云南民族大学附属高级中学2024-2025学年高一上学期期末诊断数学试卷(含答案)

这是一份云南民族大学附属高级中学2024-2025学年高一上学期期末诊断数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．命题“，”的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
3．设扇形周长为20，圆心角的弧度数是3，则扇形的面积为( )
A.12B.16C.18D.24
4．“”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5．若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是( )
A.B.C.D.
6．已知，，，比较a，b，c的大小为( )
A.B.C.D.
7．已知是定义域为R的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的x的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．如图，正方形的边长为1，P、Q分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若，则下列结论一定成立的是( )
A.B.C.D.
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于点对称
B.函数的图象关于直线对称
C.函数在单调递减
D.该图象向右平移个单位可得的图象
11．若函数是奇函数，则( )
A.
B.是R上的减函数
C.的值域是
D.的图象与函数的图象没有交点
12．已知函数的定义域为R，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是( )
A.的一条对称轴是直线B.的一条对称轴是直线
C.方程有3个解D.
三、填空题
13．已知幂函数在区间上单调递减，则________.
14．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是________.
15．已知，，，，则的值为________.
16．已函数则函数的零点个数为________.
四、解答题
17．（1）计算：；
（2）已知：，求.
18．已知二次函数.
(1)若不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若，且，，求的最小值.
19．如图，已知，A是，之间的一个定点，且点A到，的距离分别为，，B，C分别是，上的动点，且，设.
(1)求以，为邻边的平行四边形的面积关于的函数解析式；
(2)求的最小值.
20．已知常数，函数.
(1)当时，求不等式的解集（用区间表示）；
(2)若函数有两个零点，求a的取值范围；
21．昆明某环保组织自2024年元旦开始监测滇池某水域中水葫芦生长的面积变化情况，并测得最初水葫芦的生长面积为n（单位：），此后每月月底测量一次.通过近一年的观察发现：自2024年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.记2024年元旦最初测量时间x的值为0，部分测量数据统计如表：
(1)水葫芦生长的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：①；②，请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；
(2)根据第（1）问选择的函数模型，求该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：，）.
22．已知函数，若对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，就称函数满足性质Q.
(1)判断函数：①；②是否满足性质Q？（直接写出判断结果，不用证明）
(2)若满足性质Q，在定义域上单调，且对都成立，解关于x的不等式；
(3)在(2)的条件下，已知，，若，证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：由，得到，即，
又，所以，
故选：B.
2．答案：B
解析：根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，
可知“，”的否定为“，”，
故选：B.
3．答案：D
解析：设扇形的半径为r，则弧长为，
因为扇形的周长为20，所以，解得，则，
故扇形的面积为.
故选：D.
4．答案：B
解析：当时，可得成立，即必要性成立；
反之，当时，可得或，即充分性不成立，所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
5．答案：D
解析：函数与的图象关于直线对称，
则，
，由，解得，
令，，
在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递减，
的单调减区间为.
故选：D.
6．答案：C
解析：因为函数在上单调递增，所以，
又，所以；
又因为函数在上单调递增，所以，
所以.
综上，.
故选：C
7．答案：C
解析：因为是定义在R上的奇函数，时，单调递增，且，所以当时，，
当时，，不等式，则：
当时，有，即或，解得或，又，；
当时，有，即或，又，解得；
综上，不等式的解集为.
故选：C.
8．答案：B
解析：设，，，，
则，，
于是，
又的周长为2，即，变形可得，
于是，
又，所以，
.
故选：B.
9．答案：AC
解析：A：因为，且在R上是增函数，所以，故A正确；
B：当，时，，故B错误；
C：因为，且在R上是增函数，所以，故C正确；
D：当，时，，故D错误.
故选：AC
10．答案：BD
解析：根据函数的部分图象，
可得，，可得，
由，，解得，所以，
对于A中，当，可得，
所以不是函数的对称中心，所以A错误；
对于B中，当时，可得，即函数的最小值，
所以函数的图象关于直线对称，所以B正确；
对于C中，当，可得，
根据余弦函数的性质，可得在函数在先减后增，所以C不正确；
对于D中，将函数该图象向右平移个单位，
可得的图象，所以D正确.
故选：BD.
11．答案：ACD
解析：A选项，的定义域为R，又为奇函数，
故，即，
即，解得，A正确；
B选项，，
任取，且，
故，
因为在R上单调递增，，故，
所以，即，
所以是R上的增函数，B错误；
C选项，因为，所以，，
所以的值域是，C正确；
D选项，令，即，，无解，
故的图象与函数的图象没有交点，D正确.
故选：ACD
12．答案：AC
解析：函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，A选项正确.
由于函数是奇函数，所以的图象关于对称，B选项错误.
则，，所以，
即有，
所以是周期为4的周期函数.
当时，，
画出、的大致图象如下图所示，
由图象以及的周期性可知，两个函数图象有3个交点，
则有3个解，C选项正确.
，，，
，所以，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
13．答案：
解析：由幂函数的定义知，，即，解得或，
当时，在区间上单调递增，不符合题意，
当时，在区间上单调递减，符合题意，所以.
故答案为：
14．答案：
解析：不等式在区间内有解等价于，
由双勾函数性质，得，
.
故答案为：
15．答案：/
解析：，，，，
，，
，.
.
故答案为：.
16．答案：6
解析：函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数，
当时，，
所以，
所以当时，是周期为4的函数；
当时，；
所以的图象如图所示，
在同一坐标系下画出的图象，
因为，所以两函数有6个交点，即函数有6个零点.
故答案为：6.
17．答案：（1）2；
（2）2
解析：（1）原式.
（2）由题意，
，
则，即，解得或，
又，即，则舍去，
所以.
18．答案：(1)，；
(2)9
解析：（1）不等式的解集为，
则，且的两根为和1，
则，所以；
（2）由，可得，即.
又，，所以，
当且仅当时，即，时等号成立.
19．答案：(1)，；
(2).
解析：（1），
所以，
所以，
所以，，
所以，
即，
（2）
由得，
所以，即时，取得最大值，
所以时，最小值为.
20．答案：(1)；
(2)
解析：（1）当时，，
，解得，
原不等式的解集为；
（2）函数有两个零点，
即方程有两个不等的实根，
，，
令，则，
由题意得方程在上只有两解，
令，，其图象的对称轴为，
则，
当时，直线和函数的图象只有两个公共点，
即函数只有两个零点，
实数a的范围；
21．答案：(1)选择模型，理由见解析，；
(2)7月份
解析：（1）选择模型，
因两个函数模型，在上都是增函数，随着x的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢，
由题意和表格数据，可以发现随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，故第一个函数模型满足要求.
由题意知，，解得，所以.
（2）由，解得，
又
故，
即该水域中水葫芦生长的面积在7月份起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上.
22．答案：(1)①不是；②是；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析
解析：（1）①不满足性质Q；②满足性质Q；理由如下：
①由中，x可取零，而中，x不能取零，因此不满足性质Q；
②由得对其定义域内任意给定的实数x都成立，因此满足性质Q.
（2）若满足性质Q，且定义域为，
令时，得到，
在上单调，在时恒有，
所以在上单调递减，
由得到，
即，因为在上是单调减函数，
所以，即，即，
①当时，不等式为，不等式解集为；
②时，不等式解集为.
③当时，即时，不等式为，不等式解集为；
④当时，，不等式解集为；
⑤当时，，不等式解集为.
（3）已知，，若，
，，
在上是单调函数，，，
，.
第x月月底
2
3
水葫芦生长面积y（）
24
64