2023-2024学年安徽省合肥市庐阳区九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市庐阳区九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题4分，有10小题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若，且，则的值是（ ）
A. 4B. 2C. 20D. 14
【答案】A
【解析】由a：b＝3：4知，所以．
所以由得到：，解得．所以．
所以．
故选A．
2. 若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵点在反比例函数图象上，∴，∴，
∴反比例函数解析式为，
又∵点也在反比例函数图象上，∴，
故选：．
3. 如图下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．此图形是中心对称图形；
B．此图形是轴对称图形；
C．此图形是中心对称图形；
D．此图形是中心对称图形，也是轴对称图形；
故选D．
4. 用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵扇形的弧长，
∴圆锥的底面半径为，
∴这个圆锥形筒的高为．
故选：B．
5. 如图，在中，点D，E分别在边，上，则不一定能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，，，不符合题意；
B、，，，不符合题意；
C、，，，，不符合题意；
D、，，
无法证明，符合题意；
故选：D．
6. 已知二次函数的图象如图，它与x轴的两个交点分别为，对于下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】B
【解析】∵二次函数的图象开口向上，且与x轴的两个交点分别为，
∴，且该图象的对称轴为，
∴，
∴，
故①错误；
由图可知，抛物线交y轴负半轴，
∴，
又∵，，
∴，
故②错误；
由图可知，当时，，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
故④正确；
故选：B．
7. 如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t （单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由图2知小球速度不断变化，因此判定小球运动速度v与运动时间t之间的函数关系是（为前半程时间，为后半程时间），
∴前半程路程函数表达式为：，后半程路程为，
∵，即前半段图像开口向上，后半段开口向下
∴C项图像满足此关系式，
故答案为：C．
8. 在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（ ）
A. （，0）B. （2，0）
C. （，0）D. （3，0）
【答案】C
【解析】过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠BCD，
在△ACO与△BCD中，
∴△ACO≌△BCD（AAS）
∴OC＝BD，OA＝CD，
∵A（0，2），C（1，0）
∴OD＝3，BD＝1，
∴B（3，1），
∴设反比例函数的解析式为y＝，
将B（3，1）代入y＝，∴k＝3，∴y＝，
∴把y＝2代入y＝，∴x＝，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了个单位长度，
∴C也移动了个单位长度，
此时点C的对应点C′的坐标为（，0）
故选：C．
9. 如图， 中， ， ，它的周长为．若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】∵与三边分别切于三点，
∴，，，
∵，∴，
∵，，
∴是等边三角形，∴，
∵，，∴，
∵，∴，
∵，∴．
故选：A．
10. 如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点．连接，，当最大时，点的坐标是（ ）
A. 1,4B. C. D.
【答案】D
【解析】当、、三点共线时，最大，则直线与对称轴的交点即为点．
由线可知，，，
对称轴
设直线为．，解得
直线解析式为，
当时，，
，
故选：D．
二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
11. 已知三个数3，6，x，要使其中一个数是其他两数的比例中项，则x的取值是_____．
【答案】或12或±3
【解析】由，解得：x＝；
由，解得：x＝12；
由，解得：x＝±3；
则x的取值是或12或±3；
故答案为：或12或±3．
12. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为，那么大正方形的面积是_____．
【答案】169
【解析】由题意知，小正方形的边长为7，
设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，
则tanθ＝短边：长边＝a：b＝5：12．
所以b＝a，①
又以为b＝a+7，②
联立①②，得a＝5，b＝12．
所以大正方形的面积是：a2+b2＝25+144＝169．
故答案是：169．
13. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，水面宽度减少_____．

【答案】
【解析】建立如图所示的直角坐标系，

设抛物线的解析式为，
由题意可得：点在此抛物线上，
则：，解得：，∴，
∵水面上升，∴当，即时，解得：，
∴此时水面的的宽度为．
∴水面宽度减少了．
14. 如图，点是四边形内一点，、、、分别是、、、上的点，且，若四边形的面积为，则四边形的面积为_______．
【答案】
【解析】，
，
四边形与四边形的位似比为：，
四边形与四边形的面积比为：，
四边形的面积为，
四边形的面积为：．
故答案为：．
三、解答题（共9小题，15-18题每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 计算：
解：原式
16. 如图，．求的长度．
解：∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴．
17. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC．
（1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1，（只画出图形）．
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，（只画出图形），写出B2和C2的坐标．
解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示，B2（4，-1），C2（1，-2）．
18. 抛物线顶点坐标是且经过点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．
解：（1）设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过，∴，解得：，
∴；
（2）令得，
故与轴交点为；
令得，解得，，
∴与轴交点为或．
19. 如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为．
（1）求乙同学从点到点的过程中上升的高度；
（2）依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，，）
解：（1）作于，如图所示，
在中，
∵，∴，
∵，∴，
∴（米）．
答：乙同学从点到点的过程中，他上升的高度为6米；
（2）如图所示，过点作于点，
∵，
∴四边形矩形，
∴，，
设米，
在中，，
∴，
∴，
由（1）得，
∴在矩形中，，，
在中，，
∵，
∴，解得 ，
答：大树的高度约为24米．
20. 今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
解：（1）设与之间的函数关系式，
把，代入得：，解得：，
∴与之间的函数关系式；
（2）根据题意得：，整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元.
21. 如图所示，已知是圆O直径，圆O过的中点D，且．
（1）求证：是圆O的切线；
（2）若，，求圆O的半径．
（1）证明：连接，
∵D是的中点，O为的中点，
∴．
又∵，
∴
∴
∴，
∵为圆O的半径，
∴是圆O的切线．
（2）连接，
∵是圆O的直径，∴，∴是直角三角形．
∵，，∴，∴ ．
∵，∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，∴，
即圆O的半径为 ．
22. 如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值；
（3）如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线与x轴交于点、，
∴，解得：，
∴该抛物线所对应的函数解析式为；
（2）如图1，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，
设直线的解析式为，
由，的坐标得，，解得
∴直线的表达式为：，
设，则，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，面积的最大值为；
（3）存在，理由：
设，F（0，n），
∵，
∴，，
如图2，过点P作轴于点Q，
则，∴，
∵，∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
解得：或2，
当时，，，
∴，即，
∵点F在y的负半轴上，
∴，
∴；
当时，，，
∴，即，
∵点F在y的负半轴上，
∴，
∴．
综上，点F的坐标为或．
23. 已知中，，，E是射线上一点（不与点B重合），线段的垂直平分线与边交于点D.
（1）点E在边上，
①如图1，连接CE，如果CE平分，求BD的长；
②如图2，射线DE交射线CA于点F，设，，求y关于x的的数解析式，并写出定义域.
（2）如果是直角三角形，求BD的长.
解：（1）①连接DE，在BC上截取，连接，过A点作于点N，
∴，
∴，
设，
∵线段的垂直平分线与边交于点D，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵CE平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，即；
②过点作于点，点作于点，
由①得，
∴，即，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即∴，
∴，，
∴，
又∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，，
又∵，
∴
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
又∵，
∴，
即，
∵点在边上，
∴，
∴
∴定义域为；
（2）如图，过点作于点，
根据②可得：，，
∴
∴，
当时，，
即，
解得：（舍去），，
当时，如图，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：，
综上所述，当BD的长为或时，是直角三角形．