2024年数学高考一轮复习利用导数求极值与最值试卷版

这是一份2024年数学高考一轮复习利用导数求极值与最值试卷版，共29页。
A．，4B．4，C．，2D．2，
【答案】C
【解析】，
令，得，
当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，
当，，函数单调递减，当，函数单调递增，
所以函数的极大值点是，函数的极小值点是.
故选：C
2．（2023春·湖北武汉）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．有三个极值点B．为函数的极大值
C．有一个极大值D．为的极小值
【答案】C
【解析】，并结合其图象，可得到如下情况，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
∴在取得极小值，在处取得极大值，只有两个极值点，
故A、B、D错，C正确；
故选: C.
3．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．在上有增也有减
B．有2个极小值点
C．
D．有1个极大值点
【答案】D
【解析】由图可得，当，时，，当时，.
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以有1个极大值点，1个极小值点.
故A、B错误，而，C错误.
故选：D
4．（2023春·福建莆田）已知函数的大致图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由图可知，函数有两个递增区间，一个递减区间，
所以函数图象开口方向朝上，且于x轴有两个交点，故；
又函数的极大值点在y轴左侧，极小值点在y轴右侧，且极大值点离y轴较近，
所以方程的两根满足，
即，得，因此.故选；B.
5．（2023春·天津武清）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递增
C．为的极小值点
D．为的极大值点
【答案】D
【解析】对于A，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，A错误；
对于B，当时，，在上单调递减，B错误；
对于C，在上单调递减，不是的极小值点，C错误；
对于D，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，D正确.
故选：D.
6．（2023·北京）已知函数的导函数的图像如图所示，若在处有极值，则的值为（ ）
A．-3B．3C．0D．4
【答案】C
【解析】由函数的导函数的图像可知当时，，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
故为函数的极大值点，即，
故选：C
7．（2023·山东）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．为函数的零点
B．函数在上单调递减
C．为函数的极大值点
D．是函数的最小值
【答案】B
【解析】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值与导数的关系可判断C，D.
由的图象可知，当时，，
当时，，故为函数的极大值点，A错误；
当时，，故函数在上单调递减，B正确；
当时，，当时，，
故为函数的极小值点，C错误；
当时，，当时，，
故为函数的极小值点，而也为函数的极小值点，
与的大小不定，故不一定是函数的最小值，D错误,
故选：B
8．（2023·全国·高三对口高考）已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，令，得，
因为在区间上的最大值就是函数的极大值，
则必有，所以.
故选：C.
9．（2023春·山东聊城）若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．[－5,1)B．(－5,1)
C．[－2,1)D．(－2,1)
【答案】C
【解析】由，令，可得或，
由得：或，由得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
令，解得或，
若函数在(,)内存在最小值，则，得．
故选：C
10．（2023春·四川眉山）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，
当或时，，当时，，
所以函数在，上递增函数，在上递减函数，
故时函数有极大值，且，
所以当函数在上有最大值，则且，
即，解得.
故选：B.
11．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，
因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，
此时，函数在上无最小值，不合乎题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，函数在上的极小值为，且，则，
综上所述，.
故选：A.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的极小值为______．
【答案】/-0.5
【解析】函数的定义域为，
，
令，即，得，
令，即，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
故当时，函数取得极小值，极小值为．
故答案为: .
13．（2023春·上海）函数在内有极小值，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】因为，则，
因为函数在内有极小值
所以方程必有一根在内，
当时，的两根为，
若有一根在内，则，即，
此时当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以在处取得极小值，满足题意；
当时，的两根相等，均为，则在内无极小值；
当时，无实根，则在内无极小值；
综上，，故实数的取值范围为
故答案为：.
14．（2023·重庆）如果函数在处有极值，则的值为__________．
【答案】2
【解析】因为函数在处有极值，所以，.
由于，所以.，解得：或.
当时，，，所以单调递减，无极值.
所以.故答案为：2
15．（2023春·河南南阳）若函数在上有且仅有一个极值点，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，令，
由题意可知，在内先减后增或先增后减，
结合函数的图像特点可知，在内先减后增，即，或，解得.
所以a的取值范围是
故答案为：
16．（2023春·上海）已知函数在处有极大值，则______.
【答案】
【解析】由已知，
可得，
令，解得或，
由可得，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
不是极大值点，舍去；
由可得，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以是函数的极大值点．
综上．
故答案为：．
17．（2023春·安徽）已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为，所以，
令，得.
由题意得，
故．
故答案为：.
18．（2023·福建）已知函数的导数，若在处取到极大值，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意当时不成立，当时有两个零点与.
①当时，开口向上，且，故当时，时，在处取到极大值；
②当时，开口向下；
当时，，无极大值；
当时，在区间上，上，故在处取到极大值；
当时，在区间上，上，故在处取到极小值.
综上有或.
故答案为：
19．（2023春·吉林长春）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】，令得，
时，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
若函数在上有最小值，则其最小值必为，
则必有且，解得，
故答案为：.
20．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数的最大值为__________．
【答案】/
【解析】，
设，，
令，得或， 所以当时，，
即在和上单调递减，
当时，，即在上，单调递增，
又因为，，所以的最大值为，故答案为：．
21．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】设函数的零点为，则，则点在直线上.
因为表示与的距离，所以则的最小值即为原点到直线的距离的最小值平方，即，
令，
令，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以当时，，
所以的最小值为.
故答案为：
22．（2023·陕西西安）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】，，取得到，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
，取，则或，
函数在上有最小值，则，
解得，即.
故答案为：
23．（2023春·山东聊城）已知函数在上的最大值为2，则______．
【答案】
【解析】因为，所以，
又，所以在上恒成立，即在区间上单调递减，
所以，得到，故，
所以.
故答案为：.
24．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．
【答案】（答案不唯一，、均可）
【解析】因为，则.
由可得，由可得或，
所以，函数的减区间为，增区间为、，
所以，函数的极大值为，极小值为，
令，其中，则，解得，
因为函数在区间上存在最小值，则，解得，
所以，整数的取值集合为.
故答案为：（答案不唯一，、均可）.
25．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】，所以在和上，，函数单调递减；
在上，，函数单调递增；且
当时，，即，
所以在区间上有最小值，则：解得.故答案为：
26．（2023春·河南商丘）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，所以，
由，得或，则在区间和上单调递增，
由，得，则在区间上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
要使函数在区间上存在最大值，又，
则，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：
27（2023春·广东）求下列函数的极值：
(1)；
(2)
(3)；
(4).
【答案】(1)极小值为1，无极大值
(2)极小值为3，无极大值.
(3)极大值；极小值；
(4)极小值，没有极大值．
【解析】（1）因为，定义域是R，
所以.
解可得，或.
由可得，所以在上单调递增；
当时，恒成立，所以在单调递减.
所以时，取得极小值为，无极大值.
（2）函数的定义域为，.
解可得，.
由可得，所以在上单调递增；
由可得，所以在单调递减.
所以时，取得极小值为，无极大值.
（3）函数的定义域是R，，
令，解得或，
当变化时，、的变化情况如下表：
由表可知，函数的极大值为；的极小值为.
（4）函数的定义域为，.
令，得.
当变化时，、的变化情况如下表：
由表可知，的极小值为，且没有极大值．
28．（2023春·新疆伊犁）已知函数在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求的极值．
【答案】(1)
(2)极大值为，极小值为.
【解析】（1）依题可知点为切点，
代入切线方程可得，，
所以，即，
又由，则，
而由切线的斜率可知，
∴，即，
由，解得.
（2）由（1）知，则，
令，得或，
当变化时，，的变化情况如下表:
∴的极大值为，极小值为.
29．（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）已知函数的图象与直线相切.
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）依题意设与相切于点，
又，∴，①
，②
将①②联立得，又，
∴代入①得 ；
（2）由（1）知：，且，又在上单调递增，
∴，，则单调递减，
∴时，，则单调递增，
而，
∴.
30．（2023·云南）已知函数，.求函数的最值；
【答案】函数的最大值为，没有最小值
【解析】，
由于，，所以，
设，则，
故函数在区间上单调递减，由于，，
故存在，使.
故当，，则，当时，，则，
从而存在，的单增区间为，单减区间为.
函数的最大值为，
由于，所以，
故.
所以函数的最大值为，没有最小值.
1．（2023春·山东）已知函数在处取得极大值1，则的极小值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】的定义域为，由，得，
因为函数在x＝－1处取得极大值1，所以，解得，
所以，．
令．解得或，令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
即在处取得极大值，在处取得极小值，所以的极小值为．故选：C
2．（2023·甘肃金昌）已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】1.因为，则，
若在上单调递增，则在上恒成立，
即恒成立，则，解得；
2.因为，则，
①当时，对任意恒成立，所以在上单调递增，
此时只有最大值，没有最小值不满足题意；
②当时，对任意恒成立，所以在上单调递减，
此时只有最小值，没有最大值不满足题意；
③当时，令，解得；令，解得；
则在单调递增，在单调递减，所以为最小值，
若在上既有最大值，又有最小值，
则且，解得：；综上所述：．故选：B.
3．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知函数，若对任意的，成立，则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．e
【答案】C
【解析】设，可得，
当时，，则在上单调递增，
故当时，，即，当且仅当时，等号成立，
设，则，
当时，，则在上单调递增，故当时，，
即，当且仅当时，等号成立，
可得，所以，所以，
所以的最大值是.
故选：C.
4．（2023·山东烟台·统考三模）已知函数的两个极值点分别为，若过点和的直线在轴上的截距为，则实数的值为（ ）
A．2B．C．或D．或2
【答案】B
【解析】由题意有两个不同零点，则，
所以，即或，
由，即，
而，
同理有，
所以、均在上，
令，则，得，
综上，（舍）
故选：B
5．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数，若，在内有极小值，无极大值，则可能的取值个数（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】已知函数，若，
所以，则①，
又在内有极小值，无极大值，则，所以，
又，则当得，，所以，不符合①式，故舍；
当得，，所以，由①式可得；
当得，，所以，由①式可得；
当得，，所以，不符合①式，故舍；
当得，，无解，故舍；
易知，当时，都无解，故不讨论；
综上，或，则可能的取值个数为.
故选：C.
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若函数有两个极值点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数有两个极值点，
又函数的定义域为，导函数为，
所以方程由两个不同的正根，且为其根，
所以，，，
所以，
则
，
又，即，可得，
所以或（舍去），
故选：C.
7．（2023·河北·模拟预测）若函数，则极值点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由题得,
因为与的图象均关于直线对称,
所以的图象也关于直线对称,
又,且当时,,
所以0,即,所以在上单调递增.
令,则,
又在上单调递增,
所以,使得,
所以当时,单调递减;
当时,单调递增,
又,所以在上,,即单调递减.
由图象的对称性可知,在上,单调递增,
在上,单调递减,
又,
所以极值点的个数为3.
故选：C.
8．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】B
【解析】因为对于任意恒成立，
等价于对于任意恒成立，
令，，则，
令，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以在有且仅有一个根，满足，即，
当时，，即，函数单调递减，
时，，即，函数单调递增，
所以，
由对勾函数可知，即，
因为，即，，，所以，
当时，不等式为，因为，不合题意；
所以整数的最大值为0.
故选：B
9（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）（多选）已知函数，为的导函数，则（ ）
A．的最小值为2B．在单调递增
C．直线与曲线相切D．直线与曲线相切
【答案】ABD
【解析】对于A，，当且仅当即时，等号成立，故A正确；
对于B，，令，，故在单调递增，即在单调递增，故B正确；
对于C，设，，
在R上单调递增，，
，又，所以，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
又，，，
所以，使得，所以方程有两个实数根和，
所以与函数有两个交点，.
又， ，，
所以函数在与交点处的切线斜率都不为.
故C错误.
对于D，设切点为，由，，故，所以，解得，则切点为，曲线的切线方程为，故D正确；
故选：ABD.
10．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，其中．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【解析】（1）当时，，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）依题意，，而，则，
①当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，
则，；
②当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递减，
则，；
③当时，函数在上单调递增，由，得，当时，递减，
当时，递增，，
由，得，，
由，得，，
所以当时，的最小值是，最大值是；
当时，的最小值是，最大值是；
当时，的最小值是，最大值是；
当时，的最小值是，最大值是．
11．（2023春·吉林长春）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若，求在区间的最小值.
【答案】(1)，
(2)当时的单调增区间为，，单调减区间为；
当时在R上单调递增；
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；
(3)
【解析】（1）当时定义域为R，
且，
所以当或时，当时，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
即，；
（2）函数定义域为R，则，
令，解得或，
①当时，则当或时，，
当时，，
所以的单调增区间为，，单调减区间为；
②当时，恒成立，所以在R上单调递增；
③当时，当或时，，当时，，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
综上可得当时的单调增区间为，，单调减区间为；
当时在R上单调递增；
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（3）因为，由（2）可得的单调增区间为，，单调减区间为，
若，即时在上单调递减，
所以在上的最小值为，
若，即时，在单调递减，在单调递增，
所以在的最小值为，
所以.
12．（2023春·北京海淀）已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上存在单调递减区间，求a的取值范围；
(3)若函数的最小值为，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）当时，，则，
故，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2），
因为函数在上存在单调递减区间，
所以在上有解，
即在上有解，
所以，解得，
所以a的取值范围为；
（3）设，
①当时，，恒成立，
∴恒成立，在上单调递增，函数没有最小值，
②当时，，
令得，
解得，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
∴当时，，
∴，则，
又∵函数的最小值为，
∴函数的最小值只能在处取得，
则,
∴，
令，则，
所以函数在上单调递增，
所以，解得.
0

0

极大值
极小值
0
极小值
1
+
0
0
+
极大值
极小值