2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
2. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】把代入一元二次方程得：，
解得，，
∵，∴的值为，
故选：．
3. 如图，在中半径与弦垂直于点D，且，，则的长是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】连接，
设，
∵，∴，
∵，
∴由垂径定理可知：，由勾股定理可知：，∴，
∴，
故选C.
4. 若要得到抛物线y=（x+5）2-3，可以将抛物线y=x2（ ）
A. 先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度
B. 先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度
C. 先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度
D. 先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】B
【解析】将抛物线y=x2先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线y=（x+5）2-3，
故选：B．
5. 暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：
故选B
6. 某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离），则求拱桥的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，
∵圆弧形拱桥的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离）米，
∴，，且半径，
设，在中，，，
∴，解方程得，，
∴拱桥的半径为，
故选：．
7. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝40°．将△ABC绕着点B逆时针方向旋转得△DBE，其中AC∥BD，BF、BG分别为△ABC与△DBE的中线，则∠FBG＝（ ）
A. 90°B. 80°C. 75°D. 70°
【答案】D
【解析】，
，
，
，
由旋转可知，点绕点旋转后的对应点分别为点，
，
故选：D．
8. 抛物线y＝ax2＋bx＋c对称轴为x＝1，与x轴的负半轴的交点坐标是（x1，0），且－1＜x1＜0，它的部分图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③9a＋3b＋c＜0；④3a＋c＜0，其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】∵函数图象对称轴在y轴右边，
∴，
∵函数图象与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵函数图象与x轴有两个交点坐标，
∴，故②正确；
根据二次函数图象的对称性，它与x轴的另一个交点坐标在2和3之间，
∴当时，，故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
当时，，故④正确．
故选：D．
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是________．
【答案】
【解析】点关于原点的对称点的坐标是．
10. 在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在，和．由此，推测口袋中黄色球的个数有_______．
【答案】24个
【解析】估计箱子里黄色球有（个），
故答案为：个．
11. 已知是方程的解，则m的值为____________．
【答案】4
【解析】由题意得：把代入方程中，
则，，
故答案为：．
12. 若抛物线的顶点在x轴上，则________
【答案】
【解析】根据题意可得：抛物线的顶点坐标为：，
抛物线的顶点在x轴上，，
解得：，
故答案为：．
13. 某小区有1300个住户，为了解小区居民生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取4栋楼的住户进行调查，结果如表一所示．
表一
根据表一，估计该小区居民当日生活垃圾总量为____________．
【答案】
【解析】该小区居民当日生活垃圾总量为．
14. 小桐竖直向上抛出一个小球，小球只在重力作用下的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的图象是抛物线的一部分，如图所示．小球出手时的高度是 __________．

【答案】1.05m
【解析】由图象可知抛物线的顶点为，
根据顶点设抛物线解析式为：；
∵点在抛物线上，代入得，
∴，
∴抛物线解析式：，
当时，，
则小球出手时的高度是1.05m，
故答案为：1.05m．
15. 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
【答案】
【解析】连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r−6）2＋82，
解得：，
即的半径为．
故答案为：．
16. 如图，已知是等边三角形，，E是上的点，，与交于点F．则下列结论正确的有_____

①连接，则垂直平分线段；
②是等边三角形；
③若，则；
④若，则．
【答案】①②④
【解析】如图，连接，

∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴点A、C都在线段的垂直平分线上，
则垂直平分线段，故①正确，
∵，
∴，
∴是等边三角形，故②正确，
∵，，
∴，
∵，
∴，故③错误，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵和都是等边三角形，，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1）
方程中，，
∴，
∴，
∴；
（2）原方程可变形为，
∴或，
解得．
18. 如图，是等边内一点，将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接、、．若，求的度数．
解：∵是等边三角形，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴，∴，
∵，∴为等边三角形，
∴，
∴．
19. 先化简，再求值；，其中．
解：
．
当时，原式．
20. 如图，在△ABC中，已知AB＝AC．
（1）尺规作图：画△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写画法）．
（2）连接OB，OC，若∠A＝45°，BC＝6，求弧BC的长．
解：（1）如图，⊙O即为所求．
（2）连接OB，OC．
∵∠A=45°，
∴∠BOC=90°，
∵BC=6，
∴OB=，
∴弧BC的长=．
21. 不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其它差别．
（1）从袋中随机摸出一个小球，直接写出摸到红球的概率；
（2）随机摸出一个小球，记下颜色，放回并摇匀，再随机摸出一个，求两次都摸到绿球的概率．
解：（1）由题意知，摸到红球的概率为
∴摸到红球的概率为．
（2）由题意画树状图为：
由图可知，两次摸到绿球的概率为
∴两次摸到绿球的概率为．
22. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）在中，令得，，
故答案为：；
（2）根据题意得，，
即w与x之间的函数关系式为：；
（3），
∵，
∴当时，w取最大值，最大值，
即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
23. 如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线上的一点，交的延长线于E，于F，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
（1）证明：如图：连接OC；
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴．
在中，，
∴,
∴．
在中，，
∴．
24. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，D是射线AB上的一动点，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．
（1）如图1，△CDE是_______三角形．
（2）如图2，猜想BC，BD，BE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）在点D移动过程中．当∠DEB＝30°时，求BD的长．
解：（1）∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角
（2）BC+BD＝BE，证明如下：
∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴AB=BC，AD=AB+BD，
∴BE＝AB+BD＝BC+BD；
（3）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠A=45°，AD=BE，
∴∠ABE=90°，
∵∠DEB＝30°，
∴DE=2BD，
∴BE＝=BD，
如图1，当D在B的左边时，
∴AD＝BE＝AB﹣BD＝BC﹣BD；∴BD＝BC﹣BD，
∵AC=BC=4，解得：BD＝．
如图2，当D在B的右边时，当∠DEB＝30°时，∴BE＝BD，
由（2）可得：BE=BD＝BC+BD；解得BD＝．
综上所述：BD的长为或．
25. 若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线：与抛物线：为“友好抛物线”．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上在第一象限的动点，过作轴，为垂足，求的最大值；
（3）设抛物线的顶点为，点的坐标为，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点逆时针旋转90°得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1），
抛物线的顶点坐标为，．
抛物线：与顶点相同，
=1，．
解得：，．
抛物线的解析式为；
（2）如图1所示：
设点的坐标为．
，，
．
当时，有最大值，最大值为．
（3）如图2所示；连接，过点作，垂足为．
，，抛物线的对称轴为x=1，
，．
，
．
，
．
．
在和中， ，
，．
设点的坐标为．则，．
点的坐标为．
．
整理得：．
解得a=2，或．
当a=2时，的坐标为，
当时，的坐标为．
综上所述，当点的坐标为或时，恰好落在抛物线上．所抽取的居民楼
A栋
B栋
C栋
D栋
住户数
30
30
40
30
该栋所有住户当日产生的生活垃圾总量（）
40
45
70
35