2024-2025学年湖北省孝感市大悟县高一上学期期中考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖北省孝感市大悟县高一上学期期中考试数学检测试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 命题p：，的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：
命题p：，的否定为，.
故选：B
2. 已知集合，且，则（ ）
A. B. 或C. D.
【正确答案】D
【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，结合集合元素满足互异性可求得实数的值.
【详解】因为集合，且，
所以，或，
解得或，
当时，，集合中的元素不满足互异性；
当时，，符合题意．
综上，．
故选：D．
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据抽象函数和具体函数定义域的求法，列不等式求解可得.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，解得，
根据解析式有意义可知，即，
综上，.
所以函数的定义域为.
故选：A．
4. 设函数，．用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【正确答案】B
【分析】根据分段函数的性质，结合图象即可求解.
【详解】解：令，解得或，
则，
当或时，，
当时，函数没有最小值，
综上：函数的最小值为1，
故选：B．

5. 已知函数满足，且，则（ ）
A. 16B. 8C. 4D. 2
【正确答案】A
【分析】分别取代入，联立可解得，然后可求.
【详解】因为函数满足，
所以有，，
又，所以，
解得，则.
故选：A．
6. 已知偶函数在区间上对任意，都有，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据条件得出函数在区间上递增，在区间则上递减，且图像关于轴对称，从而得到，即可得出结果.
【详解】因为偶函数在区间上对任意的，都有，
所以在区间上递增，在区间则上递减，
由，得到，即，解得，
故选：D．
7. “不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可.
【详解】解：∵“不等式在R上恒成立”，
显然不满足题意，
∴，解得，
对于A，是充要条件，故A错误；
对于B，因为推不出，故B错误；
对于C，因为，反之不能推出，故C正确；
对于D，因为推不出，故D错误．
故选：C．
8. 已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【正确答案】D
【分析】根据题意有，将变形为，然后利用基本不等式求，最后解一元二次不等式可得.
【详解】由题知，
因为a，b为正实数，所以由得，即，
所以，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
所以，即，
所以，整理得，
解得，所以正数x的最大值为2．
故选：D．
二、多选题（本题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知不等式解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的解集为
【正确答案】ACD
【分析】利用一元二次不等式解的性质得到关于的表达式，且，从而分析各选项即可得解.
【详解】由题意知，和3是方程的两根，且，
所以，，则，，
因为，所以，，，故AC正确，B错误；
不等式为，即，解得，
所以的解集为，故D正确．
故选：ACD．
10. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数x为（ ）．
A. 23B. 44C. 68D. 128
【正确答案】AD
【分析】根据给定条件对各选项逐一分析计算即可判断作答.
详解】对于A，由，得；由，得；
由，得，因此，A正确；
对于B，由，得，B错误；
对于C，由，则，C错误；
对于D，由，得；由，得；
由，得，因此，D正确.
故选：AD
11. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值可以是（ ）
A. 1B. C. D.
【正确答案】BC
【分析】由二次函数、反比例函数的性质及分段函数的单调性即可求解.
【详解】由题意，二次函数的图象开口向下，对称轴为，
因为函数是R上的增函数，
所以，解得．
所以实数a的取值可以是，.
故选：BC.
12. 设表示不超过x的最大整数，如：，，又称为取整函数，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. ，，若，则
C. ，
D. 不等式的解集为
【正确答案】BCD
【分析】由“取整函数”的定义逐个选项分析即可.
【详解】A．取和0.5，函数值分别为和0，故A不正确；
B．设，则，，，，
则，因此，故B正确；
C．设，
当时，，，
此时，
当时，，，
此时，
综合可得，C正确；
D．不等式，可得：，或，
∴，或，因此不等式的解集为，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题（本题共4小题，共20.0分）
13. 幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为___________．
【正确答案】##
【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，在区间上单调递增，不满足题意，
当时，在上单调递减，满足题意.
故．
故
14. 设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为______.
【正确答案】
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，当时，，
若，则，因为是定义在R上的奇函数，所以，
所以，所以，即.
故
15. 写出同时满足以下条件的一个函数___________．
①定义域为R，值域为；
②，，且时，；
③，．
【正确答案】(答案不唯一，合理即可)
【分析】根据已知条件分析函数的性质，选用满足题意的基本函数即可.
【详解】由题意可知，函数的图像关于直线对称，
函数在上单调递增，在上单调递减，最小值，
则符合题意.
故
16. 已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是___________．
【正确答案】
【分析】分类讨论不等式的解集，结合函数的图像，求满足条件的实数a的取值范围.
【详解】作出函数的图像，如图所示，
有，，
由，得，
当时，，不等式无解；
当时，由得，此时不可能只有一个整数解．
当时，由得，
若不等式恰有一个整数解，则整数解为，
又，，再结合图像知，
综上所述，实数a的取值范围为．
故
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知函数的定义域为A，集合，．
（1）求；
（2）若是的充分条件，求实数a的取值范围．
【正确答案】17. ；
18. ．
【分析】（1）根据解析式有意义求集合A，解一元二次不等式得集合B，然后根据集合运算可得；
（2）根据集合包含关系列不等式组求解即可.
【小问1详解】
由得：，即，
∴，
解得：，即，
∴．
【小问2详解】
由题意知，
由（1）知：，显然
所以有，解得：；
所以实数a的取值范围为．
18. （1）已知二次函数满足，且.求的解析式；
（2）求函数的值域.
【正确答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设，利用建立恒等式求解即可；
（2）令，（），从而把求值域问题转化为求的值域问题，利用二次函数性质求解值域即可.
【详解】（1）设二次函数（），
因为，所以.
由，得，
得，
所以，得，故.
（2）函数，令，（），那么，
则函数转化为，整理得：（），
根据二次函数的性质可知：的开口向上，对称轴，
故当时，函数取得最小值为，无最大值，即，
所以函数的值域为.
19. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）判断函数的单调性并用定义加以证明；
（2）求使成立的实数m的取值范围．
【正确答案】（1）函数是定义在上的增函数，证明见解析
（2）
【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可得出的值，再由可得出的值，可得出函数的解析式，利用函数奇偶性的定义验证函数为奇函数，判断出函数为上的增函数，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）由奇函数的性质可将所求不等式变形为，再利用函数的定义域与单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：∵函数是定义在上的奇函数，
∴，即．
又，即，解得，此时，，
对任意的，，
所以，是定义在上的奇函数．
函数是定义在上的增函数，证明如下：
、，且，
则．
∵，
∴，，，
∴，即，
∴在上是增函数．
【小问2详解】
解：由（1）知，在上是增函数，
∵是定义在上的奇函数，
由，得，
所以，，解得，
所以实数的取值范围是．
20. 以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元，且高级设备年产量最大为10000台．
（1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；
（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
【正确答案】（1）
（2）当年产量为30百台时，最大利润为400万元
分析】（1）分和两种情况讨论，即可求解函数关系式；
（2）根据基本不等式和二次函数的性质求解最大值即可．
【小问1详解】
当时，；
当时，，
所以企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式为：
．
【小问2详解】
当时，，当时，取得最大值为400；
当时，，
当且仅当时取等号，故当时，取最大值为325；
综上所述：当年产量为30百台时，最大利润为400万元．
21. 对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是；则称是该函数的“完美区间”．
（1）判断函数，是否存在“完美区间”，若存在，则求出它的一个完美区间，若不存在，请说明理由；
（2）已知函数有“完美区间”，当a变化时，求出的最大值．
【正确答案】（1）存在“完美区间”，它的一个完美区间是.
（2）．
【分析】（1）根据“完美区间”的定义，分类讨论函数单调性，由值域列方程求的值.
（2）由“完美区间”的定义和函数单调性，列方程求解，得是方程的两根，利用韦达定理求的最大值．
【小问1详解】
根据题意，函数，其定义域为R，若存在“完美区间”，则在内是单调函数，
，分2种情况讨论：
①若，在是增函数，必有，
显然不存在符合题意的m、n；
②若，在是减函数，必有，
则，且．
故符合条件的一组，（答案不唯一，符合题意即可），
所以函数存在“完美区间”，它的一个完美区间是.
【小问2详解】
根据题意，，其定义域为，
必有或，
则在上递增，必有，
则m、n是方程的两个根，
变形可得，
则该方程有两个同号不相等的根，且两根为m、n，
则，
必有，
解可得或，
则，
又由或，
则时，取得最大值2，则最大值为．
22. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，．
（1）求的值；
（2）设函数．
（ⅰ）证明：函数的图像关于点对称；
（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）．
【分析】（1）由函数的图像关于点对称，可得；
（2）（ⅰ）证明即可；（ⅱ）由在的值域为，设在上的值域为A，问题转化为，先求解，分类讨论轴与区间的关系，研究二次函数的值域即可.
【小问1详解】
因为函数的图像关于点对称，
则，
令，可得．
【小问2详解】
（ⅰ）证明：由，
得，
所以函数的图像关于对称．
（ⅱ），
则在上单调递增，
所以的值域为，
设在上的值域为A，
对任意，总存在，使得成立，
则，
当时，，
函数图象开口向上，对称轴为，且，
当，即，函数在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，，
所以，
所以，由，可得，解得．
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
结合对称性可得或，
因为，所以，，
又，，
所以，，
所以当时，成立．
当，即时，函数在上单调递减，
由对称性可知在上单调递减，因为，，
所以，所以，由，
可得，解得．
综上所述，实数a的取值范围为．