湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．抛物线的焦点坐标为( )
A.B.C.D.
2．某大学开设篮球、足球等5门球类选修课,要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小红3位同学进行选课,其中小明不选篮球和足球,则不同的选课方法共有( )
A.36种B.50种C.75种D.125种
3．已知函数的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.函数有最小值
B.函数有最大值
C.函数有且仅有三个零点
D.函数有且仅有两个极值点
4．在等比数列中,已知,,则公比( )
A.B.C.2D.
5．已知抛物线的焦点为F,点P为抛物线上动点,点Q为圆上动点,则的最小值为( )
A.5B.4C.3D.2
6．已知函数（）有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知函数,,则函数的极大值之和为( )
A.B.C.D.
8．已知某正三棱柱的外接球的表面积为,则该正三棱柱的体积的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．以下四个命题表述正确的是( )
A.圆的圆心到直线的距离为2
B.直线恒过定点
C.圆与圆恰有三条公切线
D.圆与的公共弦所在直线方程为
10．已知曲线,则下列判断正确的是( )
A.曲线C既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.曲线C上的点与原点的最小距离为
C.曲线C在第一、四象限的任意一点到点的距离与其横坐标之差为定值
D.直线,则该直线与曲线C无公共点的充要条件为且
11．已知正项数列满足,,记,,则( )
A.是等差数列B.C.D.
三、填空题
12．若曲线在处的切线的倾斜角为,则________.
13．若不等式对于任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是________.
14．已知双曲线（,）的右焦点为F,过点F作双曲线的一条渐近线的垂线l,垂足为M,若直线l与双曲线C的另一条渐近线交于点N,且（为坐标原点）,则双曲线C的离心率为________.
四、解答题
15．在中,,,D为边上一点,且平分.
（1）若,求;
（2）若,求线段的长.
16．如图,三棱锥由三个以C为公共直角顶点的直角三角板拼成,其中直角三角板和为两个全等的直角三角板,且,E,F分别为,的中点,平面与平面的交线为l.
（1）证明:平面;
（2）点Q在直线l上,直线与直线的夹角为,直线与平面的夹角为,是否存在点Q,使得.如果存在,请求出;如果不存在,请说明理由.
17．已知等差数列的首项,公差为d（）,其前n项和为,.
（1）求证:数列是等差数列;
（2）若也是等差数列,求数列的前n项和.
18．在平面直角坐标系中,为双曲线（,）的右焦点,以F为圆心,1为半径的圆与双曲线C的渐近线相切.
（1）求的方程;
（2）记的左、右顶点为A,B,弦轴,记直线与直线交点为M,其轨迹为曲线.
（ⅰ）求的方程;
（ⅱ）直线,是曲线的任意两条切线,且,试探究在x轴上是否存在定点G,满足点G到,的距离之积恒为1?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
19．设函数（）.
（1）当时,讨论函数的单调性;
（2）当时,曲线与直线交于,两点,求证:;
（3）证明:（,）.
参考答案
1．答案：C
解析：由可得,
所以抛物线开口向上且,
所以,所以焦点坐标为.
故选:C.
2．答案：C
解析：因为小明不选篮球和足球,所以小明有3种选课方法,
小强和小红各有5种选课方法,
所以不同的选课方法共有种.
故选:C.
3．答案：A
解析：由函数图象可知、的变化情况如下表所示:
由上表可知在和上分别单调递减,在和上分别单调递增,
函数的极小值分别为、,其极大值为.
对于A选项:由以上分析可知,即函数有最小值,故A选项正确;
对于B选项:由图可知当,有,即增加得越来越快,
因此当,有,所以函数没有最大值,故B选项错误;
对于C选项:若有,则由零点存在定理可知函数有四个零点,故C选项错误;
对于D选项:由上表及以上分析可知函数共有3个极值点,故D选项错误.
故选:A.
4．答案：D
解析：因为,,
所以,
所以,从而.
故选:D.
5．答案：B
解析：设圆的圆心为,
半径为,过点P作垂直抛物线的准线于M,
由抛物线的定义可知,,
所以,
当且仅当C,Q,P,M四点共线且Q在之间时,等号成立,
而,所以,
即的最小值为4.
故选:B.
6．答案：A
解析：令,可得,
构建,
若函数有三个不同零点,即与有三个不同交点,
因为,
令,解得;令,解得或;
可知在,内单调递减,在内单调递增,
则有极小值,极大值,
且当x趋近于,趋近于;当x趋近于,趋近于0,
可得图象,如图所示:
由函数图象可得.
故选:A.
7．答案：D
解析：由,
可得,
令即,可得,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以当时,取得极大值,
因为,所以,可得,
所以函数的极大值之和为
.
故选:D
8．答案：C
解析：设外接球的半径为R,则,解得.
设正三棱柱的底面三角形的边长为x,则该三角形的外接圆的半径为,
故三棱柱的高为,
所以该正三棱柱的体积,
由,解得,
令,则,
函数在上单调递增,在单调递减,
所以函数在时取得最大值,因为,
所以该正三棱柱的体积的最大值为.
故选:C
9．答案：BC
解析：对于A,由圆得圆心,所以圆心C到直线的距离为,故A错误;
对于B,因为直线,令,则,所以该直线恒过定点,故B正确;
对于C,由圆得,故,;
由圆得,故,;
所以,故圆与圆外切,恰有三条公切线,故C正确;
对于D,由减,得,即,故两圆的公共弦所在直线方程为,故D错误.
故选:BC.
10．答案：AD
解析：曲线,作出其图象,如图所示,
观察可得的图象关于x,y轴对称,且关于原点中心对称;A正确;
曲线C上的点与原点的距离为,B错误;
抛物线的焦点坐标为,准线方程为,
抛物线的焦点坐标为,准线方程为,
曲线C落在第一、四象限的任意一点到焦点的距离与到其准线的距离相等,
故曲线C在第一,四象限的任意一点到点的距离与其横坐标之差为定值,C错误;
若,k考虑对称性,只需研究若,
当时,一次函数增加的速度比函数快.
故当时,若,则图象与的图象一定有交点.
若,根据的图象与的图象变化情况可得的图象与曲线的图象一定有交点,
故当且仅当,时,直线与曲线C无公共点,D正确,
故选:AD.
11．答案：ACD
解析：因为,
所以,即,
即,所以数列为等差数列,故A正确;
设等差数列的公差为d,又因为,
所以,则,
所以,
所以
,
,则,解得,
所以,,所以,故B错误;
由,故C正确;
设,,则,
所以函数在上单调递增,且,
所以当时,,即,
故,所以,
又因为
,
即,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：3
解析：因为,
所以,,则.
故答案为:3.
13．答案：
解析：n为正奇数时,不等式为,
易知是递减的,而,所以,即,
n为正偶数时,不等式为,
易知是递增的,时,取得最小值,所以,
综上,a的范围是.
故答案为:
14．答案：/
解析：已知双曲线（,）的渐近线方程为,
双曲线右焦点到渐近线的距离为,
在中,,,所以,
设,则,,
因为,
所以,所以,所以,
在中,,
所以,即,即,
所以双曲线的离心率.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）.
解析：（1）设（）.
因为平分,,故.
在中,由正弦定理知,
又由余弦定理有,
由,解得,
所以.
（2）由,得.
又由
,
得.
16．答案：（1）证明见解析
（2）存在,.
解析：（1）因为E,F分别为,的中点,.
又平面,平面,平面.
又平面,平面平面,.
又,且,,平面,
平面,从而平面.
（2）以C为坐标原点,分别以,,的方向作为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,不妨设,如图,
则,,,,,
由于,设,
则,,,
设平面的法向量,
则取.
由题意,,
即,解得,从而符合题意的点Q存在,.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由题知,
,
又是公差为d的等差数列,故,
,
故为定值,又,
所以是首项为,公差为的等差数列.
（2）因为是等差数列,
所以,
即得（舍）或,故.
故,
故.
18．答案：（1）
（2）（ⅰ）,;
（ⅱ）存在;或.
（ⅱ）设,（）,联立直线与椭圆方程,根据得到,同理,再设,利用距离公式计算可得.
解析：（1）由题知,取的一条渐近线,
设以F为圆心1为半径的圆与相切于T,
则中,,且,
故有,,
故所求双曲线的方程为.
（2）（ⅰ）设,则,设点,
又,,
所以直线的方程为①,
直线的方程为②.
①②等式相乘可得,
又在双曲线上,故,可得,
,化简可得,,
即曲线的方程为,.
（ⅱ）由不包括椭圆左,右顶点知,的斜率存在,
设,（）,
,
由,同理,
故.
设存在,,
又,
则或（不恒成立,舍去）,
所以,点.
综上,存在;或.
19．答案：（1）时,单调递减;时,单调递增.
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）当时,,
,
时,,单调递减;
时,,单调递增.
（2）,则,
由题意,知有两解,,不妨设,
要证,即证,
①若,则;
②若,由知,
在上单调递减,在上单调递增,也有,
综合①②知,,
所以只需证（*）.
又,,
两式相减,整理得,
代入（*）式,得,即.
令（）,即证.
令（）,则,
在上为增函数,,
成立.
（3）由（2）知,,
故,,取,
所以（）,
则（）.
x