2024-2025学年四川省绵阳市高一上学期期中测试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省绵阳市高一上学期期中测试数学检测试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了 已知命题，，命题p的否定是， “函数的定义域为R”是“”的， 已知a，b为正实数，且，则等内容，欢迎下载使用。
一､单选题（每小题5分，共计40分）
1. 已知命题，，命题p的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】D
【分析】
利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．
【详解】命题，的否定是：，
故选：D
2. 已知集合，若，则实数的值不可以为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【正确答案】D
【分析】首先要理解集合的概念，对于集合，通过求解方程得到集合中的元素.因为，这意味着，所以要对集合中的方程进行分析，分情况讨论的值，看哪些值满足.
【详解】对于方程，分解因式可得，解得或者，
所以.对于方程，其解为或者.
因为，这意味着.
当时，方程变为，此时，满足.
当时，，此时，满足.
当且时，.
因为，所以，解得，此时，满足.
综上，实数的值可以为、、，所以实数的值不可以为除、、之外的值.
故选：D.
3. 下列函数既是奇函数又在单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据基本函数的单调性，结合奇偶性的定义即可逐一求解.
【详解】对于A,函数在单调递减，故不符合要求，
对于B，单调递减，故不符合要求，
对于D, 为对勾函数，故在单调递增，在单调递减，故不符合要求，
对于C，由于的定义域为，关于原点对称，且故为奇函数，
且函数均为上的单调递增函数，所以为上的单调递增函数，符合要求，
故选：C
4. 已知，若的解集为，则函数的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据已知函数的解集，再结合函数关于y轴对称得出图象.
【详解】由的解集为，
可知函数的大致图象为选项D中的图象，
又函数与的图象关于y轴对称,可得出图象为C选项.
故选:C．
5. 已知函数在区间上的值域是，则区间可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】结合选项，根据二次函数的性质求解判断.
【详解】函数对称轴为，
当时，当时，当时，值域为，故A错误；
当时，当时，当时，值域为，故B正确；
当时，当时，当时，值域为，故C错误；
当时，当时，当时，值域，故D错误.
故选：B.
6. “函数的定义域为R”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】由函数的定义域为R，即对任意x∈R恒成立，可得a的范围，则可得 “函数的定义域为R” 是“”的必要不充分条件.
【详解】因为函数的定义域为R，
所以对任意x∈R恒成立，
①当时，对任意x∈R恒成立；
②当时，只需，解得：；
所以.
记集合，.
因为A⫋B，所以 “函数定义域为R” 是“”的必要不充分条件.
故选：B.
7. 已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（ ）
A. m≥2B. m≥4C. m≥6D. m≥8
【正确答案】D
【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围.
【详解】不等式可化为，又，，
所以，
令，则，
因为，，所以，当且仅当时等号成立，
又已知在上恒成立，所以
因为，当且仅当时等号成立，
所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，
所以m的取值范围是，
故选：D.
8. 已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意，设，得到，结合，求得，把方程转化为和有两个交点，设，得到，结合二次函数的性质，得到和，即可求解.
【详解】因为函数是的单调函数，且对于任意的，都有，
所以为定值，设，可得，
又由，可得，解得或（舍去），
所以，则方程，即，即，
则关于的方程恰有两个实数根，即，
即函数和有两个交点，
设，则，即且，可得，
当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
所以，且，当时，，
要使得方程恰有两个实数根，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故选：C.
二､多选题（每小题6分，共计18分）
9. 对于任意实数，，，，下列四个命题中为假命题的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【正确答案】AD
【分析】利用特殊值判断A、D，根据不等式的性质判断B、C.
【详解】对于A ，当时，满足条件，，但是，所以A为假命题；
对于B，因为，所以，所以，所以成立，所以B为真命题；
对于C，因为，所以且，所以，所以C为真命题；
对于D，当，，，时，满足条件，，但是，所以D为假命题．
故选：AD．
10. 已知a，b为正实数，且，则（ ）
A. 的最大值为4
B. 的最小值为18
C. 的最小值为4
D. 的最小值为
【正确答案】ABC
【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，a，b为正实数，且，
对于A，因为，当且仅当时取等号，
解不等式得，即，故的最大值为，所以A正确；
对于B，，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值18，所以B正确；
对于C，由，当且仅当时，等号成立，
可得，解得，即的最小值为4，所以C正确；
对于D，，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，所以D错误.
故选：ABC.
11. 定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上单调递增B.
C. 在上单调递减D. 若正数满足，则
【正确答案】ABD
【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AC，根据单调性比较大小判断B，根据单调性解不等式判断D.
【详解】对于任意，，
所以，所以在上单调递增，故选项A正确；
因为的定义域为，所以，
所以为奇函数，所以，由在上单调递增，
所以，故选项B正确；
对于任意，
，
因为，，所以，所以，
所以在上单调递增，故选项C错误；
，即，
又，所以，
因为在上单调递增，所以，
解得，即，故选项D正确.
故选：ABD
三､填空题（每小题5分，共计15分）
12. 函数的定义域为______．
【正确答案】
【分析】根据求定义域的法则求解.
【详解】要使函数有意义，
需满足，即，
则函数的定义域为，
故答案为.
13. 函数，若，则__________.
【正确答案】
【分析】根据函数各段的定义域，分，两种情况，由 求解.
【详解】当时，则，
因，
所以，
即，
解得或（舍去），
所以.
当时，则，
因为，
所以无解.
综上：
故4
本题主要考查分段函数求值问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.
14. 已知函数fx,gx的定义域为的图象关于直线对称，且，，若，则______.
【正确答案】
【分析】由y=fx的图象关于直线对称，得，由，得，结合，得，进而代入相关值求结果即可.
【详解】因为y=fx的图象关于直线对称，则，
又，则①，
因为，则②，
①②得，则令，得，
令，得，
由，得，
由，得，
则，
所以，
故答案为.
四､解答题（共计77分）
15. 已知定义在上的函数满足：．
（1）求函数的表达式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可；
（2）要使在上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
将的替换为得，
联立
解得
【小问2详解】
不等式为，化简得，
要使其上恒成立，则，
，
当且仅当取等，所以．
16. 设集合，.
（1）若，求实数的值；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可.
（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可.
【小问1详解】
由，所以或，故集合.
因为，所以，将代入中的方程，
得，解得或，
当时，，满足条件；
当时，，满足条件，
综上，实数的值为或.
【小问2详解】
因为“”是“” 的必要条件，所以.
对于集合，.
当，即时，，此时；
当，即时，，此时；
当，即时，要想有，须有，
此时：，该方程组无解.
综上，实数的取值范围是.
17. 如图，正方形的边长为1，，分别是和边上的点.沿折叠使与线段上的点重合（不在端点处），折叠后与交于点.
（1）证明：的周长为定值.
（2）求的面积的最大值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）设，利用对称性，找到之间的关系，再由相似三角形的性质，利用周长比等于相似比建立关系，得到的周长表达式，化简证明即可；
（2）由面积比等于相似比的平方建立关系，得到面积的表达式，消元后利用基本不等式求解最值.
【小问1详解】
设，，则，
由勾股定理可得，
即，由题意，，
即，可知∽，
设的周长分别为，则.
又因为，
所以，
的周长为定值，且定值为.
【小问2详解】
设的面积为，则，
因为，所以，.
因为，则，
因为，所以，
当且仅当，即 时，等号成立，满足.
故的面积的最大值为.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式．
【正确答案】（1），
（2）减函数；证明见解析；
（3）
【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可.
（2）利用函数单调性定义证明即可.
（3）首先将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可.
【小问1详解】
函数是定义在上的奇函数，
；，解得，
∴，而，解得，
∴，．
【小问2详解】
函数在上为减函数；
证明如下：任意且，则
因为，所以，又因为，
所以，所以，
即，所以函数在上为减函数．
【小问3详解】
由题意，，又，所以，
即解不等式，所以，
所以，解得，
所以该不等式的解集为．
19. 若函数的定义域为，集合，若存在正实数，使得任意，都有，且，则称在集合上具有性质.
（1）已知函数，判断在区间上是否具有性质，并说明理由；
（2）已知函数，且在区间上具有性质，求正整数的最小值；
（3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且在上具有性质，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）不具有，理由见解析
（2）2 （3）
【分析】（1）结合定义举出反例即可得；
（2）由题意可得，即可转化为对任意恒成立，构造相应函数，借助二次函数的性质即可得解；
（3）由题意结合奇函数的性质可得，再证明时，在R上具有性质即可得.
【小问1详解】
，
当时，，
故在区间−1,0上不具有性质；
【小问2详解】
函数的定义域为R，
对任意，则，
在区间0,1上具有性质，
则，即，
因为是正整数，化简可得：对任意恒成立，
设，其对称轴为，
则在区间上是严格增函数，
所以，，解得，
故正整数的最小值为2；
【小问3详解】
法一：由是定义域为R上的奇函数，
则，解得，
若，，有恒成立，所以符合题意，
若，当时，，
所以有，
若在R上具有性质，则对任意x∈R恒成立，
在上单调递减，则，x不能同在区间内，
，
又当时，，当时，，
若时，今，则，故，不合题意；
，解得，
下证：当时，恒成立，
若，则，
当时，则，，
所以成立；
当时，则，
可得，，即成立；
当时，则，
即成立；
综上所述：当时，对任意x∈R均有成立，
故实数的取值范围为.
法二：由是定义域为R上的奇函数，则，解得.
作出函数图像：
由题意得：，解得，
若，，有恒成立，所以符合题意，
若，则，
当时，则，，
所以成立；
当时，则，
可得，，即成立；
当时，则，
即成立；
综上所述：当时，对任意x∈R均有成立，
故实数的取值范围为.
关键点点睛：最后一问关键点在于由题意得出必要条件，再证明其充分性即可得.