2024-2025学年云南省昆明市高一上学期10月期中数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省昆明市高一上学期10月期中数学检测试题（含解析），共21页。
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】C
【分析】利用存在量词命题否定是全称量词命题，即可作出判断.
【详解】由命题“，”的否定是“，”,
故选：C.
2. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以,
故选：B.
3. 已知a为实数，则“”是“是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据奇函数的定义结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由是奇函数，
则，即，
即，
所以，即，
所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】结合指数函数的性质进行比较即可.
【详解】因为，，且，
所以，
而，，
所以.
故选：D.
5. 按复利计算利息的一种储蓄，本息和y（单位：万元）与储存时间x（单位：月）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若本金为6万元，在第26个月时本息和为24万元，则在第39个月时本息和是（ ）
A. 30万元B. 36万元C. 48万元D. 60万元
【正确答案】C
【分析】根据题意可得，得到，再将代入即可得解.
【详解】由题意得，，即，，
所以当时，.
即第39个月时本息和是48万元.
故选：C.
6. 已知函数若函数的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用定义可知在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，再根据是的最小值，即可得解.
【详解】当时，，
任设，则，
当时，，，
所以，所以，
当时，，，
所以，所以，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值为，
当时，，
令，则，所以，开口向上，对称轴，
又因为函数的最小值为，即时，取最小值，
所以，解得,
故选：A.
7. 已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】令，由已知不等式和等式可求得的奇偶性和单调性，将所求不等式化为，由单调性可得自变量大小关系，进而解得结果.
【详解】不妨令，则由得：，
令，则在上单调递增；
，，
为定义在R上的奇函数，在R上单调递增；
由得：，即，
，解得：，即不等式的解集为.
故选：C
8. 若实数满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用代入消元的方式可将所求式子化为，分别在、和的情况下，结合基本不等式求得最值.
【详解】由得：，
；
当时，；
当时，
（当且仅当，即时取等号）；
当时，（当且仅当，即时取等号）；
综上所述：，即的最大值为.
故选：D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知，，则下列不等式一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BC
【分析】采用作差法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，
，，，，，
，即，，A错误；
对于B，，
，，，即，，B正确；
对于C，，
，，，，，
即，，C正确；
对于D，，
，，，，
即，，D错误.
故选：BC.
10. 下列说法正确是（ ）
A. 函数（且）的图象恒过点
B. 函数与是同一函数
C. 若的定义域为，则的定义域为
D. 若函数，则
【正确答案】AC
【分析】根据，可确定选项正确，由两个函数定义域不同，可确定错误，利用抽象函数的定义域的判断及分母不为0，可确定正确，利用换元法求函数解析式，要注意定义域，即可判断错误.
【详解】对于选项，根据，则，即函数恒过点，故正确；
对于选项，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，肯定不是同一个函数，故错误；
对于选项，根据且可得：且，故正确；
对于选项，令（），则，
则，故错误.
故选.
11. 已知定义在上的函数，满足，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 为奇函数D. 的图象关于点对称
【正确答案】ACD
【分析】取可知A正确；取，结合A中式子可知B错误；令可求得为偶函数，分别令、可证得D正确；取，，结合D的结论可证得C正确.
【详解】对于A，取，则，A正确；
对于B，若恒成立，则，恒成立，显然不合题意，
不恒等于，
令，则，，
将代入A中式子可得：，即，
，B错误；
对于D，令，则，即，
为定义在上的偶函数，；
令，则，
令，则，即，
，的图象关于点对称，D正确；
对于C，取，，则，
由D知：，，
为奇函数，C正确.
故选：ACD.
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数，的值域为______．
【正确答案】
【分析】化简函数为，根据其单调性求解即可.
【详解】由，
函数在上单调递减，
所以当时，，
当时，，
所以函数，的值域为.
故答案为.
13. 已知幂函数在上单调递增，且满足不等式，则的取值范围为__________．
【正确答案】
【分析】由题意得，解得的值，进而结合偶函数和单调性解不等式即可.
【详解】由题意得，解得，
所以，定义域为，
而，则函数为偶函数，
又函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
由，得，即，
解得，即的取值范围为.
故答案为.
14. 黎曼函数是由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出的，其在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式如下：定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，，当时，，则__________．
【正确答案】##
【分析】应用函数的奇偶性定义和周期性定义证明函数为偶函数和周期函数，再应用周期性与函数解析式求值即可.
【详解】解：因为函数为偶函数，所以.
所以，
又因为，
所以，即.
于是，则，
于是，即
所以，所以函数周期为4.
由得，则，所以，所以为偶函数.
因为且，所以，
又因为，
所以，，
又，所以
，
又因为，
所以，
所以，所以，
所以
故答案为.
四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知全集，不等式的解集是，，．
（1）计算；
（2）若不等式的解集为，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）根据分式不等式的求解，可得集合的元素，结合补集与并集的运算，可得答案；
（2）根据不等式与方程的关系，结合韦达定理整理不等式，根据充分不必要条件，可得集合之间的关系，建立不等式，可得答案.
【小问1详解】
由，且，则，
由，等价于，解得，则，
所以.
【小问2详解】
由题意可得，为方程的两个解，
则，，化简可得，，
所以不等式等价于，
化简可得，则，解得，
所以，
因为，且，所以，则，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是D的真子集，
则，（等号不同时成立）,解得或.
16. 北京时间2024年8月12日凌晨，历经19个比赛日的激烈角逐，第33届奥运会在巴黎落下帷幕，奥运会上互换的“pin”（即奥运徽章）是奥运会期间的一种重要纪念品和文化交流媒介．人们经常能在奥运村、比赛场馆等场所展示和交换自己的奥运徽章，奥运徽章的交换不仅限于运动员中间，还包括观众、媒体、志愿者甚至奥组委人员．中国队的熊猫pin更是受到了各国友人的喜爱，造成了一pin难求的局面．通过市场分析，对熊猫pin而言，某企业每生产x（万件）获利w（x）（万元），且满足.2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元．由市场调研分析得知，当前熊猫pin供不应求．记该企业2024年8月优化后的产品的利润为（单位：万元）．
（1）求函数的解析式；
（2）当2024年8月优化后的产品产是为多少万件时，该企业8月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由．
【正确答案】（1）
（2）当产量为3万件时，该企业利润最大，最大利润是390万元
【分析】（1）由题意可得，进而求解即可；
（2）由二次函数性质与基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由已知，，
又，
所以.
【小问2详解】
当时，，
则时，；
当时，
，
当且仅当，即时，.
因为，所以最大值为390，
故当产量为3万件时，该企业利润最大，最大利润是390万元．
17. 已知函数是定义在上的奇函数．
（1）判断并用定义证明在区间1,+∞上的单调性；
（2）解关于的不等式．
【正确答案】（1）在区间上单调递减，证明见解析
（2）
【分析】（1）根据奇函数的性质可得，即可求出的值，从而得到函数解析式，再根据单调性的定义证明即可；
（2）依题意可得，根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，此时，
函数的定义域关于原点对称，
且，
为奇函数，符合题意；
在区间1,+∞上单调递减，证明如下：
设任意的且，
则
，
因为且，所以，，则，
所以，所以，
即，所以在区间1,+∞上单调递减；
【小问2详解】
不等式，即，
又，，且在区间1,+∞上单调递减，
所以，即，即，解得，
即不等式的解集为.
18. 已知函数的定义域为．对任意的非零实数恒有，且当时，．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）证明：函数在区间上单调递减；
（3）若，函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）偶函数，证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）采用赋值法可求得，取即可得到奇偶性；
（2）任取，令，，结合已知等式和在上的正负即可得到结论；
（3）记在上的值域为，在上的值域为，将问题转化为；根据的单调性可求得；分别在、和的情况下，结合二次函数单调性和函数对称性求得，根据包含关系可构造不等式求得结果.
【小问1详解】
令，则，；
令，则，；
取，则；
为定义在上的偶函数.
【小问2详解】
任取，
令，，则，即；
，，
又当时，，，即，
在上单调递减.
【小问3详解】
由（1）（2）知：在上单调递减且，又，
当时，，记；
对任意，总存在，使得，
记在上的值域为，；
的图象关于点中心对称，当时，；
①当，即时，在上单调递增，，
，即，
由得：，又，解得：；
②当，即时，上单调递减，在上单调递增，
，，即，
由得：，又，解得：；
③当，即时，在上单调递减，，
，即，
由得：，又，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
19. 若定义在上的函数满足对任意的区间，存在正整数，使得，则称为上的“阶交汇函数”．对于函数，记，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定．
（1）若，函数的定义域为，求并判断是否为上的“2阶交汇函数”；
（2）若函数，试比较和的大小；
（3）设，若函数的定义域为，且表达式为：，试证明对任意的区间，存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”．
【正确答案】（1），为上的“2阶交汇函数”
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）根据新定义直接计算；
（2）根据新定义直接求值比较即可；
（3）由函数定义说明的长度不变，然后得出在，，，…，（存在正整数，它们的长度和大于1）中，必然存在正整数，使得，再分析得到对任意的，，进而得到，，从而证明结论成立．
【小问1详解】
因为函数在上单调递增，
所以当时，，所以，
当时，，所以，
因为，
所以为上的“2阶交汇函数”.
【小问2详解】
由，，
则，，
所以，
结合题设，可得.
【小问3详解】
证明：对于任意有限的区间，记表示区间的长度，如果一个集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和，
对于任意的区间，，，
不妨设，，
若，则，，
若，则，，
若，则，，
所以，
对于任意的区间，显然存在正整数，使得，
因此在，，，…，（它们的长度和大于1）中，
必然存在正整数，使得，
因此必存在，使得，
又，则，
则当时，，
当时，，
又，因此对任意的，，
所以，，…，，
这表示，取，
所以对任意的区间，存在正整数，使得，
即对任意的区间，存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”．
方法点睛：对于函数新定义问题，关键是正确理解新定义，能迅速运用新定义解题，加速理解新定义，在问题（3）的证明中抓住函数的定义域区间“长度”与值域“长度”不变，从而有，然后利用新定义追根溯源得出．