（复习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第04讲 复习04讲 三角函数中ω的值和取值范围问题（2份，原卷版+教师版）

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一、与对称性有关
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是；
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是；
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离；
二、与单调性有关
三、与零点有关
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值.
①与对称性相关
【例1】已知函数的最小正周期为T，若，且函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据，求得，再根据余弦函数的对称性即可得出答案.
【详解】，，因为，所以，则，
又因函数的图象关于直线对称，所以，所以，又因为，
所以当时，.故选：C.
【变式1-2】若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以为整体结合正弦型函数的性质求出结果.
【详解】因为，且，则，若函数的图象关于直线对称，则，解得.故选：C.
【变式1-2】记函数的最小正周期为T，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时，（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】由及的图象关于对称列出关系式，求出，，再由的图象关于对称，可求的最小值，从而可求的值．
【详解】由已知得，，因为函数的图象关于对称，所以，所以，所以，又因为，所以，，由的图象关于对称得，所以，即有，又因为，所以当最小时，，此时，所以，故选：C．
【变式1-3】若存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式可得，根据由题意知在上有唯一的实根，结合正弦函数性质即可求解的取值范围.
【详解】,因为曲线关于直线对称，所以，得，.因为存在唯一的实数,使得曲线关于直线对称,所以只有唯一的值落在中,故有.故选:C.
【变式1-4】已知函数的图像关于点对称，且方程在上至少有两个解，写出满足条件的的一个值： .
【答案】.(答案不唯一)
【分析】由函数的图像关于点对称，得出，再根据在上至少有两个解，限定的范围，得出结果.
【详解】由题意得，即.由方程得在上至少有两个解，若，则，则，即，可得，当时，.故答案为：.
②与单调性相关
【例2】已知奇函数的图象关于直线对称，且在区间上单调，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】由条件结合余弦型函数的性质列关系式求.
【详解】因为函数为奇函数，所以，，又函数的图象关于直线对称，所以，，所以，，由函数为奇函数且在区间上单调，所以函数在区间，所以函数的周期，所以，又，所以，故选：C.
【变式2-1】已知函数（）的图象经过点和，且在内不单调，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【解析】由图象经过点和列方程组，可得，再讨论可得，进而可得和的解析式，再检验单调性可得答案.
【详解】依题意得，，所以，，
所以，，消去得，
令，则，所以，因为，所以，
当时，，此时，，，
此时在上为递增函数，不合题意，应该舍去，
当时，，此时，，
此时，在上递减，在上递增，符合题意，所以的最小值为.故选：B
【变式2-2】已知函数在区间上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出的图象的对称轴方程，在区间上不单调，可得对称轴在直线与直线之间可得答案.
【详解】的图象的对称轴为直线，，因为在区间上不单调，所以对称轴，在直线与直线之间，即，，化简得，，因为，所以令，得，又当时，，
综上.故选：B．
【变式2-3】已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数在区间不单调，转化为在上存在对称轴，求出对称轴方程，建立不等式组求解即可.
【详解】已知， 令，解得
则函数对称轴方程为函数在区间不单调，，解得，又由，且，得，故仅当时，满足题意.故选：C.
【变式2-4】已知函数在上单调，且，则的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知易得、，结合，利用正弦型函数的图象讨论不同对应点求的取值，即可得答案.
【详解】由在上单调，，故，
而，则，又，如下图依次讨论对应为点四种情况，
若，则，满足；若，则，满足；
由，若，则，满足；若，则，不满足，其它情况均不符合；综上，B不可能，A、C、D可能.故选：B
③与最值相关
【例3】奇函数在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性求出，从而，根据得到的范围，结合正弦函数的性质列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】因为为奇函数，所以，即，所以，
当时，则，所以，解得，故选：C.
【变式3-1】已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用正弦函数的单调性推得；再利用正弦函数的最大值推得，从而得解.
【详解】因为函数在上单调递增，由，，所以且，解得且，所以；
又因为在区间上只取得一次最大值，即时，；
所以，解得；综上，，即的取值范围是．故选：D.
【变式3-2】已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦型函数的区间最值情况得，，进而有或，讨论结合已知恒成立确定最终的取值范围.
【详解】由，则内不存在最值，
即，则，，则或，
由，则中恒成立，只需且，或；所以的取值范围是.故选：D
【变式3-3】函数满足，且恒成立，若在区间上有最小值而无最大值，则 .
【答案】
【分析】由题意可得为函数的对称中心，为函数的对称轴，再结合在区间上有最小值而无最大值，可得，即可得解.
【详解】因为，所以为函数的对称中心，因为恒成立，所以，
所以为函数的对称轴，又因为在区间上有最小值而无最大值，所以，解得，所以.故答案为：
【变式3-4】已知函数（，），，，且在区间上有且只有一个最大值，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据题意列出方程组，求出 的表达式，求出符合条件的，再根据在区间上有且只有一个最大值，分类讨论确定的值是否适合题意，可得答案.
【详解】由知，关于对称，又因为，
所以,，则,，，其中，,
当时，，，；当时，，，.
又在区间上有且只有一个最大值，所以，得，即，所以.当时，，，此时，此时有2个最大值，舍去；
当时，，此时，此时有1个最大值，成立，所以的最大值为，
故答案为：
④与零点相关
【例4】已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得，且，从而可求出的取值范围
【详解】由题意得，得，由，得，
因为在上无零点，所以（），解得（），
当时，，当时，，当时，无解，因为，所以或，
所以的取值范围是，故选：B
【变式4-1】已知函数在内恰有一个零点，其图象在内恰有一条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由辅助角公式、化简函数式，然后求得整体的范围，结合正弦函数的零点得出不等关系，从而得参数范围．
【详解】由题意得：．因为，所以．由，得．因为在区间内恰有一个零点，则，它的图象在此区间内恰有一条对称轴，则，所以解得．故A项正确.故选：A.
【变式4-2】已知函数（）在上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由余弦型函数的性质列出不等式组，进而得出的取值范围.
【详解】因为：，所以：，令：，则得：.
因为：在上有个零点，所以：，解得：.
故的取值范围为：，故B项正确.故选：B.
【变式4-3】已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】函数．当时，令，则，若在有且仅有3个零点和3条对称轴，则在有且仅有3个零点和3条对称轴，
则，解得.故选：A．

【变式4-4】已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可得，可得出，再结合题意可得出关于的不等式，结合的取值可求得的取值范围.
【详解】因为恒成立，则，所以，，则，当时，，因为，则，
因为在区间上恰有个零点，则，即，，解得，，假设不存在，则或，解得或，
因为存在，则，因为，则.所以，，可得，故选：A.
三角函数中ω的值和取值范围问题 随堂检测
1．已知函数图象两个相邻的对称中心的间距为，则下列函数为偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出的解析式后逐项计算，根据正弦型函数和余弦型函数的性质可判断各选项中的函数是否为偶函数.
【详解】，由题可知函数的最小正周期为，则，解得，即，所以为偶函数.
因为，所以为偶函数，故C正确.
而为奇函数，因为，所以为奇函数，故A错误.
，设，则，故，故为非奇非偶函数，故B错误.
设，则，故，故为非奇非偶函数，故D错误.故选：C.
2．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的单调性可得，，求出的范围，再根据题意即可得到关于和的方程组，进而求解即可．
【详解】依题意可得，，得，，
则，解得，又，当时，得；当时，，矛盾，
所以的取值范围是．故选：A．
3．已知函数在上没有零点，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为函数在上没有零点，所以，即，所以，解得，由，则，所以，解得，综上可得，所以的最大值为.故选：B
4．若函数，的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用可得，再由三角函数图像性质可得，解不等式即可求得的取值范围.
【详解】根据题意可知若，则可得；显然当时，可得，
由的值域为，利用三角函数图像性质可得，解得，即的取值范围是.故选：D
5．已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】三角函数在区间上单调，可知在区间内不含对称轴，构建不等式即可求得的取值范围.
【详解】因为，令，可得对称轴方程，函数在区间上是单调的，
,且，，即，函数在区间上是单调的，所以，即，又，
可得或，故选：C.
6．已知函数的最小正周期为T，若，且的图象关于点对称，则当取最小值时， .
【答案】
【分析】首先根据最小正周期为，结合求得的值，再根据对称中心公式得，求出关于的表达式；找出取最小值时对应的，即可求出的具体取值，写出的解析式然后计算得出结果.
【详解】第一步：求A的值：由题意可得，则，故.
第二步：求的最小值：由的图象关于点对称可得，故，即，又，所以当，取得最小值.
第三步：求的值.此时，.
故答案为：
7．已知函数在上单调递增，则取值范围是 .
【答案】
【分析】利用整体代入得方法得到的单调递增区间，然后列不等式求解即可.
【详解】令，解得，所以的单调递增区间为，因为在上单调递增，所以，解得，所以.
故答案为：
8．已知函数满足，且在上单调，则的最大值为 ．
【答案】3
【分析】由，且在上单调，可得的图像关于点中心对称，结合的图像对称性，所以在上单调，得，可得解.
【详解】由题可得，由，且在上单调，得的图像关于点中心对称，因为直线与直线关于直线对称，结合的图像对称性，所以在上单调，得，又，所以，故的最大值为3．
故答案为：3.
9．已知函数，其中，且恒成立，在上单调，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由可知，则，由正弦函数的单调性建立不等式组，解之即可求解.
【详解】由题意知，，则，即，解得.
由，，得，即，
若函数在上单调递增，则，
即，，解得，则不等式组无解；
若函数在上单调递减，则，
即，，解得，则，所以实数的取值范围为.
故答案为：
10．已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则 .
【答案】或
【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案.
【详解】因为，且在区间上有最小值无最大值，则，则，可得，解得，且，解得，可知：或1，或.
故答案为：或.
11．已知函数的最小周期为T，若，为的零点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用求出，再由求出的表达式，从而得出最小值．
【详解】因为，则，又，∴，
∵，∴，∴，，
∵，∴时，取得最小值．故答案为：．
12．若函数在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先求得函数的零点，再利用题给条件列出关于正数ω的不等式，解之即可求得正数ω的取值范围.
【详解】由，可得，即，令，则又在区间内没有零点，则区间内不存在整数，
又，则正数ω满足，则，则，解之得，
则正数ω的取值范围是.
故答案为：
13．已知函数的图象与轴的交点为，且在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由，求出，再结合余弦型函数的零点个数进行列不等式即可.
【详解】解：依题意得，，得，因为，所以，则，
因为，所以，
要使函数在区间上有且仅有一个零点，
则，解得，
则的取值范围是.故答案为：①与对称性相关
②与单调性相关
③与最值相关
④与零点相关