2024年数学高考一轮复习椭圆试卷版

这是一份2024年数学高考一轮复习椭圆试卷版，共32页。
A．2B．C．D．3
【答案】C
【解析】由题意，，即，
可得，则.
故选：C
2．（2022秋·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）椭圆​的左、右焦点分别为​，焦距为​，若直线​与椭圆​的一个交点为​在​轴上方，满足​，则该椭圆的 离心率为（ ）
A．​B．​
C．​D．​
【答案】A
【解析】由直线可知：过定点，斜率，即，
则，解得，
又因为，可得，
结合椭圆的定义可得，整理得.
故选：A.

3．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，，则，，两式作差并化简整理得
，因为线段AB的中点为，所以，，
所以，由，得，又因为，解得，，
所以椭圆C的方程为．
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的右焦点为，上顶点为，若存在直线与椭圆交于不同两点，重心为，直线的斜率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设椭圆的半焦距为，
由已知，，
设，
因为重心为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以直线的斜率，
当且仅当时等号成立，
又，
所以直线的斜率取值范围是，
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，的中点为，
因为都在椭圆上，
所以，作差可得，
即，所以，
即，因为，所以，
又因为为△BMN的重心，所以，
所以，则，
所以，整理得，即，
所以，则，
所以离心率.
故选: A.
6．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，分别为椭圆的左､右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点，则直线与的斜率乘积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直线过原点，可设，则，
；
，，，.
故选：B.
7．（2023·全国·高二专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为，
于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，，
则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上，
圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径，
所以椭圆的蒙日圆方程为.
故选：B
8．（2023春·内蒙古赤峰）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】如下图所示：

根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，
点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为，
联立，消去整理可得，
，因为，解得，
所以，椭圆在点处的切线方程为，
因此，点到直线的距离的最大值为,
联立，
可得点的坐标为.
故选：B.
9．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）（多选）已知点为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最大值为7
C．的最小值为
D．的最大值为1
【答案】ABD
【解析】依题意，，所以，
的最小值，即是的长，当点在位置时取到，
所以的最小值为，故A正确；
设椭圆的右焦点为，所以，
则当点在位置时取到最大值，
所以的最大值为，故B正确；
的最小值当在位置时取到，
即的最小值为，故C错误；
由，
则当点在位置时取到最大值，
所以的最大值为，故D正确.
故选:ABD

10．（2023·广东·校联考模拟预测）（多选）已知椭圆的焦点在轴上，且分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的离心率为
C．存在，使得
D．面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】A选项，椭圆的焦点在轴上，故，解得，A正确；
B选项，设，则，
故的离心率为，B错误；
C选项，以为直径的圆的方程为，与椭圆联立得，，
整理得，
因为，所以，
当时，，故，满足要求，
故存在，使得，C正确；
D选项，因为，故当点位于上顶点或下顶点时，面积取得最大值，
故最大面积为，
因为，所以当时，面积取得最大值，最大值为，D正确.
故选：ACD
11．（2023秋·贵州铜仁·高三贵州省思南中学校考阶段练习）（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；
对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；
对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，D正确．
故选：BCD
12．（2023秋·课时练习）（多选）以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是，且过点的椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】椭圆的焦点在轴上，则，得，此时椭圆方程是；
若焦点在轴上，则，则，此时椭圆方程是．
故选：AB
13．（2023秋·重庆）（多选）已知圆与圆的一个交点为M，动点M的轨迹是曲线C，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C的方程式
B．曲线C的方程式
C．过点且垂直于x轴的直线与曲线C相交所得弦长为
D．曲线C上的点到直线的最短距离为
【答案】BCD
【解析】对A,B，由题意知,,所以,
所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且,,即,
所以,所以曲线的方程为,故A错误，B正确；
对C，过点,且垂直于轴的直线为,
它与曲线相交于两点,
所以弦长为,故C正确；
对D，设与直线平行的直线，，
由，得，
令，解得，此时直线与椭圆相切，
易得，此时切点到直线的距离距离最短，直线的方程为，
此时两平行线的距离为，
故曲线上的点到直线的最短距离为，故D正确.
故选：BCD.
14．（2022秋·福建漳州）（多选）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．椭圆上的点到直线的最大距离为
B．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，AB为切点，直线AB经过定点
C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则m＝4
D．圆上存在4个点到直线l：的距离都等于1
【答案】ABC
【解析】对于A:设直线与椭圆相切，
联立方程得：，
因为直线与椭圆相切，所以，得
当时，直线与距离最大，最大距离为
故A正确.
对于B:设点，因为AB为切点，所以，，连接，根据圆周角与圆直径关系可知，AB两点在以为直径的圆上，圆的方程为，两圆公共弦AB所在直线方程为，
联立方程得，令，则
故B正确.
对于C: 曲线：，曲线:，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，故，得
故C正确.
对于D:直线 与圆相切，且与距离为1，因此圆上存在3个点到直线l：的距离都等于1
故D错误.
故选:ABC
15．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且的最小值为3，则椭圆C的离心率是 ．
【答案】
【解析】由，则在椭圆内，若是椭圆左焦点，

所以，
仅当共线且在之间时取等号，故，即，
而且，则，故，
此时，故.
故答案为：
16．（2023秋·四川达州·高三校考开学考试）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一，
N为圆E：上任意一点，

故，当且仅当共线时等号成立，
故
，
当且仅当共线时等号成立，
而，故，
即的最小值为，
故答案为：
17．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【解析】因为点为线段的中点，，则，
所以，为等腰直角三角形，

设，则，
由椭圆的定义可得，
所以，，
所以，，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因此，该椭圆的离心率为.
故答案为：.
18．（2023·江西鹰潭·统考一模），是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为 .
【答案】
【解析】因为，
所以，则是的角平分线，
所以，
又因为，
所以，设，
由椭圆定义得，
即，解得，
则，
则，
所以，则，
故答案为：
19．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考开学考试）已知椭圆的离心率为，则椭圆的短轴长为 ．
【答案】2
【解析】题意可得，所以离心率，
故，故短轴长为，
故答案为：2
20．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知，是椭圆（）的左右焦点，是其右顶点，过点作直线轴交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率是 ．
【答案】
【解析】因为轴，不妨设，，
又，，由得：，
即，故．
故答案为：.
21．（2024秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程
【答案】或或（只需写一条）
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，椭圆中，，它们的图象如下图：

由图可知，或与圆和椭圆同时相切，
即符合条件的的方程可以为或
假设公切线斜率存在且不为零时方程为，由图可知
所以①
由得
由得②
由①②解得
故答案为： 或或（只需写一条）
22（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为 ．
【答案】
【解析】
设双曲线的半焦距为，，根据题意得．
又，∴．
在中，由余弦定理得，，
即，解得，则．
设，，则，，
两式相减可得，
所以．
设，因为是线段的中点，所以，，
又，所以．
故答案为：.
23．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为 ．
【答案】
【解析】由椭圆，可得，
故直线AB的方程为，与AB平行且与椭圆相切的直线可设为，
代入椭圆方程整理，得，
则，解得，
当时，与之间的距离为；
当时，与间的距离为，
故椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为，
故答案为：
24．（2022·高二课时练习）曲线上点到直线距离的最小值为 ．
【答案】/
【解析】令与相切，联立整理可得，
所以，可得，
当，此时与的距离，
当，此时与的距离，
所以曲线到直线距离的最小值为.
故答案为：
25．（2022秋·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考期中）已知椭圆C：（）与x轴分别交于、点，N在椭圆上，直线，的斜率之积是．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求点N到直线l：的最大距离．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意，设，则，，
因为直线，的斜率之积是，所以．
整理得椭圆方程为；
（2）由（1）中结论可得，椭圆方程为，
设直线，则当点N既在椭圆C上又在直线上时，此时点Ｎ到直线l有最大距离，
设直线：，联立方程
，得，则，
解得或，
因为要求点到直线l的最大距离，所以直线为，
故最大距离为．
1．（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）已知椭圆C：（）的左焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，，过点所作直线的倾斜角为，所以该直线斜率为，
所以直线方程可写为，联立方程，
可得，，
根据韦达定理：，，
因为，即，所以，
所以，
即，所以，联立，
可得，.
故选：C
2．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）A，B是椭圆上两点，线段AB的中点在直线上，则直线AB与y轴的交点的纵坐标的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知，直线AB的斜率必然存在，设直线AB的方程为，
则直线AB与y轴的交点的纵坐标为m，设点，，
将直线AB的方程与椭圆方程联立并化简得，，
化简得，即.
由韦达定理可得，所以，
将等式两边平方得，所以.
当且仅当时，等号成立，由于，解得或.
因此，直线AB与y轴的交点的纵坐标的取值范围是.
故选：A
3．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆，离心率为，过的直线分别与相切于，两点，则直线方程为（ ）
A．或B．
C．D．或
【答案】A
【解析】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，
①当切线斜率存在时, 设过点的切线方程为，
联立方程，得，
，即，
，
又，
把代入中，得，
，
化简得.
②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式.
综上，椭圆上一点的切线方程为：.
再证明若点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，
切点分别为，，则切点弦的方程为．
这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和．
两切线都过点，所以得到了和，
由这两个“同构方程”得到了直线的方程；
因为椭圆，离心率为，
若焦点在轴，则，，所以，
所以，解得，所以椭圆，
所以过作椭圆的两条切线方程，
切点弦方程为；
若焦点在轴，则，，所以，
所以，解得，所以椭圆，
所以过作椭圆的两条切线方程，
切点弦方程为，即；
综上可得直线方程为或.
故选：A
4．（2023·全国·高二专题练习）若直线l：与曲线C：有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，曲线C的方程为，轨迹为椭圆的右半部分；
当时，曲线C的方程为，轨迹为双曲线的左半部分，其渐近线为，
作出图象如下图，直线l（图中虚线）是与直线平行的直线，平行移动直线，可得直线l，
如图可知，当直线l介于直线和（与l平行且与椭圆相切，切点在第一象限）之间时，直线l与曲线C有两个公共点．
设的方程为，，则有，
联立，消去x并整理得，
由，解得或（舍），
故m的取值范围为．
故选：B．
5．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）（多选）已知是圆上不同的两点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，直线分别是圆的两条切线，为椭圆的离心率.下列选项正确的有（ ）
A．直线与椭圆相交
B．直线与圆相交
C．若椭圆的焦距为两直线的斜率之积为，则
D．若两直线的斜率之积为，则
【答案】BCD
【解析】对于A中，当时，点的坐标可以为，
可得直线为，即，
由，整理得，此时，
所以直线与椭圆无交点，所以A错误；
对于B中，因为，所以，设原点到直线的距离为，
由点到直线的距离公式，可得，
所以直线与圆相交，所以B正确；
对于C中，椭圆的焦距为，可得，即，
不妨设，则直线，
由原点到直线的距离等于1，可得，解得，
同理可得，因为，即，
解得，又由，解得，
所以离心率，所以C正确；
对于D中，不妨设，则,，
所以，解得，
所以，
因为，可得，所以，所以D正确.
故选：BCD.

6．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，由直线上任一点向椭圆作切线，切点分别为、，点在轴的上方，则（ ）
A．当点的坐标为时，
B．当点的坐标为时，直线的斜率为
C．存在点，使得为钝角
D．存在点，使得
【答案】AD
【解析】设点、，先证明出椭圆在其上一点处的切线方程为，
由题意可得，
联立可得，即，
即方程组只有唯一解，
因此，椭圆在其上一点处的切线方程为，
同理可知，椭圆在其上一点处的切线方程为，
因为点为直线上一点，设点，
则有，即，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
对于A选项，当点的坐标为，即，此时直线的方程为，
由可得，即点，此时，A对；
对于B选项，当的坐标为时，即时，此时，直线的斜率为，B错；
对于C选项，联立可得，
，由韦达定理可得，，
，同理，
所以，
，
因此，恒为锐角，C错；
对于D选项，若点为椭圆的上顶点，则轴，此时，
所以，点不是椭圆的上顶点，线段的中点为，
所以，，，
存在点，使得，则，则，
化简可得，因为，，
所以，，即，
因为，解得，
因此，存在点，使得，D对.
故选：AD.
7．（2023·重庆·统考模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，由直线上任一点P向椭圆作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（ ）
A．恒为锐角B．当垂直于x轴时，直线的斜率为
C．的最小值为4D．存在点P，使得
【答案】ABD
【解析】对于A项，设切线方程为
联立得：，
∵直线与椭圆相切，故则，
∴切线PA的方程为，同理切线PB的方程为
而P点在上，故，
又满足该方程组，故，
显然过定点即椭圆左焦点.
以为直径的圆半径最大无限接近，但该圆与一直相离，即始终为锐角，A正确；
对于B项，由A得，轴时，，易得，，故B正确；
对于C项，由B知轴时，此时，故C错误；
对于D项，取中点，若则，
即为等腰三角形，，
化简得，由A知：，
整理得：，显然存在P满足题意，故D正确；
故选：ABD
8．（2024秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）已知椭圆的两焦点分别为 ，A是椭圆上一点，当时，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，线段的中点为，过作垂直轴的直线在第二象限交椭圆于点S，过S作椭圆的切线，的斜率为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意得，

由椭圆定义可得，又，
由余弦定理可得：
，
所以，又，解得，
所以，故椭圆的方程为.
（2）直线，设，

联立与得，所以，
恒成立，
所以，
故，
设直线为，，
联立，所以，
由可得，
所以，则，所以得，所以，
则，
由于函数在上为减函数，所以函数在上为增函数，
所以函数在上为减函数，所以，
所以.
9．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点.
(1)求的方程；
(2)记为坐标原点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意得，，解得，故的方程为.
（2）设，直线，
联立，整理得：.
由得，且，
，
点到直线的距离，
，

令，故，故，
当且仅当，即时等号成立，
故面积的最大值为.
10．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
【答案】(1)或．
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得，直线l的方程为x＝1．
l的方程与C的方程联立可得或．
∴直线AM的方程为或．
（2）证明：证法一（【通性通法】分类＋常规联立）
当与轴重合时，．
当与轴垂直时，为的垂直平分线，∴．
当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，
则，直线、的斜率之和为．
由得．
将代入得．
∴．
则．
从而，故、的倾斜角互补，∴．
综上，．
证法二（角平分线定义的应用）：当直线l与x轴重合或垂直时，显然有．
当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为，交椭圆于，．
由得．
由韦达定理得．
点A关于x轴的对称点，则直线的方程为．
令，，则直线过点M，．
证法三（直线参数方程的应用）：
设直线l的参数方程为（t为参数）．（*）
将（*）式代入椭圆方程中，整理得．
则，．
又，则
，
即．∴．
证法四（【最优解】椭圆第二定义的应用）：当直线l与x轴重合时，．
当直线l与x轴不重合时，如图6，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则有轴．

由椭圆的第二定义，有，，得，即．
由轴，有，即，于是，且．可得，即有．
证法五（角平分线定理逆定理＋极坐标方程的应用）：
椭圆以右焦点为极点，x轴正方向为极轴，得．
设，．
∴，．
由角平分线定理的逆定理可知，命题得证．
证法六（角平分线定理的逆定理的应用）：
设点O（也可选点F）到直线的距离分别为，根据角平分线定理的逆定理，要证，只需证．
当直线l的斜率为0时，易得．
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：．由方程组得恒成立，．．
直线的方程为：．
∵点A在直线l上，∴，故．
同理，．．
∵，∴，即．
综上，．
证法七（【通性通法】分类＋常规联立）：当直线l与x轴重合或垂直时，显然有．
当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为，交椭圆于，．
由得．
由韦达定理得．
∴，
故、的倾斜角互补，∴．
证法八（定比点差法）：设，，
∴，由作差可得，，
∴，又，∴，
故，、的倾斜角互补，∴．
当时，与轴垂直，为的垂直平分线，∴．
故．
证法九（调和点列和调和线束）：如图所示，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，．由椭圆的第二定义有，即．又轴，∴，故．
∴，得，因此∠OMA＝∠OMB．