2024年数学高考一轮复习导数的概念及其意义、导数的运算试卷版

这是一份2024年数学高考一轮复习导数的概念及其意义、导数的运算试卷版，共23页。试卷主要包含了求参等内容，欢迎下载使用。

一．导数的概念
1.如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极根，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或，
即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))
2.当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))
二．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，
相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)（点斜式）
三．基本初等函数的导数公式
四．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝±
(2)[f(x)·g(x)]′＝g(x)＋f(x)
(3)(g(x)≠0)
五．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
导数概念理解
f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))，应是两个变量的差值，如果不是两个变量的差值，要进行拼凑
导数运算
连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导
三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式：化为和、差形式，再求导
复合函数：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
导数的几何意义
在型与过型的切线方程
1.在型
2.过型
3.求参
（1）斜率：
（2）代点：切点在切线上，代入切线方程；切点在曲线上，代入曲线
五．公切线
法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
法二：设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2)，
则f′(x1)＝g′(x2)＝eq \f(fx1－gx2,x1－x2).
法三：两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
六．切点或切线数量
1.判断切点或切线数量：利用在型或过型列出关于切点x0的方程f(x0)，判断方程解的个数：
（1）f(x0)是一元二次方程，可以用判别式判断
（2）f(x0)若不是一元二次方程，则判断其零点个数或与x轴交点的个数，一般采用图像法；画未学过函数图像一般需要知道单调区间（导数法），极值和端点值或端点值的正负
2.已知切点或切线数量求参：一般采用分离参数，变成两个函数的交点个数问题
考法一 导数的概念及应用
【例1-1】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2B．-1C．1D．
【答案】C
【解析】.
故曲线在点处的切线斜率为.故选：C
【例1-2】（2023湖南）如图，直线是曲线在处的切线，则___________.
【答案】
【解析】直线过点，，直线斜率，
又直线是在处的切线，，又，.故答案为：.
【例1-3】（2023·云南）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由图知：，即.故选：A
【例1-4】（2022·湖北·武汉市第一中学）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，所以，解得；故选：B
【一隅三反】
1．（2023春·河南）已知是函数的导函数，若，则（ ）
A．B．2C．D．8
【答案】C
【解析】
故选：C
2．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第七中学校考阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，则根据导数值的定义：，
由导数的几何意义可知，在点处的切线的斜率为.故选：B
3．（2023春·江苏）如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】D
【解析】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，
则切线，，，.故选：D．
4.（2023·江西）若函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，令，则，解得，所以，.故选：D.
考法二 导数的运算
【例2】（2023广东湛江）求下列函数的导数
(2)； (3)．
(4)； (5)；
【答案】(1)；(2)；(3)
(4)(5)；
【解析】（1）.
（2）
（3）．
（4）因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，；
（5）函数，所以.
【一隅三反】
1．（2023春·四川）求下列函数的导数
(1)； (2) (3) (4)
(5)； (6)； (7) (8)；
【答案】(1) (2)(3)(4).
(5) (6) (7) (8)
【解析】（1）因为，则.
（2）因为，则.
（3）由已知，所以；
（4）．
（5）因为，所以.
（6）因为，所以.
（7）因为，所以
（8）因为，所以
考法三 导数的几何意义
【例3-1】（2023吉林）曲线在处切线的斜率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】，故曲线在处切线的斜率为.故选：D
【例3-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线的倾斜角为，则______．
【答案】
【解析】由，得则，解得．
故答案为：.
【例3-3】（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴曲线在点处的切线的斜率，
∵切线与直线垂直，∴直线的斜率为，
∴.故选：C.
【例3-4】（2023湖南）设点是曲线上任意一点，直线过点与曲线相切，则直线的倾斜角的取值范围为______.
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为
故答案为：
【一隅三反】
1．（2023四川）函数在处切线的倾斜角为_______.
【答案】
【解析】,则，
即函数在处切线的斜率为1，则倾斜角为故答案为：
2．（2023重庆）若曲线在点处的切线与平行，曲线在点处的切线与直线垂直，则__________．
【答案】
【解析】设，.
则，.
直线的斜率为，由导数的几何意义可得，，所以.
又，.
直线的斜率为，由导数的几何意义可得，，所以.
所以.故答案为：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则曲线在点处的切线的斜率为
【答案】
【解析】对，
求导可得，，得到，所以，
，所以，，故选D
4．（2023春·河南）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是
【答案】[0，
【解析】因为，所以，因为，所以，又，所以，故选：D.
考点四 在型与过型的切线方程
【例4-1】（1）（2023上海）已知函数，则曲线在点处的切线方程是______.
（2）（2023春·河北）若，则曲线在处的切线方程为
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，
所以切线方程为：，即或.故答案为：
（2），，
令，解得.
所以，则.
所以曲线在处的切线方程为，即.故选：.
【例4-2】（1）（2023·北京东城·统考一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为
（2）2023·江苏南通·二模）过点作曲线的切线，写出一条切线的方程_______．
【答案】（1）（2）（答案不唯一）
【解析】（1）由函数，可得，
设切点坐标为，可得切线方程为，
把原点代入方程，可得，即，
解得，所以切线方程为，即.故选：A.
（2），，
设切点坐标为，则切线斜率为，得方程，
代入点，得，即，解得或，
当时，切线方程为；当时，切线方程为.
故答案为：（或）.
【例4-3】（1）（2023·江西·校联考模拟预测）若直线与曲线相切，则___________.
（2）（2022·全国·模拟预测）已知函数在处的切线过原点，则a的值为
（3）（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线与曲线相切，则k的取值范围是
【答案】（1）2（2）（3）
【解析】（1）设切点坐标为，由曲线可得，
则，解得，所以故答案为：2
（2）由，则，
所以，，即切线方程为，
又函数在处的切线过原点，所以，即．
（3），由导数的几何意义可知，.
【一隅三反】
1.（2023吉林）函数在点处的切线的方程是__________.
【答案】
【解析】因为函数，所以，
所以函数在点处切线的斜率为：，
所以函数到点处切线方程为：，故答案为：.
2．（2023·陕西咸阳）已知函数，那么在点处的切线方程为___________．
【答案】
【解析】由，则，所以，
又，所以在点处的切线方程为，即．
故答案为：．
3．（2023春·上海浦东新）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为____.
【答案】
【解析】设切点坐标为，,则切线的斜率，
故切线方程为，又因为点在切线上，
所以，整理得到，
解得，所以切线方程为．
故答案为: .
4．（2023吉林）已知函数，则曲线过点的切线方程为______．
【答案】或
【解析】设切点为，，则切线斜率为，
故曲线在处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程可得，解或，
故所求切线方程为或，即或.
故答案为：或.
5．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（ ）
A．eB．C．D．
【答案】C
【解析】设直线与曲线相切于点，函数的导函数为，
则，解得.故选：C
6．（2023春·上海杨浦）已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为___________．
【答案】
【解析】因为，所以，
则，由处的切线方程为，
得切线的斜率为，所以，得，
所以，当时，，所以切点为，
将代入切线方程得：，
解得，所以.
故答案为：
考法五 公切线
【例5-1】（2023安徽）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为______．
【答案】或
【解析】由得，设切点为，所以切线的斜率为，
则直线l的方程为：；
由得，设切点为，所以切线的斜率为，
则直线l的方程为：．
所以，，
消去得，
故或，所以直线l的方程为：或．故答案为：或
【例5-2】（2023·山西·校联考模拟预测）若直线与函数和的图象都相切，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设直线与函数和的图象分别相切于点，
则由，得，令，得，将代入中得，
由，得，令，得，将代入中得，所以．
故选：D
【例5-3】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【解析】因为直线与曲线相切，切点为，
可知直线的方程为，
又直线与曲线也相切，切点为，
可知直线的方程为，
所以，两式相除，可得，所以.故选：B
【一隅三反】
1．（2023·云南）已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为____.
【答案】
【解析】设曲线与曲线的切点分别为，，
又，，所以，，
所以切线为，即，
，即，
所以，
所以，，即这条切线的斜率为.故答案为：.
2．（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于
【答案】2
【解析】设是图象上的一点，，
所以在点处的切线方程为，①，
令，解得，
，所以，
，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），
所以，此时①可化为，所以.
3．（2023河北）若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为
【答案】
【解析】，，设公切线与的图像切于点，
与曲线切于点，所以，
故，所以，所以，
因为，故，设，
则，令
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，所以，所以实数a的最大值为e，
考点六 切线条数或切点个数
【例6-1】（2023福建）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数最多为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】因为函数，所以，
设过点作曲线的切线，切点为，
则有，也即，
又因为，所以
令，，
当时，，函数单调递减，
当或时，，函数单调递增，
综上：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又因为，，
所以函数有三个零点，分别在区间上，
也即方程有三个不同的根，
所以过点作曲线的切线，有三个不同的切点，
也即过点可作曲线的切线的条数最多为，故选：.
【例6-2】（2023·四川眉山·统考二模）已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设切点为，由可得，
所以在点处的切线的斜率为，
所以在点处的切线为：，
因为切线过点，所以，
即，即这个方程有三个不等根即可，
切线的条数即为直线与图象交点的个数，
设，
则
由可得，由可得：或，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，
的图象如下图，且，
要使与的图象有三个交点，则.
则的取值范围是:.故选：A.
【例6-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）过点可以作曲线的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】D
【解析】，设切点为坐标，则，
即，则，由题意知有两解，分别为m，n，
故，故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
【答案】
【解析】时，，设切点，则，切线过，
，，时，，切点，
，切线过，
，，故.故答案为：.
2．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设曲线在点处的切线为，
由可知直线的斜率为，
故直线的方程为，
将代入直线可得关于的方程具有两个不相等的正数解，
构造函数，
则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
且当时，；
，当，即时，，
即当时，；
故为了使方程有两个不相等的正数解，
则须使.
故选：B.
3．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数，存在两条过原点的直线与曲线相切，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设切点坐标为，又，则切线斜率
又，则切线方程为：，
又切线过原点，则，即方程在上有两不相等的实根，
设，，则，
当时，恒成立，在上单调递增，不可能存在两个零点，故不符合题意；
当时，得，当时，，单调递减，时，，单调递增，
要使得两个不同的零点，则，解得，
又，时，，故当时，有两个零点，
则实数a的取值范围是.
故选：D.
4．（2023·陕西西安·统考一模）过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
设切点为，则切线方程为，
切线过点，，整理得到，
方程有三个不等根.
令，则，令，则或，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
极大值，极小值，函数与有三个交点，
则，的取值范围为.
故选：D
考点七 导数几何意义与其他知识综合
【例7-1】（2023·湖北·统考模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
【答案】D
【解析】对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．故选：D．
【例7-2】（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以
所以，解得，所以
由题意可知，，
所以.故选：B.
【例7-3】（2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最小值为
A．2B．1C．D．
【答案】D
【解析】先求曲线上切线斜率为的点的横坐标：令，解得，代入曲线方程求得，故切点为，斜率为的直线方程为，将两条平行直线的方程化为一般式得，故两平行直线的距离为.故选D.
【一隅三反】
1．（2023·山东）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（ ）
A．B．±C．D．±
【答案】C
【解析】因为所以
当时，，此时，
∴．故选：C.
2.（2022·湖北·黄冈中学）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．13
【答案】B
【解析】设切点为 ，的导数为，
由切线的方程可得切线的斜率为1，令，则 ，故切点为，
代入，得，
、为正实数，则，
当且仅当，时，取得最小值9，故选：B
3（2023广东）已知点A是函数f(x)＝x2－ln x＋2图象上的点，点B是直线y＝x上的点，则|AB|的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2
C.eq \f(4\r(3),3) D.eq \f(16,3)
【答案】A
【解析】当与直线y＝x平行的直线与f(x)的图象相切时，切点到直线y＝x的距离为|AB|的最小值．
f′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝1，解得x＝1或x＝－eq \f(1,2)(舍去)，又f(1)＝3，
所以切点C(1,3)到直线y＝x的距离即为|AB|的最小值，即|AB|min＝eq \f(|1－3|,\r(12＋12))＝eq \r(2).
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
＝nxn－1
f(x)＝sin x
＝cs x
f(x)＝cs x
－sinx
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
＝axln a
f(x)＝ex
＝ex
f(x)＝lgax(x>0，a>0且a≠1)
＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x(x>0)
＝eq \f(1,x)