面都相切，然后依次在内放入球、、，……，使得球（，）与的四个侧面均相切，且球与外切，则放入的所有球的体积之和为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】记球的半径为，设四棱锥的高为，体积为，可得，设，利用可得，求出再求极限可得答案.
【详解】如图，四棱锥中，为底面正方形的中心，则底面，
为的中点，连接，设侧面与底面所成角为，
记球的半径为，设四棱锥的高为，体积为，
为与四棱锥的切点，，
因为，所以，即，
所以，故，
即，设，
由于，即，
，两式相减可得，即，所以，
故，
所以所有球的体积之和为.
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是找出可得.
二、选择题
13. 已知三条直线，，满足且，则与（ ）
A. 平行B. 垂直C. 共面D. 异面
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定.
【详解】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面.
故选：B.
14. 已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解.
【详解】若，，则数列单调递减，故不能推出数列单调递增；
若单调递增，则，，或，，不能推出，
所以“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
15. 设、分别是事件A、B的对立事件，，，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. 若A、B是互斥事件，则
C. D. 若A、B是独立事件，则
【答案】B
【解析】
【分析】利用对立概率公式判断选项AC；依据互斥事件概率公式判断选项B；依据独立事件概率公式判断选项D.
【详解】选项A：是事件A的对立事件，则.判断正确；
选项B：若A、B是互斥事件，则，
又，则.判断错误；
选项C：因为与A对立，.判断正确；
选项D：若A、B是独立事件，则.判断正确.
故选：B
16. 如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M，O分别为线段A1C，DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（ ）
A. 与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直
B. 异面直线BM与A1E所成角是定值
C. 一定存在某个位置，使DE⊥MO
D. 三棱锥A1­ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值
【答案】C
【解析】
【分析】取中点，连接，，证明平面，然后判断．取的中点为，连接，，说明为异面直线与所成的角．求解即可判断；连接．推出．判断，判断．推出为定值，判断正确．
【详解】解：取中点，连接，．为的中点，，
又为的中点，且，
四边形为平行四边形，．
，，
平面平面，
平面，与平面垂直的直线必与直线垂直，正确；
取的中点为，连接，，则且，
四边形是平行四边形，，
为异面直线与所成的角．
设，则，，，
，故异面直线与所成的角为定值，正确；
连接．
△为等腰直角三角形且为斜边中点，
．若，则平面，．
又，，，，
又，平面，，与已知矛盾，错误；
，为三棱锥的外接球球心．
又为定值，正确；
故选：．
【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
三、解答题
17. 已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设数列满足，为数列的前项和，求.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】(1)由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）把数列的通项公式代入，分组后利用等差数列与等比数列前项和公式求解．
【详解】由题可知，且
即
可得
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了等差数列与等比数列前项和的求法，是中档题．
18. 已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面.
（1）确定点的位置，并证明你的结论；
（2）求异面直线与所成角的大小.
【答案】（1）为线段的中点，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质可得，结合是的中点即可判断点位置,
（2）根据正四棱锥的几何性质，结合球的表面积公式，可得四棱锥的底面边长，即可根据平行得是异面直线与成的角或其补角，利用余弦定理即可求解.
【小问1详解】
为线段的中点，证明如下：
由于相交于，四边形为正方形，故是的中点，
由于平面，平面，且平面,
故,
由于是的中点，故为线段的中点.
【小问2详解】
由球的表面积公式，得球的半径，
设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，
连，则，故,
则在，有，
即，可得正方形的边长为，
侧棱．
由（1）知，故是异面直线与成的角或其补角，
由于为等腰三角形，且,
故，
异面直线与所成的角为；
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线.
（1）求证：直线平面；
（2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直可证线面垂直，再结合中位线可得证；
（2）根据线线平行可证线面平行，进而可证直线，建立空间直角坐标系，可设，结合异面直线夹角可解得点，再根据向量法可得平面法向量，进而可得二面角余弦值.
【小问1详解】
，平面平面，平面平面，平面，
又，分别是，的中点，
，
平面；
【小问2详解】
，平面平面
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则点在平面内，
即，，，，，
则，，，
而，平面，平面，
平面，
又平面与平面的交线为直线，
，
设,
则点坐标为，，，解得，
则点坐标为，，
设平面的法向量，
即，即，取，可得；
设平面法向量为，
则，即，取，可得；
，
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
20. 已知四棱锥的底面为平行四边形.
（1）若交于平面，判断是否为菱形，并说明理由；
（2）在射线上有点（均与不重合），三棱锥和的体积分别为和，求证：；
（3）设为中点，过的平面分别与棱交于点，设四棱锥和的体积分别为，求的最小值.
【答案】（1）四边形为菱形，理由见解析，
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，进而可得，即可结合平行四边形求证，
（2）利用体积公式，结合相似即可求解，
（3）利用体积公式，结合等体积法即可得，进而利用向量的线性运算，根据共面定理可得，利用基本不等式即可求解最值.
【小问1详解】
由于平面平面故,
又，平面，
故平面，又平面，故,
因此，结合四边形平行四边形，
故四边形为菱形，
【小问2详解】
，
其中,分别表示点到平面的距离，
根据相似可得,
故
【小问3详解】
设,
故同理,
由于底面为平行四边形，故，
故
，
,
,
,
由于共面，所以存在，使得，
故
，
因此，化简可得，进而，
因此，
当且仅当，即时等号成立，
故最小值为，
【点睛】关键点点睛：根据等体积法得，利用共面定理可得，由基本不等式求解最值.
21. 在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，…
（1）完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001）
（2）证明：是严格减数列；
（3）设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值.
【答案】（1）答案见解析；
（2）证明见解析； （3），
【解析】
【分析】（1）利用迭代思想结合计算器，即可求近似值；
（2）利用均值不等式来证明，再用数列的递推法来证明单调性即可；
（3）利用给的通项关系式，来构造成等比数列来求通项，最后求极限值.
【小问1详解】
根据递推数列，，可依次求得：
，，，，
完成以下表格
如图画出线段，，，，
【小问2详解】
证明：由，，可得，
再结合均值不等式得：，当且仅当时取等号，
也就是说只要前一项不等于，后一项就不可能取到，
而首项，所以等号一定不成立，即，
再由，
从而有，所以是严格减数列；
【小问3详解】
由两边加得：
，-------①
由两边减得：
--------②
由①除以②得：，
上式两边取常用对数得：，
再由，代入得：，
所以是等比数列，首项，
即，
所以，
解得通项公式为，
.
【点睛】方法点睛：（1）利用递推关系证明数列单调性；
（2）利用题目中给的条件来构造等比数列求通项.n
1
2
3
n
4
5
6
n
1
2
3
8
4.125
2.305
n
4
5
6
1.586
1.424
1.414