2024-2025学年陕西省安康市高一上学期11月期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省安康市高一上学期11月期中考试数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 若幂函数在上单调递增，则， 下列各组函数是同一函数的是， 若函数同时满足等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 下列各式表述正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项．
【详解】表示集合中有一个元素是，，A错误，
表示集合中有一个元素为，，B错误，
表示自然数集，包含数，成立，C正确，
表示集合一个元素也没有，，D错误.
故选：C
本题考查集合的含义，以及元素与集合的关系，属于基础题.
2. 命题：“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】B
【分析】利用存在题词命题的否定写出结果即可.
【详解】命题：“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题：“，”的否定是：，.
故选：B
3. 设为实数，则““是”“的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】D
【分析】分别举出反例否定充分性和必要性，得到答案.
【详解】取，，则，但，不具有充分性；
取，，则，但，不具有必要性；
故选：D.
4. 若幂函数在上单调递增，则（ ）
A. 3B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据幂函数的概念可得，然后结合单调性可得，进而可以求出结果.
【详解】因为为幂函数，则，解得或，
又因为在上单调递增，则，因此，
故选：B.
5. 已知是定义在上的奇函数，当时的图像如图，那么不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据图像和的奇偶性可得答案.
【详解】由图可得，当时，当时
因为是定义在上的奇函数，
所以当时，当时
所以不等式的解集是
故选：C
6. 已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为．
A. 和B. 和C. 和D. 和
【正确答案】C
【详解】∵函数定义域为，∴，∴，∴的定义域为，是由向左平移1个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的，故值域不变，其值域为，故选C.
点睛：本题主要考查抽象函数的定义域和值域，要紧扣函数定义域的定义以及函数左右平移值域不变的性质，属于基础题；根据函数的定义域的定义，自变量的取值范围为函数的定义域，由函数的定义域为，得到求解，函数左右平移值域不变，从而得到正确选项.
7. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．根据以上推广，则函数图象的对称中心是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】，根据定义域得到，根据得到，得到对称中心.
【详解】，为奇函数，
定义域为关于原点对称，故，，
，即，故，即对称中心为.
故选：A.
8. 已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】分析可知存在唯一的，使得，由已知可得，即，解方程，求出的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得的值.
【详解】因为函数在上是单调函数，则存在唯一的，使得，
对于方程，则，可得，
所以，函数在上是增函数，由，可得，，
因此，.
故选：C
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与； ②与；
③与； ④与.
A. ①B. ②C. ③D. ④
【正确答案】CD
【分析】求出函数的自变量的范围并尽可能的化简函数的解析式，再比较函数的对应关系和定义域是否都相同即可.
【详解】①， ，
对应关系不同，故与不为同一函数；
②的定义域为，的定义域为，
定义域不同，故与不为同一函数；
③，，
对应关系与定义域均相同，故为同一函数；
④与，
对应关系和定义域均相同，故为同一函数．
故选：CD.
10. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】AB
【分析】根据①②知“理想函数”是定义域上的奇函数且在定义域内单调递减，依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】由①知：为定义域上的奇函数；由②知：在定义域内单调递减；
对于A，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，A正确；
对于B，为上奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，B正确；
对于C，为上的奇函数且在上单调递增，不符合“理想函数”定义，C错误；
对于D，是上的非奇非偶函数，不符合“理想函数”定义，D错误.
故选：AB.
11. 若x∈A，则，称A为“影子关系”集合．下列对集合的所有非空子集中是“影子关系”的集合叙述正确的是（ ）
A. 集合个数为7B. 集合个数为8
C. 含有1的集合个数为4D. 元素个数为2的集合有2个
【正确答案】ACD
【分析】利用“影子关系”集合的定义求解.
【详解】集合的所有非空子集中是“影子关系”的集合有：
，
共7个，
含有1的集合个数为4，元素个数为2的集合有2个，
故选：ACD
12. 已知，，，下列命题中错误的是（ ）
A. 的最小值为2
B. 若，则的最小值为
C. 若，则的最小值为10
D. 若，则的最小值为32
【正确答案】AC
【分析】利用基本不等式等号成立的条件判断A；变形给定等式，再利用基本不等式求出最小值判断B；变形所求最值的式子，再利用基本不等式求解判断C；两次利用基本不等式求解判断D.
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，
而无解，即上述等号不成立，A错误；
对于B，由，得，则，
由，得，因此
，当且仅当，即时等号，B正确；
对于C，由，得，
当且仅当时取等号，C错误；
对于D，由，得，
当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：AC
选项D解题关键是两次利用基本不等式，只需检验两次不等式等号成立的条件能否同时成立即可.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中横线上）
13. 函数的定义域为__________
【正确答案】
【分析】由具体函数的定义域求解即可.
【详解】函数的定义域为：，
解得：且.
故函数的定义域为.
故答案为.
14. 函数在区间上是减函数，且，则的取值范围为__________.
【正确答案】
【分析】根据函数的定义域和单调减函数的定义，可得，解不等式即可得出答案.
【详解】因为函数在区间上是减函数，且，
所以，解得.
故
15. 已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是__________.
【正确答案】
【分析】根据题意可知在上为增函数，令，那么问题转化为函数在上为增函数，且在上恒成立，讨论是否为零，列出不等式求解即可.
【详解】因为对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，
所以函数在上为单调递增函数，
令，则函数在上为单调递增函数，且在上恒成立，
当时，，因为在时，，不合题意，舍去；
当时，则，解得：，
所以实数的取值范围是.
故
16. 若不等式有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为______，实数的取值范围为______.
【正确答案】 ①. 3 ②.
分析】
计算该不等式，然后辨别两个端点的大小并确定之间的整数，最后计算即可.
【详解】
令
可得
由，所以
所以不等式的解集为
依题可知：不等式有且只有两个整数解
所以这两个整数解为：1，2
所以这两个整数解之和为3
满足，又，所以
故3，.
四、解答题（本大题共6小题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）已知，求的值.
【正确答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可；
（2）把平方，结合即可求得，利用可得的值，代入所求的式子即可得答案．
【详解】（1）
（2），所以，
，．
18. 已知函数f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．
（1）讨论f(x)的奇偶性；
（2）求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．
【正确答案】（1）函数f(x)是偶函数（2）∈(1，＋∞)
【分析】（1）先求函数f(x)的定义域，再判断f(－x)与f(x)是否相等即可得到结果；（2）由f(x)是偶函数可知只需讨论x＞0时的情况，则有x3＞0，从而求得结果.
【详解】（1）由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于定义域内任意x，有
f(－x)＝(－x)3
＝(－x)3
＝(－x)3
＝x3＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
（2）由（1）知f(x)为偶函数，
∴只需讨论x＞0时的情况，当x＞0时，要使f(x)＞0，
则x3＞0，
即＋＞0，
即＞0，则ax＞1.
又∵x＞0，∴a＞1.
∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.
本题考查判断函数奇偶性的方法和恒成立问题，判断函数的奇偶性先求定义域，再判断f(－x)与f(x)是否相等或者互为相反数，相等即为偶函数，互为相反数则为奇函数，属中档题.
19. 设函数，函数，
（1）求函数的值域；
（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（）把函数化简为，利用基本不等式，即可得到函数的值域；
（）由题意，求得函数的值域，使得，列出不等式组，即可求解实数的取值范围．
【小问1详解】
，，
当时：有，
当且仅当，，即时，取等号；
当时：有，
当且仅当，，即时，取等号，
又因为，所以，所以，
当时，，
综上：，所以的值域为.
【小问2详解】
∵，，
，∵，∴在上单调递增，
∵，∴，
要使题设成立，则成立，
∴，解得：，
∴.
20. 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数
（1）将利润P（单位：元）表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）
【正确答案】（1）
（2）当月产量为300台时，利润最大，最大值为.
【分析】（1）分和两种情况，求出函数解析式；
（2）在（1）基础上，分和，结合函数单调性求出最大值，得到结论.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
故；
【小问2详解】
当时，，
故当时，取得最大值，最大值为；
当时，单调递减，故，
综上，当月产量为300台时，利润最大，最大值为.
21. 若非零函数对任意实数均有，且当时
（1）求证：；
（2）求证：为R上的减函数；
（3）当时， 对时恒有，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）通过赋值法求得，然后令，利用“时，”这一条件，可证得.（2）令，通过赋值法得，根据（1）的结论可得，由此证得函数为减函数.（3）通过赋值法求得，将题目所给不等式右边变形为后，利用函数的单调性可区间函数符号，变为一元二次不等式在区间上恒成立的问题来解决.
【详解】(1)证明：证法1：令y＝0得f(0)·f(x)＝f(x)即f(x)[f(0)－1]＝0，又f(x)≠0，∴f(0)＝1.
当x1，－x>0.
f(x)·f(－x)＝f(0)＝1，则．故对于x∈R恒有f(x)>0.
证法2:.∵f(x)为非零函数，∴f(x)>0.
(2)证明：令x1>x2且x1，x2∈R，
有f(x1)·f(x2－x1)＝f(x2)，又x2－x11，故，又f(x)>0.
∴f(x2)>f(x1)．故f(x)为R上的减函数．
(3)f(4)＝＝f(2＋2)＝f2(2)⇒f(2)＝，则原不等式可变形为f(x2－2ax＋2)≤f(2)，
依题意有x2－2ax≥0对a∈[－1,1]恒成立．
∴∴x≥2或x≤－2或x＝0.
故实数x的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．
本小题主要考查抽象函数单调的证明，考查利用抽象函数单调性解决不等式恒成立问题.属于中档题.
22. 已知函数，．
（1）讨论的单调性（只要求写出正确结论）
（2）若函数在上最小值为12，求实数的值．
【正确答案】（1）答案见解析；
（2）或.
【分析】（1）结合含参数的二次函数的单调性进行分类讨论即可求出结果；
（2）结合含参数的二次函数的最值进行分类讨论即可求出结果；
【小问1详解】
当时，在上单调递增;
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
因为，
（1）若，即时，在上单调递增，
所以，解得或（舍）;
（2）若，即时，则，
得，解得（舍），（舍）
（3）若时， ，所以
解得或（舍），
综上：或.