2024年数学高考一轮复习利用导数求极值与最值试卷

这是一份2024年数学高考一轮复习利用导数求极值与最值试卷，共20页。试卷主要包含了定义，求可导函数极值的步骤，求f在给定区间上的端点值；等内容，欢迎下载使用。

一．函数的极值
1.定义
2.求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③确定f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
二．函数的最值
1.一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
2.求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
一．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值．
二．根据函数极值求参数
1.列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
2.验证：求解后验证根的合理性．
注意：对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
三．导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤
1.求函数f(x)的导数f′(x)；
2.求f(x)在给定区间上的单调性和极值；
3.求f(x)在给定区间上的端点值；
4.将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值．
四．恒成立问题向最值转化的方法
1.要使不等式f(x)f(x)max，则不等式f(x)h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，则不等式f(x)>h恒成立．
考法一 利用导数求函数的极值或极值点
【例1-1】（2023春·新疆）函数有（ ）
A．极小值0，极大值2B．极小值，极大值4
C．极小值，极大值3D．极小值0，极大值4
【答案】D
【解析】，
令，则，
当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，
当时，，在内单调递减，
所以当时，函数有极小值，
当时，函数有极大值.
故选：D.
【例1-2】（2023春·湖北武汉）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．有三个极值点B．为函数的极大值
C．有一个极大值D．为的极小值
【答案】C
【解析】，并结合其图象，可得到如下情况，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
∴在取得极小值，在处取得极大值，只有两个极值点，
故A、B、D错，C正确；
故选: C.
【一隅三反】
1．（2023春·湖南）已知函数的图象与轴相切于点，则的（ ）
A．极小值0，极大值B．极小值，极大值0
C．极小值0，极大值D．极小值，极大值0
【答案】C
【解析】由函数，可得，
因为函数的图形与轴相切与点，可得，
解得，即且，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当，函数取得极大值，极大值为，
当，函数取得极小值，极小值为.
故选：C.
2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．在上有增也有减
B．有2个极小值点
C．
D．有1个极大值点
【答案】D
【解析】由图可得，当，时，，当时，.
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以有1个极大值点，1个极小值点.
故A、B错误，而，C错误.
故选：D
3．（2023春·天津武清）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递增
C．为的极小值点
D．为的极大值点
【答案】D
【解析】对于A，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，A错误；
对于B，当时，，在上单调递减，B错误；
对于C，在上单调递减，不是的极小值点，C错误；
对于D，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，D正确.
故选：D.
考法二 已知极值（点）求参数
【例2-1】（2023春·吉林）已知函数的图象与轴相切于点，则的（ ）
A．极小值0，极大值B．极小值，极大值0
C．极小值0，极大值D．极小值，极大值0
【答案】C
【解析】由函数，可得，
因为函数的图形与轴相切与点，可得，
解得，即且，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当，函数取得极大值，极大值为，
当，函数取得极小值，极小值为.
故选：C.
【例2-2】（2023春·内蒙古）已知函数的图象与轴相切于点，则的（ ）
A．极小值0，极大值B．极小值，极大值0
C．极小值0，极大值D．极小值，极大值0
【答案】C
【解析】由函数，可得，
因为函数的图形与轴相切与点，可得，
解得，即且，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当，函数取得极大值，极大值为，
当，函数取得极小值，极小值为.
故选：C.
【例2-3】．（2023·全国·统考高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
【一隅三反】
1．（2023春·海南）已知函数的图象与轴相切于点，则的（ ）
A．极小值0，极大值B．极小值，极大值0
C．极小值0，极大值D．极小值，极大值0
【答案】C
【解析】由函数，可得，
因为函数的图形与轴相切与点，可得，
解得，即且，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当，函数取得极大值，极大值为，
当，函数取得极小值，极小值为.故选：C.
2．（2023·辽宁）已知函数的导数，若在处取到极大值，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意当时不成立，当时有两个零点与.
①当时，开口向上，且，故当时，时，在处取到极大值；
②当时，开口向下；
当时，，无极大值；
当时，在区间上，上，故在处取到极大值；
当时，在区间上，上，故在处取到极小值.
综上有或.
故答案为：
3．（2023春·黑龙江）已知函数在处有极大值，则______.
【答案】
【解析】由已知，
可得，
令，解得或，
由可得，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
不是极大值点，舍去；
由可得，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以是函数的极大值点综上．故答案为：．
考法三 利用导数求函数的最值
【例3】（2023春·云南）函数在区间上的最小值是（ ）
A．4B．5C．3D．1
【答案】A
【解析】,
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在区间上的最小值是.故选：A
【一隅三反】
1．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数的最大值为__________．
【答案】/
【解析】，
设，，
令，得或，
所以当时，，
即在和上单调递减，
当时，，
即在上，单调递增，
又因为，，
所以的最大值为，
故答案为：．
2．（2023春·湖北）已知函数的图象与直线相切.
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）依题意设与相切于点，
又，∴，①
，②
将①②联立得，又，
∴代入①得 ；
（2）由（1）知：，且，又在上单调递增，
∴，，则单调递减，
∴时，，则单调递增，
而，
∴.
3．（2023春·重庆永川）设
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数的极大值为，求函数在上的最小值．
【答案】(1)单调递增区间为和；(2).
【解析】（1），
由得或，
所以的单调递增区间为和；
（2）由Ⅰ知函数在处取得极大值，
即，得 ，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以在上的最小值为．
考法四 已知最值求函数的参数
【例4-1】（2023春·吉林长春）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】，令得，
时，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
若函数在上有最小值，则其最小值必为，
则必有且，解得，
故答案为：.
【例4-2】（2023春·新疆）已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a的值等于（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】由奇函数性质知，当时，的最大值为.令.
当0