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专题一 微重点4 切割线放缩--2025年高考数学大二轮复习课件+讲义+专练
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在高考题中,经常考查与导数有关的不等式问题,这些问题可以用常规方法求解,也可以用切线不等式进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法,它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律,使问题简单化,利用切线不等式进行求解,能起到事半功倍的效果.
常见的切线放缩:∀x∈R都有ex≥x+1,当且仅当x=0时等号成立.∀x>-1都有ln(x+1)≤x,当且仅当x=0时等号成立.当x>0时,x>sin x;当x0,函数f(x)=(x+a)ln(x+b)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为xln 2-y-ln 2=0.(1)求a,b的值;
含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数),告知方程f(x)=b有两个实根x1,x2,要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式.求解策略是求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线,而是找过曲线上某两点的直线),然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或下方,进而对x1,x2作出放大或者缩小,从而实现证明.
1.已知函数f(x)=ln(x+1).(1)证明:当x>-1时,f(x)≤x;
2.[牛顿法求函数的零点]牛顿在《流数法》一书中,给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下:如图,设r是f(x)=0的根,首先选取x0作为r的初始近似值,若f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与x轴相交于点(x1,0),称x1是r的一次近似值;用x1替代x0重复上面的过程,得到x2,称x2是r的二次近似值;一直重复,可得到一列数:x0,x1,x2,…,xn,….在一定精确度下,用四舍五入法取值,当xn-1,xn(n∈N*)的近似值相等时,该值即作为函数f(x)的一个零点r.(1)若f(x)=x3+3x2+x-3,当x0=0时,求方程f(x)=0的根的二次近似值(保留到小数点后两位);
(3)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想,直线常常取曲线的切线或割线.若h(x)=x(1-ln x),关于x的方程h(x)=a的两个根分别为x1,x2(x1e-ea.
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