2024-2025学年上海市黄浦区高二上期末数学试卷+解析

这是一份2024-2025学年上海市黄浦区高二上期末数学试卷+解析，共18页。试卷主要包含了01等内容，欢迎下载使用。
（满分120分；考试时间90分钟）
考生注意：
1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2.答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚；
3.本试卷共21道试题，满分120分；考试时间90分钟．
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
1. 与的等差中项为______.
【答案】
【解析】
【分析】设与的等差中项为，根据等差中项的定义得到方程，解得即可.
【详解】设与的等差中项为，
则，解得，
所以与的等差中项为.
故答案为：
2. 正方体个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正方体的性质判断即可.
【详解】在正方体中，
平面、平面、平面、平面均与平面垂直，
平面与平面平行，
故正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为个.
故答案为：
3. 已知某校高一年级所有学生的体重（单位：kg），且最大值为98，最小值为44.在制作频率分布直方图时，要对这些体重数据进行分组.若组距为5，则将数据分成______组为宜.
【答案】
【解析】
【分析】计算出极差，即可得解.
【详解】因为最大值为98，最小值为44，则，
又组距为5，则将数据分成组.
故答案为：
4. 在长方体中，若，则此长方体的中心到顶点的距离为______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据长方体中心到顶点距离为体对角线的一半，结合已知即可求结果.
【详解】由长方体中心到顶点的距离为体对角线的一半，而体对角线长为，
所以此长方体的中心到顶点的距离为2.
故答案为：2
5. 某校高三年级10名男生的身高数据（单位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______．
【答案】185
【解析】
【分析】利用80百分位数的定义求解即得.
【详解】显然该组数据已由小到大排列，由，得该组数据的第80百分位数为.
故答案为：185
6. 给定点，则在方向上的数量投影为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量投影的定义及数量积、模长的坐标表示求在方向上的数量投影.
【详解】由题设，，
所以.
故答案为：
7. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________．
【答案】.
【解析】
【详解】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.
详解：由题意可知了，比赛可能的方法有种，
其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马，
田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马，
结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为.
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
8. 直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意可得两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
【详解】因为在直三棱柱中，，
所以两两互相垂直，故建立如图所示空间直角坐标系，
因为，设，
所以，，，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角余弦值为.
故答案为：
9. 设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则或；④若，则.则其中正确命题的序号为______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】利用平面的基本性质、直观想象，结合各项的描述判断线面、面面的位置关系即可.
【详解】①若，有或，又，则，对；
②若，则相交或或，错；
③若，，则，满足；
若，设，在内作直线，
又，则，而，所以，
由，则.
综上，或，对；
④若，将分别看作法向量所在直线，又，则，对.
故答案为：①③④
10. 甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为.在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】应用互斥、对立事件的概率求法及独立事件乘法公式求目标事件的概率即可.
【详解】由“星队”在两轮比赛中共投中3球，即其中有一轮甲、乙有一人未投中，
所以其概率为.
故答案为：
11. 如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为______（精确到）
【答案】
【解析】
【分析】根据已知第个圆柱的高，底面半径，应用等比数列前n项和公式求工艺品的表面积.
【详解】由题设，第个圆柱的高，底面半径，
所以，第个圆柱的侧面积为，底面积为，
则侧面积之和为，
底面积之和为，
所以工艺品的表面积为.
故答案为：
12. 已知正四面体ABCD的棱长为6，P是空间一点，若，则点P到平面BCD的距离的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】若的中点分别为，且的中点为，应用向量加法的几何意义可得，进而确定的轨迹及的位置，结合已知求点P到平面BCD的距离的最大值.
【详解】由，即，
若的中点分别为，且的中点为，则，
所以，即在以为球心，为半径的球面上，
由题设，易知都在面内，则面，
又面，即面，即，同理，
而，，易知，故为正四面体外接球球心，
到面BCD的距离，
到面BCD的距离，则，所以，
综上，点P到平面BCD的距离的最大值为.
故答案为：
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.
13. 同时掷两颗骰子，则所得点数互不相等的概率是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用列举法求古典概型的概率.
【详解】掷两颗骰子，所有情况如下：
由上表，一共有36种情况，所得点数互不相等有30种情况，
所以所求概率为.
故选：B
14. 如图，在正方体中，分别为的中点，则与平面垂直的直线可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出与平面平行的平面，证明面即可.
【详解】连接，如下图所示：
因为分别为的中点，故//，//，
又面面，故//面；
又面面，故//面；
又面，故面//面；
则垂直于平面的直线一定垂直于面；
显然面面，故，
又，面，
故面，又面，故；
同理可得，又面，
故面，也即面；
若其它选项的直线垂直于平面，则要与平行，显然都不平行.
故选：D.
15. 某校有学生500人，其中男生320人，女生180人.某人想了解该校全体学生的身高（单位：cm）信息，从男生、女生中分别随机抽取人进行测量.如果已知男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03，但原始测量数据已丢失.设总体均值与方差分别为与，则下列说法正确的是（ ）．
A. 若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的
B. 若，无法算出总样本的均值与方差
C. 若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的
D. 若，无法算出总样本的均值与方差
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知，分层抽样分析数据的前提及样本特征与总体特征的关系判断A、C、D；对于总体数据各层中的数据差异非常小的情况下也可分析总体特征判断B.
【详解】由于男生、女生总人数不相等，需要用分层抽样的方式估计出样本的均值和方差，
此时所得样本特征可作为总体特征的估计值，故不合适、合适，A、D错，C对；
在情况下，只有所有男生、女生身高都在各自身高均值附近波动且幅度很小时，可以算出总样本的均值与方差，B错；
故选：C.
16. 在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（ ）.

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】采用补形法，补成一个三棱柱，利用柱体的体积公式计算即可.
【详解】
如图所示，用一个完全相同的多面体与多面体组合；
因为，所以，又，
则，从而，
因为，，所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，又，所以平面平面，
所以组合体是一个三棱柱，又两两之间的距离为4，
不妨将三棱柱看作直三棱柱（侧棱与底面垂直），
所以，
此时三棱柱的高，，
所以，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于侧棱之间的距离为定值，而侧棱与底面所成角不是定值，所以可以取侧棱垂直于底面的特殊情况，这仍满足题意；此时补形后的三棱柱的高为侧棱长，进而根据柱体的体积公式计算即可.
三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
17. 某大型超市从一家贸易公司购进600袋白糖．为了了解这些白糖的重量情况，从中抽取了21袋白糖，称出各袋白糖的重量（单位：g）如下：
486 494 496 498 499 493 492
498 490 497 504 489 495 503
498 502 509 498 487 501 508
若设这21袋白糖的平均重量为，标准差为.
（1）求与（精确到0.1）；
（2）试估计在这600袋白糖中重量位于与之间的共有多少袋？所占的百分比是多少？
【答案】（1），
（2）400袋，
【解析】
【分析】（1）根据均值定义计算均值，根据方差公式计算出方差，然后得标准差；
（2）直接计数即可得，然后计算所占百分比即可．
【小问1详解】
根据题意，，
.
【小问2详解】
质量位于与之间等于在区间上的白糖的袋数，共有14袋，所占的百分比为.
由此估计600袋白糖中质量位于与之间的共有袋，所占的百分比为.
18. 在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面与平面所成的角为，求证：平面.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，，由线面平行的判定定理即可得证；
（2）先由题意得到，，由线面垂直的判定定理证明平面，从而得证.
【小问1详解】
取中点，连接，，
为的中点，且，
是的中点，底面是平行四边形，且，
且，
四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
平面.
【小问2详解】
平面，所以为与平面所成的角，
，又平面，，，
即为等腰直角三角形，
为中点，，
又平面，平面，，
又底面是平行四边形且，平行四边形为矩形，则，
又平面，平面，
平面，，
又平面，
平面，
由（1）可知，平面.
19. 为了推广一种新饮料，某饮料企业开展了有奖促销活动：将6罐饮料装一箱，每箱中都放置2罐能中奖的饮料.
（1）若甲从一箱这种新饮料中随机抽取2罐，能中奖的概率为多少？
（2）若甲、乙、丙三人中的每个人都从自己购买的一箱这种新饮料中随机抽取2罐，试判断：“甲、乙、丙三人中恰有一人中奖”与“甲、乙、丙三人都中奖或都未中奖”，哪一个发生的可能性更大？并说明理由.
【答案】（1）
（2）“甲、乙、丙三人中恰有一人中奖”比“甲、乙、丙三人都中奖或都未中奖”发生的可能性更大，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用间接法及古典概型的概率公式计算可得；
（2）利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.
【小问1详解】
6罐饮料机抽出2罐有种取法,
两罐都不中奖有种取法，
所以两罐都不中奖的概率，
故甲能中奖的概率为；
【小问2详解】
由（1）可知随机抽取2罐，能中奖的概率为，不能中奖的概率为，
则“甲、乙、丙三人中恰有一人中奖”的概率；
“甲、乙、丙三人都中奖或都未中奖” 的概率，
所以“甲、乙、丙三人中恰有一人中奖”比“甲、乙、丙三人都中奖或都未中奖”发生的可能性更大.
20. 如图，在圆锥P-O中，AB是底面圆的直径，点C，D在圆上，CD垂直平分线段OB，E是PB的中点，.
（1）求二面角的正切值；
（2）设AE与PO交于点M，Q是圆上的动点，DM，QM与平面ACE所成角的大小分别为，求，并证明.
【答案】（1）
（2）,证明见详解.
【解析】
【分析】（1）根据向量法先求出二面角的余弦值，然后即可求正切值；
（2）利用向量法即可求出线面角的正弦值，然后根据直线与圆相切即可求解.
【小问1详解】
设与OB的交点为,过点作的平行线交底面圆于，
因为点C，D在圆上，CD垂直平分线段OB，E是PB的中点，
所以，又因为底面圆，底面圆，
所以
则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，,
所以，
因为底面圆，底面圆,所以又因为且，所以平面,所以平面的法向量为,
则,,
设平面的法向量，
则，
设二面角所成的平面角为，
所以
则，由图可知为锐角，所以，
【小问2详解】
由可得，
设平面的法向量m=x1,y1,z1，
则，
,
,
所以,
设，
因为为底面圆上的动点，底面圆的方程为，
所以，
则，，，
，
令，则或，
所以，所以，
因为在上单调递增，
所以.
21. 若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”.
（1）若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式；
（2）若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值；
（3）设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且，依题意可得，即可求出与，即可求出；
（2）设的公比为，依题意可得或，即可求出的取值范围，从而得解；
（3）依题意可得且，对一切正整数恒成立，即可求出的取值范围.
【小问1详解】
设等差数列的首项为，公差为，则且，
由数列是数列的“隔数列”，
则，且，
所以且，即，所以或，
所以或；
【小问2详解】
设的公比为，
因为数列是数列的“隔数列”，
即数列是数列的“隔数列”，
所以或，
解得或，即或，
所以或，
所以整数的值为.
【小问3详解】
因为是“隔数列”，
所以与都是严格增数列，
由是严格增数，可知对一切正整数恒成立，
又由是严格增数列，可知，即对一切正整数恒成立，
所以且，
这时因为对于一切大于等于的整数恒成立，
故必有，
即对一切正整数恒成立，
即对一切正整数恒成立，
即对一切正整数恒成立，所以，即，
所以的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，再结合等差（等比）数列的基本量计算即可.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6