广东省云浮市新兴县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

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注意事项：
1.满分120分，答题时间为120分钟。 2.请将各题答案填写在答题卡上。
一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一个正 确的)
1.医院作为社会健康体系的核心支柱，在国民经济与民众生活中占据着举足轻重的地位.下列 医院图标中，是中心对称图形的是
A B C D
2.如果点P 在圆O 内 ，OP=6, 那么圆O 的直径可能为
A.5 B.7 C.10 D.13
3.下列事件是必然事件的是
A.期末考试数学得满分 B.回家的路口遇到的都是绿灯
C.今天的太阳要落山 D.明天要下大雨
4.抛物线y=-(x+3)²-5 的顶点坐标是
A.(-3,-5) B.(3,-5)
C.(-3,5) D.(3,5)
5.如图，四边形ABCD 是⊙0的内接四边形.若∠A=45°, 则∠C 的度数为
A.45° B.125° C.135° D.145°
6.不透明的盒中有2枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随机取出一枚棋 子，它是黑棋的概率是
A B C. 口
7.下列方程中，有两个相等的实数根的是
A.x²+x=0 B.x²-8x+16=0
1
C.x²-7x+12=0 D.3x²+x+1=0
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8.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙0,若⊙0的半径为3,则正六边形的周长为
A.18 B.9
C.12 D.36
9.剪纸是我国从古流传至今的一项传统艺术，为节日增添许多喜庆的氛围.剪纸中有一项“抛物 线剪纸”技术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现一种曲线美.如图，这是利用“抛物线剪纸”技 术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A,B,C,D 四点落在抛物线y= ax²+c 上，则下列结论正确的是
A.ac0 D.ac≥0
10.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力发展植树造林活动，该市的森林 覆盖率从2021年底的64%,提升到2023年底的69%.若这两年森林覆盖率的年平均增长 率为x, 则符合题意的方程是
(1+x)=0.69 (1+x)²=0.69 (1+2x)=0.69 (1+2x)²=0.69
二、填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分)
11.已知m 是一元二次方程x²+x—2025=0 的一个根，则代数式m²+m 的值等于
12.在平面直角坐标系中，点(a+2,2) 关于原点的对称点为(4,-b), 则a° 的值为
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°, 将△ACB绕点C 顺时针旋转70°,使点B 的对应点D 恰
好落在边AB 上，得到△ECD, 则∠EFC 的度数为
第13题图 第14题图 第15题图
14.如图，PA,PB 是⊙0的两条切线，A,B 为切点，连接AB,PO,PO 交AB 于点D, 交⊙0于 点C,CD=1,AB=4, 则⊙0的半径长为
15.如图，在△ABC 中 ，AB=AC, 以AC 为直径的⊙0与AB,BC 分别交于点D,E, 连接AE, ED,ED 平分∠AEB,AB=4, 则阴影部分的面积为
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三、解答题(一)(本大题3小题，每小题7分，共21分) 16.按要求解下列方程.
(1)x³-5x=0. (因式分解法)
(2)x²-4x-3=0. (公式法)
17.如图，A,B 是◎0上的两点，连接OA,OB,AB(O,A,B 三点不共线).
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠OAB 的平分线. (保留作图痕迹，不写作法)
(2)若(1)中所作的角平分线与⊙0交于点C, 连 接OC, 则∠COB 与∠B 有怎样的数量关
系?请说明理由。
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18.人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.人工 智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类 型.科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成 A,B,C,D 四张卡片(卡片背面完全相同),且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上.
A.决策类人工智能 B.人工智能机器人 C.语音类人工智能 D.视觉类人工智能
(1)从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为
(2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内 容一致，则选择该卡片内容学习.请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容 一致的概率.
四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分)
19.广东剪纸是国家非物质文化遗产之一.某实践小组为一件剪纸艺术作品添加边框，两种设计 方案如下图.图1中扇形设计方案的半径为30 cm, 圆心角为120°;图2中矩形设计方案的 长为42 cm, 宽为20 cm. 为了美观，需用彩条对边框进行封边，请通过计算比较哪种设计方 案使用的彩条长度较小.
图1 图2
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20.在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个.做摸球试 验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上 述过程.下图是“摸到白色球”的频率折线图.
(1)估计当摸球次数n 很大时，摸到白球的概率将会接近 (精确到0.01);假如你摸 一次球，你摸到白球的概率为 _ ·
(2)如果要使摸到白球的概率为- ,那么需要往盒子里再放入多少个白球?
“摸到白球”的频率折线统计图
频率
0.55E
0.50 0.45 0.40
0E
40 60 80 100 摸球的次数
21.张老板经营一家水产品店，在销售河蟹期间，他发现将售价定为80元/千克时，每天可销售 20千克.后来为了扩大销售量，他适当降低了售价，每天的销售量y (千克)与降价x (元)的 关系如图所示.已知河蟹的进价为50元/千克.
(1)求y 与x 之间的函数关系式.
(2)若要使每天销售这种河蟹的平均利润w 最大，则每千克河蟹应降价多少元?最大利润
为多少元?
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五、解答题(三)(本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分)
22.如图，0为△ABC 的边AB 上一点，以O 为圆心，AO 的长为半径作圆，交AB 于 点D, 过点 A 作 AE//BC, 交⊙0于点E.
(1)如图1,连接DE, 若∠B=45°, 则AE 绕点E 按顺时针方向旋转 °与DE 重合.
(2)如图2,连接CD, 交⊙O 于点F, 连接AF,EF, 且∠EFA=∠ACB.
①求证：AC 为⊙0的切线.
②若AC=6,BC=10,AF=EF, 直接写出△BCD的面积.
图1 图2
23.如图，抛物线y=x²-m(x+1)-1.
(1)试说明无论m 为何值，抛物线y=x²-m(x+1)-1 必经过某个定点.
(2)若抛物线与x 轴负半轴交于点A(a,0), 与x 轴正半轴交于点B(b,0), 与y 轴交于点 C, 且满足a²+b²—ab=13.
①求m 的值.
② 抛物线上是否存在点P, 使得S△AcP=2S△Ac?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，
请说明理由.
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