2024年数学高考一轮复习椭圆试卷

这是一份2024年数学高考一轮复习椭圆试卷，共23页。试卷主要包含了定义，焦点，焦距，半焦距，其数学表达式等内容，欢迎下载使用。

一．椭圆的定义
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2.焦点：两个定点F1，F2.
3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4.半焦距：焦距的一半．
5.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
二．椭圆的简单几何性质
一.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
1.b≤|OP|≤a；
2.a－c≤|PF|≤a＋c.
二.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
三．标准方程
1.利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.
2.椭圆的标准方程的两个应用
①方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ(λ＞0)有相同的离心率.
②与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为eq \f(x2,a2＋k)＋eq \f(y2,b2＋k)＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.
四．椭圆离心率
建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
1.直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq \f(c,a)求解．
2.由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝ eq \r(1－\f(b2,a2))求解．
3.构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系式，从而求得e.
五．弦长
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|(k≠0)．
六．直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数问题；
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
考点一 椭圆的定义及应用
【例1-1】（2023春·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【解析】设椭圆的焦距为，则，
的周长为，解得，
故选：D
【例1-2】（2023·河南开封·统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6B．12C．D．
【答案】C
【解析】由椭圆，得，，.

设，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，
故.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】C
【解析】因为,
所以四边形是平行四边形.
所以.
由椭圆的定义得.
所以.
故选：C

2．（2024秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆的两焦点分别为 ，是椭圆上一点，当的面积取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，所以，
所以，则当最大时，面积最大，
此时点位于椭圆的上下端点，
则，因为，所以，
所以.
故选：C.

3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意椭圆，为两个焦点，可得，

则①，即，
由余弦定理得，
，故，②
联立①②，解得：，
而，所以，
即，
故选：B
考点二 椭圆的标准方程
【例2】（2023秋·课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在轴上，且经过两个点和；
(2)经过点和点Q.
(3)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点；
(4)焦点在y轴上，且经过两个点和；
(5)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点．
【答案】(1)
(3)
(4)
(5)
【解析】（1）由于椭圆的焦点在轴上，
∴设它的标准方程为，
由于椭圆经过点和，
∴，
故所求椭圆的标准方程为.
（2）设椭圆方程为，
则，
∴椭圆方程为.
（3）由题意知，椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为，
易知，∴，
又，∴，
故所求椭圆的标准方程为；
（4）∵椭圆的焦点在y轴上，
∴可设它的标准方程为，
∵椭圆经过点和，
∴，解之得，
故所求椭圆的标准方程为；
（5）根据题意可知，又焦点在y轴上，故焦点坐标为，
∵椭圆经过点，
∴由椭圆的定义可得，即，
∴，
故椭圆的标准方程为.
【一隅三反】
1．（2023秋·课时练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，方程表示椭圆，
则，
解得或，
即实数m的取值范围是.
故选：B
2（2023秋·高二课时练习）以下方程表示椭圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误.
B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误.
C选项，方程，即，
表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确.
D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误.
故选：C
3．（2023秋·广东）已知是椭圆的一个焦点，则实数（ ）
A．6B．
C．24D．
【答案】D
【解析】椭圆化为：，显然，有，
而椭圆的一个焦点为，因此，所以.
故选：D
4．（2023秋·高二课时练习）F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且，则椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．1或
D．1或
【答案】D
【解析】当焦点在x轴上时，，
因为，所以，，所以，
所以椭圆方程为；
同理，当焦点在y轴上时，椭圆方程为.
故选：D
考点三 离心率
【例3-1】（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题得，即，
由焦距为4得，解得，
可得椭圆方程为，所以，，
所以离心率为.
故选：B.
【例3-2】（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C的左右焦点分别为，，P，Q为C上两点，，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，，.
在中得：，即.
因此，，，
在中得：，故，所以.
故选：D
【一隅三反】
1．（2022秋·广东惠州·高三统考阶段练习）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】椭圆焦点在轴上，，，
离心率，解得：.
故选：C.
2．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为，
，
点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆，
又点总在椭圆内部，
该圆内含于椭圆，即，，
，．
故选：A．

3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【【解析】依题意，直线的斜率为，设，则，且，
由两式相减得：，于是，
解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，
所以椭圆的离心率.
故选：A
考点四 直线与椭圆的位置关系
【例4-1】．（2023秋·课时练习）若直线与椭圆有唯一公共点，则实数 ．
【答案】
【解析】直线的方程与椭圆的方程联立，
消去，得 ①.
方程①的判别式.
因为直线l与椭圆C有唯一公共点．
则，解得.
故答案为：.
【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）椭圆上点P(1,1)处的切线方程是 ．
【答案】
【解析】∵椭圆，
∴y>0时，，∴，
∴x＝1时，，即切线斜率，
∴椭圆上点P(1,1)处的切线方程是，
即．
故答案为：．
【一隅三反】
1．（2023春·上海闵行）直线与椭圆恒有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】椭圆长半轴长为，由题意得，则若恒有两个不同的交点，则，
故答案为：.
2．（2022秋·江西南昌·）如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】直线l：过定点，
因为直线l：与椭圆C：总有公共点，
所以点在椭圆内部或椭圆上，
则有，
故答案为：
3．（2023·全国·专题练习）直线与椭圆(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝ ，点P的坐标是 .
【答案】
【解析】法1：联立方程得，
得，
所以，得，所以.
法2：设，则处切线，
可化为，比对得，
代入椭圆方程得：，得.
得，所以，得，所以.
法3：椭圆长轴长，焦点.
由椭圆的定义知，椭圆上每一个点P，均满足，
椭圆上外部的每一个点P，均满足，直线与椭圆有且仅有一个公共点P，
则对于直线上任意一点，满足，当且仅当在点处时，等号成立，
即当在处时，取得最小值.求得关于直线对称的点为，
所以，
因此，椭圆方程为，P的坐标是.
故答案为：；
考点五 弦长与中点弦的问题
【例5-1】（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，弦被点平分．
(1)求直线的方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为弦被点平分，所以
设交点坐标
则，
两式相减得：），
所以直线的斜率，
故直线的方程为
（2），
联立椭圆与直线方程得
所以，
所以，
又因为直线过点，
所以．

【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： ，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，则，，
且，，
作差得，所以，
即直线l的斜率是．
故选：C．
【一隅三反】
1．（2023秋·河南郑州·高三校考开学考试）已知椭圆C：的一个焦点为，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】1）依题意得，，所以，，
所以椭圆C的方程为.
（2）因为直线的倾斜角为，所以斜率为，
又直线过点，所以直线，
联立，消去并整理得，
，
设，，
则，，
所以，
所以.

2．（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 ．
【答案】
【解析】由题意，
在椭圆中，一个焦点为，
设椭圆的方程为,
∴，
设直线与椭圆的交点为,弦中点为
∵直线截得弦的中点的横坐标为，
∴，，
∴ 即
∴.
∴，解得：
∴椭圆的方程为：，
故答案为：.
故答案为：.

考点六 直线与椭圆的综合运用
【例6】（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 ．
【答案】
【解析】由题意，
在椭圆中，一个焦点为，
设椭圆的方程为,
∴，
设直线与椭圆的交点为,弦中点为
∵直线截得弦的中点的横坐标为，
∴，，
∴ 即
∴.
∴，解得：
∴椭圆的方程为：，
故答案为：.
故答案为：.

【一隅三反】
1．（2024·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）椭圆的离心率，过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为，求直线与直线的斜率之积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为椭圆的离心率，
所以 ，即，
又因为椭圆过点，
所以，
又因为，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）如图所示：

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
与椭圆方程联立求得，
又，
所以，
所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去y得：，
，
由韦达定理得，
所以，
，
.
2．（2023·海南海口·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点 ，定直线，动点在上的射影为，且满足.
(1)记点的运动轨迹为，求的方程；
(2)过点作斜率不为0 的直线与交于 两点，与轴的交点为，记直线和直线的斜率分别为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设，则，因为，
所以，化简得，，
即的方程为.
（2）由题意知，
设过点作斜率不为0的直线为，，，
联立可得，，
则，，
又，，
则
，
所以得证.

焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)(0＜e＜1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2