2024-2025学年吉林省吉林市高一上学期期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年吉林省吉林市高一上学期期中考试数学检测试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若全集，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列各命题中，真命题是（ ）
A．B．
C．D．
3．“”是“函数在上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x应为（ ）
A．10 mB．15 mC．20 mD．25 m
5．已知奇函数，当时，（m为常数），则（ ）
A．1B．2C．D．
6．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ）
A．B．C．D．
7．已知实数a，b，满足恒成立，则的最小值为（ ）
A．2B．0C．1D．4
8．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数图象经过点，则下列结论正确的有（ ）
A．为偶函数
B．为单调递增函数
C．若，则
D．若，则
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：．已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在上的值域是
C．在上是增函数
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．计算： .
13．已知函数（且）的图象恒过定点，则 .
14．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知幂函数，且的图像关于原点对称．
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
16．已知集合是函数的定义域，集合是不等式（）的解集，：，.
(1)求集合，集合；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
17．一片森林原来面积为2021万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
18．已知函数(且)是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围
19．“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，．
(1)求的值；
(2)设函数．
（ⅰ）证明：函数的图像关于点对称；
（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
答案
1．【正确答案】C
【详解】由，得，而，
所以.
故选：C
2．【正确答案】C
【详解】对于选项A,,即或,故A不正确；
对于选项B,当时,,故B不正确；
对于选项D,为无理数,故D不正确；
对于选项C,当时,,故C为真命题,
故选C
3．【正确答案】A
【详解】因为函数的图象开口向上，对称轴为，
若函数在上单调递减，等价于，
显然是的真子集，
所以“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件.
故选：A.
4．【正确答案】C
【详解】设矩形花园的宽为ym，则，即，
矩形花园的面积，其中，
故当m时，面积最大.
故选：C
5．【正确答案】C
【详解】依题意是奇函数，
由于时，，
所以，
所以时，，
所以.
故选：C
6．【正确答案】B
【详解】解：当容器是圆柱时，容积V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D不满足条件；
由函数图象可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，
∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小，
∴A、C不满足条件，而B满足条件.
故选：B．
7．【正确答案】A
【详解】，所以，因为函数单调递增，所以，即.
故选：A．
8．【正确答案】C
【详解】因为函数的定义域为，满足，
且当时，，
当，时，，
则，
当，时，，
则，
当，时，，
则，
作出函数的大致图象，
对任意，都有，设的最大值为，
则，所以，解得或，
结合图象知m的最大值为，即的取值范围是.
故选：C.
9．【正确答案】ABD
【详解】A选项，因为，所以，A正确；
B选项，因为在R上单调递增，故，B正确；
C选项，，不等式两边同时乘以得，，C错误；
D选项，因为，所以，不等式两边同除以得，，D正确.
故选：ABD
10．【正确答案】BCD
【分析】根据函数图象经过点，得到，定义域为，然后逐项判断.
【详解】解：因为函数图象经过点，
所以，解得，则，定义域为，
定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，易知为单调递增函数，所以当时，，
作出函数的图象，如图所示：

由图象知：，
所以当时，，
故选BCD.
11．【正确答案】ABD
【详解】对于A，的定义域为R，又，
所以是偶函数，故A选项正确；
对于B，，当时，，此时，，
所以在的值域是，故B选项正确；
对于C，因为，所以在上不是增函数，故C选项不正确；
对于D，因为恒成立，所以，故D选项正确．
故选：ABD
12．【正确答案】
【详解】解：
.
故
13．【正确答案】3
【详解】根据指数函数过定点的知识可知，解得，所以.
14．【正确答案】
【详解】解：对于函数，则，当且仅当时取等号，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，
令，解得或，所以与的两个交点分别为、，
则函数与的图象如下所示：
当时，当时，当时，
显然，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，在时，即，
此时的值域为，符合题意，
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域为，符合题意；
综上可得.
故
15．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）函数为幂函数，
，解得或，
当时，是偶函数，关于轴对称，舍去；
当时，是奇函数，关于原点对称，
；
（2）明显在上单调递增，
对于，有，
解得或
16．【正确答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，
∴，即，解得，
∴，
∵（），
∴，解得或，
∴.
（2）∵是的充分不必要条件，
∴，，
令，则，
∴且等号不同时成立，解得，
∴实数的取值范围是.
17．【正确答案】（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年．
【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为，则，解得，
所以每年砍伐面积的百分比为；
（2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，则，
又，则，，,
所以到今年为止，该森林已砍伐了5年；
（3）设今后最多还能砍伐年，
则，
，，．
所以今后最多还能砍伐15年.
答：（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年．
18．【正确答案】(1)2；
(2).
【详解】（1）由是上的奇函数，得，解得，
此时，显然，即是奇函数，
所以.
（2）由（1）知，，由，得，而且，解得，
函数都是上的增函数，因此在上单调递增，
不等式，
依题意，，，函数在上单调递增，
则当时，，因此，解得，
所以实数的取值范围是.
19．【正确答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）．
【详解】（1）因为函数的图像关于点对称，
则，
令，可得．
（2）（ⅰ）证明：由，
得，
所以函数的图像关于对称．
（ⅱ），
则在上单调递增，
所以的值域为，
设在上的值域为A，
对任意，总存在，使得成立，
则，
当时，，
函数图象开口向上，对称轴为，且，
当，即，函数在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，，
所以，
所以，由，可得，解得．
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
结合对称性可得或，
因为，所以，，
又，，
所以，，
所以当时，成立．
当，即时，函数在上单调递减，
由对称性可知在上单调递减，因为，，
所以，所以，由，
可得，解得．
综上所述，实数a的取值范围为．