2023-2024学年安徽省芜湖市九年级上学期期末模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年安徽省芜湖市九年级上学期期末模拟考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴此函数的顶点坐标为（3，1），
故选：A．
2. 如图，在Rt中，，，，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，，
∴，
∴；
故选D．
3. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （4，2）B. （﹣2，2）
C. （4，﹣2）D. （﹣2，﹣2）
【答案】D
【解析】∵ ，
∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，
∴将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．
故选：D．
4. 如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，连接，若，，则的度数为（ ）
A. 25°B. 30°C. 28°D. 32°
【答案】C
【解析】由旋转可知：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（ ）

A. 34°B. 46°C. 56°D. 66°
【答案】C
【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝34°，
∴∠ABD＝34°
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，
故选C．
6. 如图所示，点是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，故A不符合要求；
和，不能判断∽，故B符合要求；
∵，，
∴，故C不符合要求；；
∵，，
∴，故D不符合要求；
故选：B．
7. 如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ）
A. 16.5米B. （10＋1.5）米
C. （15＋1.5）米D. （15＋1.5）米
【答案】B
【解析】如图所示，过点A作AE⊥BC，E为垂足，
则四边形ADCE为矩形，AE＝30米，CE＝AD＝1.5米，
在中，，
∴（米），
∴米，
故选B．
8. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )
A. 6米B. 8米C. 18米D. 24米
【答案】B
【解析】由镜面反射原理知∠APB=∠CPD.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP.
∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP，
∴AB∶BP=CD∶DP.
∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，，
∴CD= =8（米）.故该古城墙的高度是8米.
故选B.
9. 如图，在正六边形中，分别以B，E为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为，则正六边形的边长为（ ）

A. 3B. 9C. D. 18
【答案】C
【解析】∵正六边形的内角是，阴影部分的面积为，
设正六边形的边长为r，
∴，
解得．
则正六边形边长为．
故选：C．
10. 如图是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③；④；⑤若为方程的两个根，则且，其中正确的命题是（ ）

A. ①②③B. ①④⑤C. ①③⑤D. ②③④
【答案】C
【解析】①抛物线的开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴下方，
，，
由对称轴的位置可得，，
故，正确；
②抛物线的对称轴为直线：，即，故错误；
③时，，
，故正确；
④抛物线的对称轴为直线：，与x轴的一个交点为，
图象与轴交于点，
由根与系数的关系得：，即，
由，，，且，则，故错误；
⑤由抛物线的对称性，可知抛物线与轴的两个交点为，，
当时，，
当时，或，
当时，观察图像得，，，故正确；
故选：．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如图，A，B，C是上的三个点，，则的度数是______．
【答案】65°
【解析】∵，
∴
∵
∴
故答案为：65°．
12. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的从小到大的关系是__________．
【答案】
【解析】∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵，，
∴点，位于第二象限，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴点位于第四象限，
∴，
∴
故答案为：．
13. 如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为_____．
【答案】
【解析】过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，
设小正方形的边长为1，
则AE=3，BE=4，
所以tan∠ABC=，
故答案为：
14. 如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是___________．

【答案】3秒或秒
【解析】如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似，
则，
①当D与B对应时，有．
∴，
∴，
∴；
②当D与C对应时，有．
∴，
∴，
∴．
故答案：3秒或秒．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
解：
．
16. 如图，已知，，，求的长．
解：∵，，∴，
∵，，
∴，∴，即，解得：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1；
（2）在给定的网格中，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
解：（1）如图，△AB1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
18. 数学活动小组到某景点测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为60°，点A，C，B在同一直线上，则求塔高．（身高忽略不计，结果不取近似值）
解：∵，
∴， ∴；
∵，∴，
又∵，∴
∴该塔高为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
解：（1）设y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），由图象可知，
当时，；当时，，
∴，解得，
∴y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），
（2）设每天所获利润为w元，
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜19时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，
（元），
答：销售单价定为18元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是700元；
20. 如图，为的直径，切于点E，于点C．

（1）求证：平分
（2）若，，求的半径．
解：（1）连接，则：，
∴，
∵切于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；

（2）如图，连接，

则：，
∵，平分，∴，
在中，，，∴，
在中，，∴，
∴，∴，∴，
∴，即：的半径为2．
六、（本题满分12分）
21. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0解集．
解：（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，
所以反比例函数解析式为，
把B（n，﹣4）代入，得﹣4n=﹣8解得n=2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：，
所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，
即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×2×2+12×2×4=6；
（3）由图可得，不等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2．
七、（本题满分12分）
22. 【发现问题】

（1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______．
（2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；
②图2中的度数是______．
（3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．
解：（1）∵和均为等边三角形，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）如图2中，

∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴（SAS），
∴；
②∵，
∴，
设交于点．
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）结论：，．
理由：
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
八、（本题满分14分）
23. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）若点在抛物线对称轴上，点为任意一点，是否存在点、，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出，两点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）当时，，
，
当时，，
∴，
，
∵对称轴为直线，
，
∴设抛物线的表达式：，
，
，
抛物线的表达式为：；
（2）如图1，作于F，交于E，
，，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
；
（3）设，
∵以A，，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
，
即：，
，
，
，
∵，，
，，
．