2024-2025学年四川省乐山市高一上学期10月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省乐山市高一上学期10月月考数学检测试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列集合符号运用不正确的是()
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据集合知识,逐项分析,即可求得答案.
对于A,由,故A正确;
对于B,因为,故B错误;
对于C,因为,故C正确;
对于D,因为,故D正确.
故选:B.
解题关键是掌握集合的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.
2. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】
根据图像判断出阴影部分表示，由此求得正确选项.
根据图像可知，阴影部分表示，，所以.
故选：A
本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题.
3. 下列各组函数中f（x）和表示相同函数的是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】D
分析】根据函数相等：对应关系相同，定义域相同，逐项分析判断.
对A：的定义域为R，的定义域为，则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，A错误；
对B：∵，解得或，则的定义域为，
又∵，解得，则的定义域为，
则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，B错误；
对C：的定义域为R，的定义域为R，则两个函数的对应关系不相同，定义域相同，C错误；
对D：的定义域为R，的定义域为R，则两个函数的对应关系相同，定义域相同，D正确；
故选：D.
4. 已知函数，则（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【正确答案】A
【分析】
根据分段函数的解析式直接计算求值.
∵，
∴，
∴．
故选：A
5. “不等式在R上恒成立”的充分不必要条件是（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分条件，必要条件的概念求出选项.
不等式在R上恒成立，即，
因为，但不能推出成立，
故是不等式在R上恒成立的充分不必要条件，
故选：A
6. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为，设物体的真实质量为G，则（）
AB. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据物理知识可求真实重量为，利用基本不等式可得两者之间的大小关系.
解：设天平的左右臂分别为，物体放在左右托盘称得的重量分别为, 真实重量为,
所以，由杠杆平衡原理知：，,
所以，由上式得，即，
因为,，
所以，由均值不等式，
故选：C.
7. 已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】分析可得，，，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.
由二次函数的图象可知，函数的图象开口向上，且该函数的图象与轴相切，对称轴为直线，
所以，，且，则，，
不等式即，即，解得，
因此，不等式的解集为.
故选：B.
8. 已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则不等式的解集是的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.
解：由得，
因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式
则不等式的解集是的子集，
又由得，
当，，符合；
当，，则，，
当，，符合，
故实数的取值范围为.
故选：C.
二、多选题（每题5分，不全得2分，有错不得分，共4题）
9. 下列说法中正确的是（）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【正确答案】AC
【分析】通过反例可说明BD错误；根据不等式的性质可证明AC正确.
对于A，，，，A正确；
对于B，若，，则，B错误；
对于C，，，又，，C正确；
对于D，若，，，，则，，，D错误.
故选：AC.
10. 下列选项中正确的是（）
A. 已知集合，若，则
B. 若不等式的解集为，则
C. 若集合满足，则满足条件的集合有8个
D. 已知集合，若，则的取值范围为
【正确答案】CD
【分析】根据集合的包含关系及集合元素的性质可判断A，根据二次不等式的解法可判断B，根据集合的关系及集合子集的个数可判断C，根据集合的包含关系可判断D.
由，可知，所以或，
解得或或，根据集合元素的互异性，可得或，故A错误；
因为的解集为，所以，
解得，故B错误；
由，可知集合必有2,4，的个数为集合的子集数8个，故C正确；
因，，
所以，故D正确。
故选：CD.
11. 下列说法正确的是（）
A. 若的定义域为，则的定义域为
B. 函数的值域为
C. 函数的值域为
D. 函数在上的值域为
【正确答案】AC
【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.
对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，
所以，即函数的值域为，故B不正确；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，
所以函数在上的值域为，故D不正确．
故选：AC．
12. 下列说法正确的有（）
A. 若，则的最大值是
B. 若，，都是正数，且，则的最小值是3
C. 若，，，则的最小值是2
D. 若实数，满足，则的最大值是
【正确答案】ABD
【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用换元法，设，，可将原式化简为，结合基本不等式，可得答案．
对于A，因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，，
所以，
当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立），
因为，所以，所以，
所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4，故C错误；
对于D，，设，，
∵，当且仅当，即时，取等号
∴
则的最大值为，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题（每题5分，共4题）
13. “，”的否定为___________.
【正确答案】，
【分析】根据全称量词命题的否定形式直接写出结果即可.
因为该命题是全称量词命题,所以命题的否定为特称量词命题，
则该命题的否定为：
，.
故，.
14. 某班共有30名学生，在校运会上有20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，则两项都参加的人数为________.
【正确答案】5
【分析】设参加赛跑项目为集合，参加跳跃项目为集合，根据题意，可得、、中元素的数目，由集合间元素数目的关系计算可得答案.
根据题意，设参加赛跑项目为集合，参加跳跃项目为集合，
可得，（B），，
所以（A）（B），
所以两项都参加的有5人.
故5.
15. 已知，且，则实数的值_____________.
【正确答案】3
【分析】运用配方法、换元法求出函数的解析式，最后利用代入法，通过解方程求解即可.
，令
，即，
，且，
解得：（舍去）或，
所以实数的值3.
故3
本题考查了已知函数值求自变量的值，考查了配方法、换元法的应用，考查了数学运算能力.
16. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为__________．
【正确答案】
【分析】分别求解两个不等式，对于不等式，按照取值进行分类比较两根的大小，求得不等式的解集，再根据题意，借助于数轴表示即可求出的取值范围.
由可得，解得或，
由可得（*）.
① 若，即时，由（*）可得，显然解集为，不合题意；
② 若，即时，由（*）可得，
因原不等式组仅有一个整数解，故，解得；
③若，即时，由（*）可得，
因原不等式组仅有一个整数解，则，解得.
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 设
（1）求​的值及​;
（2）求​.
【正确答案】（1）​，​，​
（2）
【分析】分析（1）由题意得，代入方程中可求出​的值，从而可求出，
（2）先求出和，从而可求出.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，，
解得，，
所以​
【小问2详解】
因为，
所以，
所以.
18. 已知命题：关于的方程有实数根，命题．
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）依题意命题是假命题，即可得到，从而求出参数的取值范围；
（2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.
【小问1详解】
解：因为命题是真命题，所以命题是假命题．
所以方程无实根，
所以．
即，即，解得或，
所以实数a的取值范围是．
【小问2详解】
解：由（1）可知：，
记，，
因为是的必要不充分条件，所以，所以（等号不同时取得），
解得，所以实数的取值范围是．
19. （1）已知，求的最大值；
（2）已知，且，求的最小值；
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）将原式改为，进而用基本不等式解决；
（2）根据，将原式改为，进而化简，最后根据基本不等式得到答案.
（1）因为，所以，
所以，
当且仅当时取“=”.
则函数的最大值为.
（2）因为，且，
所以，
当且仅当时取“=”.
则函数的最小值为.
20. 不等式：的解集为.
（1）求集合；
（2）若不等式的解集为，且，求的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）分式不等式转化为整式不等式求得解集
（2）分类讨论，当时，不符合题意，当时，求得
利用得到；
（1）
，，，
且
，
（2）∵，∴
当时，，不符合题意，舍去；
当时，不等式可化为：，注意到，
∴，∴，∴
当时，不等式可化为：，注意到无论与大小关系，均包含趋于部分，一定不符合，舍去.
综上可知：
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
21. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题试卷库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【正确答案】（1）
（2）当时，取得最大值为3680万元
【分析】（1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解；
（2）分类讨论，当时根据二次函数单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解．
【小问1详解】
因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元，
所以，解得，
当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元，
所以，解得，
当时，，
当时，，
综上．
【小问2详解】
①当时，单调递增，所以；
②当时，，
由于，
当且仅当，即时取等号，
所以此时的最大值为，
综合①②知，当时，取得最大值为3680万元．
22. 已知函数.
（1）恒成立，求实数的取值范围；
（2）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据题意，转化为恒成立，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）由，令，求得，根据题意，转化为与有4个不同的交点，分、和，三种情况讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，
因为不等式恒成立，即恒成立，
即恒成立，
当时，可得恒成立，符合题意；
当时，要使得恒成立，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围.
【小问2详解】
解：由，令，
当且仅当时，即时，等号成立，
因为方程有四个不同的实根，即与有4个不同的交点，
当时，显然与不能有4个不同的交点；
当时，作出函数的图象，如图所示，
由图象可得，显然与不能有4个不同的交点；
当时，作出函数的图象，如图所示，
由图象可得，当时，函数取得最大值为，
要使得与能有4个不同的交点，则且，
即且，所以，
综上可得，实数的取值范围为.