2024-2025学年上海市浦东新区高二（上）数学期末试卷及答案解析

这是一份2024-2025学年上海市浦东新区高二（上）数学期末试卷及答案解析，共15页。试卷主要包含了01等内容，欢迎下载使用。
2025.01
注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名､学校､考号填写清楚.
2.本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟.
一､填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1. 两条异面直线所成角的范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据异面直线的定义求解即可.
【详解】根据异面直线的定义，两条异面直线所成角的范围是为.
故答案为：.
2. 记事件A的对立事件为，若，则为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由对立事件的概率公式计算求解即可.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
3. 表面积为球的体积是__________（结果保留）
【答案】##
【解析】
【分析】根据表面积求得球的半径，进而求得球的体积.
【详解】设球的半径为，则，
所以球的体积为.
故答案为：
4. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为_____
【答案】0.6
【解析】
【详解】试题分析：从这5件产品中任取2件的取法为，所以基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为，所以．
考点：1、古典概型；2、组合数．
5. 某袋子内装有三种颜色的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个小球，观察颜色后再放回，重复了90次，得到的信息如下：观察到红色小球52次，蓝色小球26次.如果从这个袋子内任意摸一个小球，这个小球既不是红色也不是蓝色的经验概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】计算红色球、蓝色球出现的频率，即为概率，由事件的关系可计算既不是红色也不是蓝色的概率.
【详解】记取到红球为事件A，取到蓝球为事件B，取到的球不是红球也不是蓝球为事件C.
所以，,
由题意，，且互斥，
则.
故答案为：
6. 已知，若A，B互斥，则__________.
【答案】09
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率求解.
【详解】解：因为，且A，B互斥，
所以，
故答案为：0.9
7. 若五个数的平均数为1，则这五个数的方差等于__________.
【答案】2
【解析】
【分析】本题可先依据平均数公式求出a的值,再用方差的公式计算出方差即可.
【详解】,
方差.
故答案为2.
【点睛】本题考查的是平均数和方差的求法.计算方差的步骤是:①计算数据的平均数;②计算偏差,即每个数据与平均数的差;③计算偏差的平方和;④偏差的平方和除以数据个数.
8. 有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】由极差和平均数求出，即可求出中位数.
【详解】依题意可得极差为，平均数为，
所以，解得，
所以中位线为.
故答案为：
9. “石头、剪刀、布”是一种古老的游戏，操作简单，具有极为广泛的群众基础，游戏规则为：石头克剪刀，剪刀克布，布克石头.两人参加游戏，若两人都随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】列出表格结合古典概型概率公式即得.
【详解】
从表中可以看出，两个人每次随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为.
故答案为：.
10. 若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由平行四边形的面积求出，再结合斜二测画法分析可得结果.
【详解】
如图，过点作于点，则为等腰直角三角形，
由平行四边形的面积为8得，
∵，∴，∴，
∴原平面图形中，，.
故答案为：.
11. 设地球的半径为，若在北纬的纬线图上，则此纬线圈构成的小圆面积为__________.（结果用表示）
【答案】
【解析】
【分析】作出图象，求出小圆半径即可得答案.
【详解】解：如图所示：
则点A所在小圆半径，
所以小圆的面积为.
故答案为：
12. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为______
【答案】
【解析】
【分析】从图形中作一个最大的水平截面，它是一个正八边形，八个顶点都在边长为铁正方形边上，由此可计算出棱长．
【详解】作出该图形的一个最大的水平截面正八边形，如图，其八个顶点都在边长为1的正方形上，设“半正多面体”棱长为，则，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查学生的空间想象能力，抽象概括能力，解题关键是从“半正多面体”中作出一个截面为正八边形且正八边形的八个顶点都在边长为1的正方形上，由此易得棱长．
二､选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.
13. “平面内有一条直线，则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据点与线、点与面的关系是元素和集合的关系，线与面的关系是集合与集合的关系判断即可.
【详解】∵平面内有一条直线，∴，
∵点A在直线上，∴，
∴.
故选：B.
14. 已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则（ ）
A. 0.06B. 0.5C. 0.6D. 0.7
【答案】D
【解析】
【分析】根据对立事件和互斥事件的概率公式求解即可.
【详解】因为B与C互为对立，，
所以，
因为A与B互斥，
所以.
故选：D.
15. “中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five－hundred－meter Aperture Spherical radi Telescpe，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（ ）
A. 通过调查获取数据B. 通过试验获取数据
C. 通过观察获取数据D. 通过查询获得数据
【答案】C
【解析】
【分析】根据获取数据的途径判断即可.
【详解】“中国天眼”主要是通过观察获取数据.
故选：C.
16. 某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（ ）.
A. 讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分
B. 讲座前的答卷得分分布较讲座后分散
C. 讲座前答卷得分的中位数是70
D. 讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差
【答案】C
【解析】
【分析】利用茎叶图分析判断AB；求出中位数判断C；求出极差判断D.
【详解】对于A，由茎叶图知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，A正确；
对于B，讲座前的答卷得分分布在之间，而讲座后得分分布在之间，
因此讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，B正确；
对于C，讲座前答卷得分依次为，其中位数为，C错误；
对于D，讲座前答卷得分的极差为，讲座后得分的极差为，
因此讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，D正确.
故选：C
三､解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. 如图，在中，，，，将绕轴旋转一周形成了一个旋转体.
（1）求这个旋转体的体积；
（2）求这个旋转体的表面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）旋转体是两个圆锥的组合体，利用圆锥的体积计算旋转体的体积（2）利用圆锥的表面积计算旋转体的表面积；
【小问1详解】
绕轴旋转一周，形成的几何体（一个大圆锥挖去一个小圆锥余下的部分）
如图所示.在中，，，，
.
设旋转体的底面面积为，旋转得到同底的两圆锥的侧面积分别为和，则旋转体的体积
.
【小问2详解】
由（1）得旋转体的表面积
.
18. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段的中点.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线和直线平行，得异面直线与所成角，进而在中求解即可；
（2）利用棱锥的体积公式，结合等体积法列方程求解即可.
【小问1详解】
连接，，因为分别为线段的中点，
所以，故异面直线与所成角为；
又平面，平面，
所以，
所以，
故异面直线与所成的角为.
【小问2详解】
在正方体中，分别为线段的中点，
所以平面，且
因为F是线段的中点，
所以，
故三棱锥的体积；
因为分别为线段的中点，
所以，
又因为，
所以在中满足，故为直角三角形，
则，
设点D到平面的距离为d，
则三棱锥的体积，解得，
因此点D到平面的距离为.
19. 如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明见详解；
（2）
【解析】
【分析】（1）由是正方形可得，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理即可证明；
（2）过作交于，连接，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理可得面，故可得即为直线与平面所成角，由已知长度即可求线面角.
【小问1详解】
由是正方形，则，
因为面面，面面，，面，
所以面，又面，
所以，
又因为，平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
过作交于，连接，
因为是正方形，则，
因为面面，面面，面，
所以面，又面，
所以，
又因为，，面，面，
所以面，
所以即为直线与平面所成角，
因为正方形边长为2，，，
所以，，
所以，
因，
所以，即直线与平面所成角的大小为.
20. 如图，四棱锥中，底面.
（1）若，证明：平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见详解；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意可证面，面，进而命题即可得证；
（2）由（1）可证得即为二面角的平面角，在中，根据三角函数定义即可求二面角.
【小问1详解】
因为底面，面，
所以，
又因为，，面，面，
所以面，
因为，
所以，故，
又因底面，面，
所以，
又，面，面，
所以面，
所以，又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）可知，面，
因为面，
所以，
又因为，
所以即为二面角的平面角，
在中，，
所以，
所以，
所以二面角的大小为.
21. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
【答案】（1），63
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意先求出，进一步结合平均数公式、百分位数的定义即可列式求解；
（2）首先算出抽样比，再根据加权平均公式以及方差的性质即可列式求解.
【小问1详解】
由题意可知：，解得，
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数为，
因为，
设第25百分位数为，则，则，
解得，故第25百分位数为63．
【小问2详解】
设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，
且两组频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差
．
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．
石头
剪刀
布
石头
石头、石头
石头、剪刀
石头、布
剪刀
剪刀、石头
剪刀、剪刀
剪刀、布
布
布、石头
布、剪刀
布、布