人教版数学八年级下册 第十八章平行四边形压轴训练动点问题

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第十八章 平行四边形 压轴训练 动点问题如图，在菱形 ABCD 中，∠B=60∘，E，F 分别是 BC，CD 上的动点，且始终保持 ∠AEF=60∘．(1) 试判断 △AEF 的形状，并说明理由；(2) 若菱形的边长为 2，求 △ECF 的周长的最小值．如图 1，在 △ABC 中，AC=9，AB=12，BC=15，P 为 BC 边上一动点，PG⊥AC，垂足为点 G，PH⊥AB，垂足为点 H．(1) 求证：四边形 AGPH 是矩形；(2) 在点 P 的运动过程中，GH 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 ∠ABC=60∘，AB=4，现有线段 BO 上的一个动点 E（不与点 B，O 重合），连接 AE，CE．(1) 求证：AE=CE．(2) 若 F 为射线 DC 上的一点，且 ∠AEF=120∘，求线段 EF 长可能的整数值．如图，在菱形 ABCD 中，P 是 AB 上的一个动点（不与点 A，B 重合），连接 DP 交对角线 AC 于点 E，连接 BE．(1) 求证：∠APD=∠CBE．(2) 若 ∠DAB=60∘，则当点 P 运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 14？请说明理由．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 AB 上的一动点（不与点 A，B 重合），连接 DE，点 A 关于直线 DE 的对称点为 F，连接 EF 并延长交 BC 边于点 G，连接 DF，DG．(1) 依题意补全图形，并证明 ∠FDG=∠CDG；(2) 过点 E 作 EM⊥DE 于点 E，交 DG 的延长线于点 M，连接 BM．①直接写出图中和 DE 相等的线段；②用等式表示线段 AE，BM 的数量关系，并证明．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的坐标分别为 A-1,0，B0,2，C3,2，D2,0，点 P 是 AD 边上的一个动点，若点 A 关于 BP 的对称点为 Aʹ，求 AʹC 的最小值．已知在平行四边形 ABCD 中，动点 P 在 AD 边上，以 0.5 cm/s 的速度从点 A 向点 D 运动．(1) 如图①，在运动过程中，若 CP 平分 ∠BCD，且满足 CD=CP，求 ∠B 的度数．(2) 在（1）的条件下，若 AB=4 cm，求 △PCD 的面积．(3) 如图②，另一动点 Q 在 BC 边上，以 2 cm/s 的速度从点 C 出发，在 BC 间作往返运动，P，Q 两点同时出发，当点 P 到达点 D 时停止运动（同时 Q 点也停止），若 AD=6 cm，求当运动时间为多少秒时，以 P，D，Q，B 为顶点的四边形是平行四边形．四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 是 AB 的中点，连接 DE，点 F 是射线 BC 上一动点（不与点 B 重合），连接 AF，交 DE 于点 G．(1) 如图 1，当点 F 是 BC 边的中点时，求证：△ABF≌△DAE；(2) 如图 2，当点 F 与点 C 重合时，求 AG 的长；(3) 在点 F 运动的过程中，当线段 BF 为何值时，AG=AE？请说明理由．如图所示，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90∘，AB=12，BC=21，AD=16．动点 P 从点 B 出发，沿射线 BC 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，动点 Q 同时从点 A 出发，在线段 AD 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 D 运动，当其中一个动点到达端点时停止运动，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 t 秒．(1) 设 △DPQ 的面积为 S，用含 t 的式子表示 S；(2) 当 t 为何值时，四边形 PCDQ 是平行四边形？(3) 分别求出当 t 为何值时，① PD=PQ，② DQ=PQ．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC=90∘，BC=8，DC=6，AD=10，动点 P 从点 D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P，Q 分别从点 D，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点 Q 随之停止运动，设运动的时间为 t（秒）．(1) 当点 P 运动 t 秒后，AP= （用含 t 的代数式表示）．(2) 若四边形 ABQP 为平行四边形，求运动时间 t．(3) 当 t 为何值时，△BPQ 是以 BQ 或 BP 为底边的等腰三角形．如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上的一动点（不与点 B，C 重合），连接 DE，点 C 关于直线 DE 的对称点为 Cʹ，连接 ACʹ 并延长交直线 DE 于点 P，F 是 ACʹ 的中点，连接 DF．(1) 求 ∠FDP 的度数；(2) 连接 BP，请用等式表示 AP，BP，DP 三条线段之间的数量关系，并证明；(3) 连接 AC，若正方形的边长为 2，请直接写出 △ACCʹ 的面积最大值．如图，在正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上一动点（不与点 B，C 重合），延长 AE 到点 F．连接 BF，且 ∠AFB=45∘，G 为 DC 边上一点，且 DG=BE，连接 DF，点 F 关于直线 AB 的对称点为 M，连接 AM，BM．(1) 依据题意，补全图形．(2) 求证：∠DAG=∠MAB．(3) 用等式表示线段 BM，DF 与 AD 的数量关系，并证明．如图所示，菱形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴上，点 A 在点 B 的左侧，点 D 在 y 轴的正半轴上点 C 的坐标为 4,23．动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度，按照 A→D→C→B→A 的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为 t 秒．(1) ①点 B 的坐标 ．②求菱形 ABCD 的面积．(2) 当 t=3 时，问线段 AC 上是否存在点 E，使得 PE+DE 最小，如果存在，求出 PE+DE 最小值；如果不存在，请说明理由．(3) 若点 P 到 AC 的距离是 1，则点 P 运动的时间 t 等于 ．如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，点 P 、点 E 分别是边 AB，BC 上的动点，连接 DP，PE．将 △ADP 与 △BPE 分别沿 DP 与 PE 折叠，点 A 与点 B 分别落在点 Aʹ，Bʹ 处．(1) 当点 P 运动到边 AB 的中点处时，点 Aʹ 与点 Bʹ 重合于点 F 处，过点 C 作 CK⊥EF 于 K，求 CK 的长；(2) 当点 P 运动到某一时刻，若 P，Aʹ，Bʹ 三点恰好在同一直线上，且 AʹBʹ=4，试求此时 AP 长．如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与点 A，B 重合），连接 DE，点 A 关于直线 DE 的对称点为 F，连接 EF 并延长交 BC 于点 G，连接 DG，过点 E 作 EH⊥DE 交 DG 的延长线于点 H，连接 BH．(1) 求证：GF=GC；(2) 用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明．如图 1，在矩形 ABCD 中，BC=3，动点 P 从 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 BC 方向移动，作 △PAB 关于直线 PA 的对称 △PABʹ，设点 P 的运动时间为 ts．(1) 若 AB=23．①如图 2，当点 Bʹ 落在 AC 上时，求 t 的值；②是否存在异于图 2 的时刻，使得 △PCBʹ 是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 t 值；若不存在，请说明理由．(2) 若四边形 ABCD 是正方形，直线 PBʹ 与直线 CD 相交于点 M，当点 P 不与点 C 重合时，求证：∠PAM=45∘．如图，在菱形 ABCD 中，AB=4 cm，∠BAD=60∘．动点 E，F 分别从点 B，D 同时出发，以 1 cm/s 的速度向点 A，C 运动，连接 AF，CE，取 AF，CE 的中点 G，H，连接 GE，FH．设运动的时间为 t s0