（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第10讲 解三角形中面积和周长（边）的最值（范围）问题（2份，原卷版+教师版）

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一、正弦定理
.（其中为外接圆的半径）
（边化角）
（角化边）
二、余弦定理：

三、三角形面积公式：
=12a+b+crr为三角形ABC的内切圆半径
四、三角形内角和定理：
在△ABC中，有.
五、基本不等式（优先用基本不等式）
①； ②
六、利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）
利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。
题型一：三角形面积的最值（范围）问题
【例1】若，，求的最大值．
【变式1-1】在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，.则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】在中，若，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的面积S的取值范围为 ．
【变式1-5】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求
(1)求角C；
(2)若，求的面积的最大值．
【变式1-6】设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求锐角的面积的取值范围．
题型二：周长（边）的最值（范围）问题
【例2】若，，求周长的取值范围．
【变式2-1】已知中角、、对边分别为、、，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【变式2-2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】已知的三边长互不相等，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是 .
【变式2-4】在锐角中，角的对边分别为，，，若，，则的取值范围是 .
【变式2-5】已知锐角内角及对边，满足.
(1)求的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
【变式2-6】已知的内角的对边分别为，且.
(1)求边长和角A；
(2)求的周长的取值范围.
解三角形中面积和周长（边）的最值（范围）问题 随堂检测
1．在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知中，角所对的边分别为，那么面积的取值范围是 .
4．若锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，则面积的取值范围为 .
5．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，，则b的最小值为 .
6．在锐角中，，，分别表示角所对边的长，，且，则的取值范围是 .
7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值．
8．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且．
(1)求角A；
(2)若，求面积的取值范围．
①三角形面积的最值（范围）问题
②周长（边）的最值（范围）问题