2024-2025学年河北省保定市高三上学期9月月考数学模拟检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省保定市高三上学期9月月考数学模拟检测试卷（含解析），共24页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知命题，；命题，，则（ ）
A. 和都是真命题B. 和都是真命题
C. 和都是真命题D. 和都是真命题
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
3. 某学校对100名学生的身高进行统计，得到各身高段的人数并整理如下表：
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A. 100名学生身高的中位数小于160cm
B. 100名学生中身高低于165cm的学生所占比例超过
C. 100名学生身高的极差介于20cm至30cm之间
D. 100名学生身高的平均值介于160cm至165cm之间
4. 已知向量，满足，，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
5. 已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 设函数，，若当时，曲线与恰有一个交点，则a取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正四棱台的体积为，底面边长，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数，若在上恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于函数和，下列说法错误的是（ ）
A. 与的定义域相同B. 与的值域相同
C. 与在其定义域内都是偶函数D. 与的最小正周期相同
10. 抛物线的准线为l，P为C上的动点，过P作圆M：的两条切线，A，B为切点，过P作l的垂线，垂足为Q，则（ ）
A. 当时，l与圆M相切
B. 当时，最小值为
C. 当时，为定值
D. 存在点P，使得为等边三角形
11. 设函数，则（ ）
A 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴
D. 存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等差数列an的前n项和为，数列满足，且，，则的值为______．
13. 已知角为第二象限角，，角为第四象限角，，则值为______．
14. 在一个正六边形的六个顶点上放置数字，要求每个顶点上放置一个数字，且任意相邻两个顶点上的数字之和不能为5或7.若已经在三个相邻顶点上放置了数字1、2、3，则共有______种不同的放置方法（数字可以重复使用），在所有符合上述要求的放置方法中，六个顶点上的数字之和的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知三角形的内角的对边分别为a,b,c，且这些边和角的关系满足．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，且，求的周长．
16. 已知函数，函数图像在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
17. 如图，在长方体中，，点在棱上移动.

（1）当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值；
（2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.
18. 在一个摸球游戏中，有一个装有许多彩色球的盒子.盒子中的球分为三种颜色：红色、蓝色和绿色.每次游戏，参与者需要从盒子中随机取出两个球.已知盒子中红色球、蓝色球和绿色球的数量分别为a个、b个和c个，且总球数为N个.
（1）若第一次取出的球是红色，第二次取出的球是蓝色的概率为；第一次取出的球是蓝色，第二次取出的球是红色的概率为．求；
（2）若规定每次取球后都将球放回盒子中，且连续取球三次.设三次中恰好有两次取出球颜色相同的概率为，当时，求；
（3）在（2）的条件下，若游戏组织者规定，当三次取球中出现红色球的次数大于等于两次时，参与者获胜；否则，游戏组织者获胜.已知参与者获胜的概率为，游戏组织者获胜的概率为，求，并判断这个游戏是否公平．
2024-2025学年河北省保定市高三上学期9月月考数学模拟
检测试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知命题，；命题，，则（ ）
A. 和都是真命题B. 和都是真命题
C. 和都是真命题D. 和都是真命题
【正确答案】C
【分析】根据题意，结合全称命题和存在性命题的真假判定方法，命题为真命题，命题为假命题，结合命题否定的概念，即可求解.
【详解】对于任意，可得恒成立，所以命题为真命题，则为假命题；
由，可得，所以不存在，使得，
所以命题为假命题，则为真命题，
故选：C.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
【正确答案】A
【分析】计算出后结合模长定义即可得.
【详解】，则.
故选：A.
3. 某学校对100名学生的身高进行统计，得到各身高段的人数并整理如下表：
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A. 100名学生身高的中位数小于160cm
B. 100名学生中身高低于165cm的学生所占比例超过
C. 100名学生身高的极差介于20cm至30cm之间
D. 100名学生身高的平均值介于160cm至165cm之间
【正确答案】D
【分析】根据中位数的定义判断A选项，求出100名学生中身高低于165cm的学生有的人数判断B选项，根据极差的定义判断C选项，根据平均值的定义判断D选项.
【详解】100名学生身高的中位数是第和第名学生身高的平均值，
第名和第名学生的身高均大于，所以100名学生身高的中位数大于160cm，故A错误；
100名学生中身高低于165cm的学生有名，
所以100名学生中身高低于165cm的学生所占比例为，故B错误；
100名学生身高的极差最大为，最小为，
但是“介于”不能准确表示临界值能否取到，故C错误；
100名学生身高的平均值为，故D正确.
故选：D.
4. 已知向量，满足，，且，则（ ）
A B. C. 1D. 2
【正确答案】D
【分析】根据向量模的运算、向量垂直的表示等知识列方程，从而求得.
【详解】由两边平方得，，
由于，所以，
所以.
故选：D
5. 已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】设，，由题意可得，代入曲线中即可得.
【详解】设，则有，设，
则，由，则有，
即，故有，即.
故选：B.
6. 设函数，，若当时，曲线与恰有一个交点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用二次函数与指数函数的单调性，数形结合计算即可.
【详解】由题意可知y=fx在x∈−1,1上单调递减，而y=gx是R上增函数，
要满足题意需，即，
解之得.
故选：B
7. 已知正四棱台的体积为，底面边长，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】取的中点分别为，过点作，证得且，得出为正四棱台的侧面与底面所成角的平面角，根据棱台的体积公式，求得棱台的高为，在直角中，即可求解.
【详解】如图所示，取正四棱台的上下底面中心为，
连接，则与正四棱台的上下底面垂直，即为棱台的高，设，
取的中点分别为，连接，
在直角梯形中，过点作交于点，
在等腰中，由，可得，
在等腰梯形中，由分别为的中点，可得，
所以为正四棱台的侧面与底面所成角的平面角，
因为且正四棱台的体积为，
可得，解得，即，
在直角中，可得，
所以，即侧面与底面所成的二面角的余弦值为.
故选：A.
8. 设函数，若在上恒成立，则（ ）
A B. C. D.
【正确答案】B
【分析】将分解成两个函数乘积，由函数图像分类讨论，得出对应参数的关系及取值范围，从的得出和的范围.
【详解】令函数，
（1）ℎx和与轴的交点都在原点左侧，如图：
此时，当x∈0,+∞时，ℎx>0，gx>0，恒成立，
∴，即
∴，；
（2）ℎx和与轴的交点不在原点同侧，如图：
或
有图可知，均存在区间或使得函数，故舍去；
（3）ℎx和与轴的交点都在原点右侧，
①当两个零点不重合时，如图：
或
显然此时，存在或使得，故舍去；
②当两个零点重合且，时，如图：
此时，当x∈0,+∞时，恒成立，
故，∴
∴
综上所述：，
故选：B
方法点睛：本题函数可以分解成两个相乘的函数的形式，想要乘积大于等于0恒成立，说明在对应区间上两个函数值符号相同，从而找到参数的关系和范围，便能得出结果.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于函数和，下列说法错误的是（ ）
A. 与的定义域相同B. 与的值域相同
C. 与在其定义域内都是偶函数D. 与的最小正周期相同
【正确答案】ABC
【分析】分别计算出、的定义域、最小正周期即可得A、D；计算出的值域后，找出在的值域中的数，但不在的值域中的数即可得B；分别验证与是否为偶函数即可得C.
【详解】，定义域为R，值域为0,1，
，即最小正周期为，，故为偶函数；
对，有，即，又
即其定义域为，故A错误；
由，故与的值域不同，故B错误；
，故不为偶函数，故C错误；
对D：，故为的周期，
又定义域为，故的周期不小于，
故最小正周期为，故D正确.
故选：ABC.
10. 抛物线的准线为l，P为C上的动点，过P作圆M：的两条切线，A，B为切点，过P作l的垂线，垂足为Q，则（ ）
A. 当时，l与圆M相切
B. 当时，的最小值为
C. 当时，为定值
D. 存在点P，使得为等边三角形
【正确答案】CD
【分析】对于A，根据抛物线的准线方程以及圆的圆心坐标和半径可以判断是否相切；对于B，因为，所以可使得两点在点的异侧，根据两点之间，线段最短原理可知，当三点共线时，有最小值；对于C，已知可解得和的夹角，从而解得为定值；对于D，当时，为等边三角形，所以满足存在性．
【详解】对于A，圆M：的半径，圆心到准线的距离为，
所以，当且仅当，时， l与圆M相切，故A不正确；
对于B，如图所示：
当三点共线时，有最小值，最小值为，故B不正确；
对于C，因为，，所以由余弦定理得
,所以，
所以＝，故C正确；
对于D，当时，，所以，
此时为等边三角形，故D正确；
故选：CD．
11. 设函数，则（ ）
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴
D. 存在a，使得点为曲线的对称中心
【正确答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等差数列an的前n项和为，数列满足，且，，则的值为______．
【正确答案】
【分析】设出公差，由题意结合等差数列性质计算可得的值，即可得an的通项公式，再借助等差数列求和公式计算即可得.
【详解】设等差数列an公差为，由题意可得，
则，
故，即有，
即，故，即，
则.
故答案为.
13. 已知角为第二象限角，，角为第四象限角，，则的值为______．
【正确答案】
【分析】结合角、所在象限与同角三角函数基本关系可得，，再利用两角和的正切公式计算即可得.
【详解】由角为第二象限角，则，
由角为第四象限角，则，
故，，
则.
故答案为.
14. 在一个正六边形的六个顶点上放置数字，要求每个顶点上放置一个数字，且任意相邻两个顶点上的数字之和不能为5或7.若已经在三个相邻顶点上放置了数字1、2、3，则共有______种不同的放置方法（数字可以重复使用），在所有符合上述要求的放置方法中，六个顶点上的数字之和的最小值是______．
【正确答案】 ①. 72 ②. 6
【分析】分析已知三点的数字分布，由题意分析出已知三点中两端的相邻点的可能得数字，这两个点的数字可能相同也可能不同，所以分类讨论出结果，再相加即得答案；第二个空即可从前面的答案中找到数字最小的情况再相加即可.
【详解】数字包含了：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个，
∵相邻两个顶点数字之和不能为5或7，
∴2和3不相邻，即三个点分布为3、1、2或2、1、3，
∵正六边形是对轴称图形，故上述两种情况相同，记一种结果，
由题意可知：
与2相邻的另一个点的数字可能是：0、1、2、4、6、7、8、9，
与3相邻的另一个点的数字可能是：0、1、3、5、6、7、8、9，
1)当这两个点所选数字相同时，共有种取法，
此时，与剩余点相邻的数字相同，只需考虑2种不符合题意的数字，
∴最后一个点共有种取法，
∴共计种不同的放置方法；
2)当这两个点所选数字不同时，则有种取法，
此时，与剩余点相邻的数字不同，即2、3；2、5；4、3；4、5不存在差为2的情况，
所以每种结果都需排除4个不符合题意的数字，
∴最后一个点共有种取法，
∴共计种不同的放置方法；
综上所述，共有种不同的放置方法.
在所有符合上述要求的放置方法中，六个点上的数字分别为2、1、3、0、0、0时和最小，
∴最小值为：6
故①72 ；②6.
思路点睛：本题的关键在于分析第四和第五个点相同与否会影响到第六个点的取值情况，所以在这里需要分类谈论.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知三角形的内角的对边分别为a,b,c，且这些边和角的关系满足．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，且，求的周长．
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）利用正弦定理，将已知条件进行转化，即可求得；
（2）利用三角形面积公式，以及余弦定理，求得，即可求得三角形周长.
【小问1详解】
对，由正弦定理可得：，
故，则，又，故，.
【小问2详解】
由三角形面积公式，结合可得：，即，解得：；
由余弦定理以及，可得，也即，
故，解得；
故的周长为.
16. 已知函数，函数图像在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）借助导数的几何意义及其极值定义计算即可得解；
（2）利用函数单调性与导函数的关系可得当时，f′x≥0，计算即可得解.
【小问1详解】
，则有，
解得，即；
【小问2详解】
由，，
由在区间上单调递增，故当时，f′x≥0，
令，解得或，
故或，
对，该不等式组无解，
对，解得，
综上所述，.
17. 如图，在长方体中，，点在棱上移动.

（1）当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值；
（2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.
【正确答案】（1）
（2）当时，直线与平面所成角的正弦值最小，最小值为
【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面所成的夹角的余弦值；
（2）设，可求得平面的一个法向量，直线的方向向量，利用向量法可得，可求正弦值的最小值.
【小问1详解】
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

当点在棱的中点时，则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成的夹角的余弦值为；
【小问2详解】
设，
则，
则，

设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
令，
则，
当时，取得最小值，最小值为.
18. 在一个摸球游戏中，有一个装有许多彩色球的盒子.盒子中的球分为三种颜色：红色、蓝色和绿色.每次游戏，参与者需要从盒子中随机取出两个球.已知盒子中红色球、蓝色球和绿色球的数量分别为a个、b个和c个，且总球数为N个.
（1）若第一次取出的球是红色，第二次取出的球是蓝色的概率为；第一次取出的球是蓝色，第二次取出的球是红色的概率为．求；
（2）若规定每次取球后都将球放回盒子中，且连续取球三次.设三次中恰好有两次取出的球颜色相同的概率为，当时，求；
（3）在（2）的条件下，若游戏组织者规定，当三次取球中出现红色球的次数大于等于两次时，参与者获胜；否则，游戏组织者获胜.已知参与者获胜的概率为，游戏组织者获胜的概率为，求，并判断这个游戏是否公平．
【正确答案】（1）
（2）
（3），游戏不公平
【分析】（1），由概率的乘法公式可得结果；
（2），先计算对立事件发生的概率，再利用对立事件的性质可得结果；
（3），利用次独立重复试验概率的计算公式可得结果，从而判断公平性．
小问1详解】
设事件A表示第一次取出的球是红色，事件B表示第二次取出的球是蓝色，
那么，，所以；
设事件C表示第一次取出的球是蓝色，事件D表示第二次取出的球是红色，
那么，，所以；
所以；
【小问2详解】
三次取出的球颜色都相同的概率为，
三次取出的球颜色都不相同的概率为，
所以三次中恰好有两次取出的球颜色相同的概率
，
所以当时， ；
【小问3详解】
由（2）可知，三次取球中出现红色球的次数等于两次的概率为，
三次取球中出现红色球的次数等于三次的概率为，
所以三次取球中出现红色球的次数大于等于两次的概率，
此时，，
因为，故游戏不公平．
身高（cm）
[150，155）
[155，160）
[160，165）
[165，170）
[170，175）
[175，180]
频数
10
20
30
25
10
5
身高（cm）
[150，155）
[155，160）
[160，165）
[165，170）
[170，175）
[175，180]
频数
10
20
30
25
10
5