2024年数学高考一轮复习分布列与其他知识的综合运用试卷

这是一份2024年数学高考一轮复习分布列与其他知识的综合运用试卷，共23页。试卷主要包含了利用均值做决策，概率与函数导数的综合，概率与数列的结合，概率证明等内容，欢迎下载使用。

考点一 利用均值做决策
【例1】（2023·河南·校联考模拟预测）某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：
假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.
(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望；
(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？
【答案】(1)分布列见解析，数学期望17.44
(2)选择每两天进17十盒
【解析】（1）日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为：，
根据题意可得：的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20，
，，
，，
，，
，
所以的分布列为：
所以；
（2）当每两天进16十盒时，利润为，
当每两天进17十盒时，利润为，
，所以每两天进17十盒利润较大，故应该选择每两天进17十盒．
【一隅三反】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”.

(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？
使用直播销售情况与年龄列联表
(2)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：
方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不是不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，；
方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.
针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.
参考数据：独立性检验临界值表
其中，．
【答案】(1)列联表见解析，能
(2)从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一，理由见解析
【解析】（1）由图2知，样本中经常使用直播销售的用户有人，
其中年轻人有人，非年轻人人，
由图1知，样本中的年轻人有人，
不常使用直播销售的用户有人，其中年轻人有人，非年轻人人，
补充完整的列联表如下，
计算，
依据小概率值的独立性检验，能认为经常使用网络直播销售与年龄有关．
（2）方案一：设获利万元，则的所有可能取值为，
，
，
方案二：设获利万元，则的所有可能取值为，
，
，
所以，
从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一更稳定，
所以，从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一．
2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分. 对而不全得2分，选项中有错误得0分. 设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）. 在一次模拟考试中：
(1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得5分的概率为，求；
(2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择. 小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个. 若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
【答案】(1)
(2)①
【解析】（1）记一道多选题“有2个选项正确”为事件，“有3个选项正确”为事件，“小明该题得5分”为事件B，
则，求得.
（2）若小明选择方案①，则小强的得分为2分.
若小明选择方案②，记小强该题得分为X，则，
且，
，
，
所以，，
若小明选择方案③，记小强该题得分为Y，则，且
，
，
所以，,
因为，所以小明应选择方案①.
考点二 概率与函数导数的综合
【例2】（2023·海南·海南中学校考模拟预测）根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
（其中）
每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为，且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.
(1)若，求，并根据全概率公式求；
(2)是否存在值，使得，请说明理由.
【答案】(1)，
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）当时，，
则，解得.
由题意，得.
由全概率公式，得
又，所以.
（2）由，得.
假设存在，使.
将上述两式相乘，得，
化简，得.
设，则.
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，
所以不存在使得.即不存在值，使得.
【一隅三反】
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年．某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：
(1)请用相关系数说明与之间的关系可用线性回归模型拟合，并求关于的线性回归方程和A区的残差
(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴．
①若该市区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给区就地过年的人员发放的补贴总金额；
②若区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为，其中，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元，求的取值范围．
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
【答案】(1)答案见解析，，0.05
(2)①1750（万元）；②
【解析】（1）由题，，
，
，，
所以相关系数，
因为与之间的相关系数近似为0.99，说明与之间的线性相关程度非常强，
所以可用线性回归模型拟合与之间的关系．
，
故关于的线性回归方程为．
∵，∴，故A区的残差为0.05.
（2）（2）①将代入，得，
故估计该市政府需要给区就地过年的人员发放的补贴总金额为（万元）．
②设甲、乙两人中选择就地过年的人数为，则的所有可能取值为0，1，2，
，
，
．
所以，
所以，
由，得，又，所以，
故的取值范围为．
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，，且，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)11轮
【解析】（1）由题意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以．
（2）他们在每轮答题中取得胜利的概率为
，
由，，，得，
则，因此，
令，，于是当时，．
要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值．
设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，，
由，即，解得．
而，则，所以理论上至少要进行11轮答题．
3．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知甲同学计划从某天开始的连续四天内，每天从座位充足的两间教室中选择一间用于自习.若其每天的选择均相互独立，且任意一天选择教室的概率为，任意连续两天选择相同教室的概率为.
(1)求的取值范围；
(2)若，记甲在该四天内连续选择相同教室自习的天数最大值为随机变量（若甲任意连续两天都不在相同教室自习，则），求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】（1）设事件为“甲在某天选择教室自习”，事件为“甲在某天选择教室自习”，
则，.
依题意知，，
当时，的最小值为，易知的取值范围为.
（2），解得，或者（舍去），
依题意知，的所有可能取值为，
①当这四天的选择依次为，或时，
则，
②当这四天的选择依次为，或，或，或，或，或，或，或时，
，
③当这四天的选择依次为，或，或，或时，
，
④当这四天的选择依次为，或时，
，
的分布列为：
的数学期望.
考点三 概率与数列的结合
【例3-1】（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2.
(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为，求的分布列和期望；
(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；
(3)若表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则.证明：为等比数列.
【答案】(1)分布列见解析，.
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）的所有可能取值为，
，，，
则的分布列为：
.
（2）当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1和，
其概率为：.
当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2胜1和，
其概率为：，
所以四局比赛后，比赛结束的概率为.
（3）因为表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，，
在甲所得筹码为枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为，
在甲所得筹码为枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为，
在甲所得筹码为枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为，
根据全概率公式得，
所以，变形得，因为，
所以，同理可得，
所以为等比数列.
【例3-2】（2023·福建漳州·统考模拟预测）某科研单位研制出某型号科考飞艇，一艘该型号飞艇最多只能执行次科考任务，一艘该型号飞艇第1次执行科考任务，能成功返航的概率为，若第次执行科考任务能成功返航，则执行第次科考任务且能成功返航的概率也为，否则此飞艇结束科考任务.一艘该型号飞艇每次执行科考任务，若能成功返航，则可获得价值为万元的科考数据，且“”的概率为0.8，“”的概率为0.2；若不能成功返航，则此次科考任务不能获得任何科考数据.记一艘该型号飞艇共可获得的科考数据的总价值为万元.
(1)若，，求的分布列；
(2)求（用和表示）.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【解析】（1）若，，则的所有取值为0，200，400，
记一艘该型号飞艇第次执行科考任务能成功返航为事件，获得价值为200万元的科考数据为事件，.则
，
，
所以的分布列为
（2）解法一：取值表示的意义如下：若一艘该型号飞艇能执行第次科考任务且在此次任务中获得价值200万元的科考数据，则，否则，.
因为的分布列为
所以
因为，
所以
解法二：
（2）因为的分布列为
所以，
记一艘该型号飞艇共可成功返航次.
则的全部取值为，且的分布列为
所以
所以，
所以
所以
，
所以.
【一隅三反】
1．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，．
(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望；
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)，证明见解析.
【解析】（1）由题可知是，的取值为，
；
；

故的分布列如下：
则.
（2）由题可知，；
经分析可得：
若第轮没有得分，则；
若第轮得分，且第轮没有得分，则；
若第轮得分，且第轮得分，第轮没有得分，则；
故，故；
因为，故，
故
；
故，且，
则，
所以答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束．
(1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束．
①求随机变量的分布列；
②证明：单调递增，且小于3．
【答案】(1)分布列见解析
(2)①分布列见解析 ；②证明见解析
【解析】（1）由题设，可取值为1，2，3，
，，，
因此的分布列为
（2）①可取值为1，2，…，，
每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：，
所以时，；当时，
故的分布列为：
②由①知：（，）．
，故单调递增；
由上得，故，
∴，
故．
3．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知．
①试证明：为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)①证明见解析 ；②
【解析】（1）方法一：的所有可能取值为，
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以，
，
所以的分布列如下：
方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，易知，
所以，
故的分布列为：
所以的期望．
（2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
②由①可知，所以，
所以，
故．
考点四 概率证明
【例4】（2023·浙江·校联考模拟预测）某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：
假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.
(1)分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；
(2)记为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求的分布列和数学期望；
(3)假设A表示事件“室外温度低于10度”，表示事件“某学生去打乒乓球”，，一般来说在室外温度低于10度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于10度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明：.
【答案】(1)0.4；
(2)分布列见解析，1.82
(3)证明见解析
【解析】（1）设事件为“早上甲打篮球”，事件为“下午甲打篮球”，
则，.
（2）由题意知，甲上下午都选择篮球的概率为，乙上下午都选择篮球的概率为，
甲上下午都选择乒乓球的概率为，乙上下午都选择乒乓球的概率为，
记为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，则的所有可能取值为、，
所以，，
所以的分布列为：
所以.
（3）证明：由题意知，即，
即，
即，
即，即，
即.
【一隅三反】
1．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮.为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下信息：
①抽取的学生中，男生占的比例为60%；
②抽取的学生中，不喜欢雪上运动的学生占的比例为45%.
③抽取的学生中，喜欢雪上运动的男生比喜欢雪上运动的女生多50人.
(1)完成2×2列联表，依据小概率值α=0.001的χ²独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联?
(2)（i）从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件A=“至少有2名是男生”，事件B=“至少有2名喜欢雪上运动的男生”，事件C=“至多有1名喜欢雪上运运的女生”.试分别计算和的值.
（ii）根据第（i）问中的结果，分析与的大小关系.
参考公式及数据，.
【答案】(1)表格见解析，是否喜欢雪上运动与性别有关联.
(2)（i）答案见解析；（ii）答案见解析
【解析】（1）2×2列联表如下：
假设：是否喜欢雪上运动与性别无关联.
根据表中数据，计算得到
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立.
即认为是否喜欢雪上运动与性别有关联.
（2）①由已知事件ABC表示：“2男生1女生都喜欢雪上运动”和“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件
因为，
，
所以.
②由（i）得与相等的关系可以推广到更一般的情形，
即对于一般的三个事件A，B，C，有.
证明过程如下：，得证.
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物都是中国制造，为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛，该足球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；
(2)从该球队中任选一人，A表示事件“选中的球员参赛”，B表示事件“球队输球”．与的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为R．
①证明：；
②利用球员甲数据统计，给出，的估计值，并求出R的估计值．
附：．
参考数据：
【答案】(1)认为该球队胜利与甲球员参赛有关
(2)①证明见解析 ；②,；
【解析】（1）零假设为：该球队胜利与甲球员参赛无关．
，
因为，
所以依据的独立性检验，我们推断不成立，所以认为该球队胜利与甲球员参赛有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．
（2）①证明：
②，，
．日销售量/十盒
7
8
9
10
天数
8
12
16
4
14
15
16
17
18
19
20
年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户
不常使用直播销售用户
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户
90
30
120
不常使用直播销售用户
70
10
80
合计
160
40
200
1
2
3
0
区
区
区
区
外来务工人数万
3
4
5
6
就地过年人数万
2.5
3
4
4.5
0
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
0.2
0.5
0.3
0
200
400
0.86
0.13
0.01
0
200
0
200
0.8
0.2
0
1
2
…
…
1
2
3
1
2
3
…
…
0
1
2
3
0
1
2
3
上下午体育锻炼项目的情况（上午，下午）
（篮球，篮球）
（篮球，乒乓球）
（乒乓球，篮球）
（乒乓球，乒乓球）
甲
20天
15天
5天
10天
乙
10天
10天
5天
25天
1
2

喜欢雪上运动
不喜欢雪上运动
合计
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
喜欢雪上运动
不喜欢雪上运动
合计
男生
80
40
120
女生
30
50
80
合计
110
90
200
球队输球
球队赢球
总计
甲参加
2
30
32
甲未参加
8
10
18
总计
10
40
50
a
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828