（复习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第01讲 基本不等式求最值问题（2份，原卷版+教师版）

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一、基本不等式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；
基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.
其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
二、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立.
三、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
2.二维形式的柯西不等式的变式
3.二维形式的柯西不等式的向量形式
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了。
4.扩展：，当且仅当时，等号成立.
①直接法求最值
策略方法
直接利用基本不等式求解，注意取等条件
【题型精练】
【例1】若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】若，，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】若，则的最大值是（ ）
A． B．4 C．8 D．16
【变式1-3】已知正数，满足，则的最大值为 ．
【变式1-4】用长度为米的材料围成一个矩形场地，场地中间用该材料加两道与矩形的边平行的隔墙，若使矩形的面积最大，则隔墙的长度是 米．
②常规凑配法求最值
策略方法
1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2．注意验证取得条件．
【例2】函数的最小值为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．7
【变式2-1】已知，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式2-2】已知，则的最大值为 ．
【变式2-3】若，则的最大值是 .
③消参法求最值
策略方法
消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！
【例3】已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式3-1】已知实数，满足，且，则的最小值是（ ）
A．33 B．26 C．25 D．21
【变式3-2】已知，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【变式3-3】已知，，且，则不等式：（1），（2），（3），（4）；其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-4】已知正实数满足，则的最小值是 ．
④“1”的代换求最值
策略方法
1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．
注意：（1）根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．（2）注意验证取得条件．
【例4】已知，，若，则的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【变式4-1】已知且满足则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【变式4-3】当时，的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
【变式4-4】若正实数，满足，则的最大值为 ．
⑤求商式的最值
【例5】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知正实数x，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】函数 的最大值为 .
★⑥柯西不等式求最值
策略方法
当且仅当时，等号成立.
【例6】已知且则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式6-1】已知a，b，，满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式6-2】已知，，均为正数，若，则的最小值为
A． B． C． D．
【变式6-3】已知，则的取最小值时，为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式6-4】已知，，为实数，且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
基本不等式求最值问题 随堂检测
1.已知正数满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2.已知，，，则的最小值为（ ）
A．8B．13C．12D．9
3.函数 的最小值是（ ）
A．B．3C．6D．12
4.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
5．若，则的最大值为 ．
6．已知正实数、满足，则的最大值为 ．
7．已知，，且，则的最小值为 .
8．已知，则函数的最小值是 ．
9．已知，且，则的最小值是 .
10．已知，，且，则的最小值为 ．
11．已知、、，且满足，则的最小值为 .
①直接法求最值
②常规凑配法求最值
③消参法求最值
④“1”的代换求最值
⑤求商式的最值
★⑥柯西不等式求最值