2025届高考物理二轮复习讲义：微专题6 电磁场中的空间立体问题和摆线问题 【含答案】

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空间立体问题
1.粒子在三维空间中运动,求解的基本方法是先转化为平面问题,再加以合成.
(1)情况1:粒子运动从全过程来看是立体问题,分阶段来看是平面运动.
(2)情况2:粒子在三维空间中运动,可以沿一定方向把运动投影到平面内进行处理.
2.带电粒子在磁场中做平面运动,运动涉及三个方向:磁场方向、粒子的运动方向和粒子的受力方向,这三个方向构成立体结构,处理这类问题时,有时需要先选择一个平面对粒子受力分析,再选择另一个平面对粒子进行运动分析,画立体示意图和平面示意图是解决问题的关键.
例1 (不定项)如图所示是离子注入工作原理示意图,离子经加速后沿水平方向进入速度选择器,然后通过磁分析器,选择出特定比荷的离子,经偏转系统后注入到处在水平面内的晶圆(硅片).速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B,方向均垂直于纸面向外;速度选择器和偏转系统中的匀强电场的电场强度大小均为E,方向分别为竖直向上和垂直于纸面向外.磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环,其两端中心位置M和N处各有一个小孔;偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体,其底面与晶圆所在水平面平行,间距也为L.当偏转系统不加电场及磁场时,离子恰好由上表面中心竖直进入系统,并竖直注入到晶圆上的O点(即图中坐标原点,x轴垂直于纸面向外).整个系统置于真空中,不计离子重力,经过偏转系统直接打在晶圆上的离子偏转的角度都很小,离子能从底面穿出偏转系统.当α很小时,有sin α≈tan α≈α,cs α≈1-12α2,下列说法正确的是( )
A.可以利用此系统给晶圆同时注入带正电的离子和带负电的离子
B.从磁分析器下端孔N离开的离子其比荷为2ER1+R2B2
C.若偏转系统仅加电场,则离子注入晶圆的位置为3L2R1+R2,0
D.若偏转系统同时加上电场和磁场,则离子注入晶圆的位置为2L2R1+R2,2L2R1+R2


例2 [2024·余姚模拟] 如图所示,足够大的荧光屏xOy正前方有一平行于x轴、长度为2R的线形粒子源AB,AB中点Q与O的连线垂直于荧光屏;粒子源与荧光屏之间正对放置半径为R、间距为d的圆形金属极板,圆心连线MN平行于y轴,MN中点P在QO上.粒子源上各处沿平行于QO方向均匀发射速度为v、比荷为qm的相同带正电粒子,极板间有沿MN方向的匀强电场.不计重力及粒子间相互作用,忽略边缘效应.
(1)若粒子能全部飞出极板,求极板间电场强度的最大值Em;
(2)若将极板间电场强度调至E=Em2,已知OP=4R,通过计算求出荧光屏上图形的方程;
(3)若只将极板间电场强度调至E=E1,或者将电场强度调至E=E2并同时在极板间沿电场方向加一磁感应强度大小为B=mvqR的匀强磁场,都只有50%的粒子能射出极板,求E1与E2的比值.
摆线问题
当空间存在正交的匀强磁场与匀强电场(或重力场)时,若带电粒子以初速度为零或者垂直于磁场方向的初速度进入这一空间,则会在垂直于磁场方向的平面内做“摆线”运动,这一“摆线”是由一个匀速圆周运动和一个匀速直线运动的合运动的轨迹.一般用“配速法”进行分析,即将初速度分解成两个分速度,其中一个分速度可以满足在对应的洛伦兹力的分力与电场力(或重力)平衡,带电粒子以此分速度做匀速直线运动,同时以另一个分速度仅在磁场作用下做匀速圆周运动.由于做匀速圆周运动的分速度大小不变但方向周期性变化,做匀速直线运动的分速度大小和方向都不变,这两个分运动在一个平面内,所以带电粒子运动时的合速度在周期性变化,表现出来就是“摆线”.
例3 如图甲所示,空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B.让一带正电的粒子从坐标原点O沿xOy平面以大小和方向不同的初速度入射到该磁场中,不计重力和粒子间的影响.如图乙所示,若在此空间再加入沿y轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场,一粒子从O点以初速度v0沿y轴正方向发射.研究表明:粒子在xOy平面内做周期性运动,且在任一时刻,粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比,比例系数与电场强度大小E无关.求该粒子运动过程中的最大速度vm.
【导思】
本题是一个关于摆线的问题,但是此题只是将摆线问题作为题设背景,通过给予信息条件的方式引导学生建模,即:粒子在xOy平面内做周期性运动,且在任一时刻,粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比,比例系数与电场强度大小E无关.
例4 霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型.xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直于坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B.质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射,入射速度为v0时,电子沿x轴做直线运动;入射速度小于v0时,电子的运动轨迹如图中的虚线所示,且在最高点与在最低点所受的合力大小相等.不计重力及电子间相互作用.
(1)求电场强度的大小E;
(2)若电子入射速度为v04,求运动到速度为v02时电子的位置的纵坐标y1;
(3)若电子入射速度在0