2023-2024学年山东省临沂市沂水县九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年山东省临沂市沂水县九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，四象限，那么的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B. “汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件
C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着襄阳明天一定下雨
D. 若两组数据平均数相同，则方差小的更稳定
【答案】D
【解析】A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故不符合题意；
B. “汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故不符合题意；
C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，但是襄阳明天只是有可能下雨，故不符合题意；
D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，该说法正确，故符合题意；
故选：D．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵a=，b=0，c=0，
∴；．
∴顶点坐标是：（0，0）．
故选：B．
3. 在不透明的甲口袋中装有32个红球和8个黑球，在不透明的乙口袋中装有48个红球，20个黑球和32个白球．这些球除了颜色外没有其他区别．搅匀两口袋中的球，从口袋中分别任意摸出一个球，下列说法正确的是（ ）
A. 从甲口袋中摸到黑球的概率较大
B. 从乙口袋中摸到黑球的概率较大
C. 从甲、乙两口袋中摸到黑球的概率相等
D. 无法比较从甲、乙两口袋中摸到黑球的概率
【答案】C
【解析】甲口袋中装有32个红球和8个黑球，
球的总个数为：个；
黑球的个数为：8个，
乙口袋中装有48个红球，20个黑球和32个白球，
球的总个数为：个，
黑球的个数为：20个，
从甲口袋摸到黑球的概率；
从乙口袋摸到黑球的概率
从甲、乙两口袋中摸到黑球的概率相等，
故选：C．
4. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴，选项A正确，符合题意；
选项B错误，不符合题意；
∵，∴，
∴，
∴选项C、D均错误，不符合题意；
故选：A．
5. 下列说法不正确是（ ）
A. 方程有一根为0
B. 方程的两根互为相反数
C. 方程的两根互为相反数
D. 方程无实数根
【答案】C
【解析】A、方程有一根为0，所以A选项的说法正确，不符合题意；
B、方程的两根为，互为相反数，所以B选项的说法正确，不符合题意；
C、方程的两根为，所以C选项的说法不正确，符合题意．
D、，方程无实数根，所以D选项的说法正确，不符合题意；
故选：C．
6. 如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，∴，
故选：A．
7. 如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC与△DEF的面积之比为4∶9，则AO：OD的比值为（ ）
A. 2∶3B. 2∶5C. 4∶9D. 4∶13
【答案】A
【解析】与位似，与的面积之比为，
，，
，，
故选：A．
8. 如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接, ，

边长为的正方形内接于，即，
，，为的直径，，
，分别与相切于点和点，
，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
．
故选C．
9. 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设出抛物线方程，
由图象可知该图象经过点，
故，，故，故选：A．
10. 在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后得到的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵点在轴，
∴绕原点O顺时针旋转后，落在轴的正半轴上，对应点的坐标为，
故选：B．
11. 如图，函数和的图象分别是和．设点P在上，轴交l1于点A，轴交于点B，则△PAB的面积为（ ）

A. 1B. 4C. D.
【答案】C
【解析】如图，延长、分别交轴，轴于点、，连接、，

设点的横坐标为，则点的纵坐标为，点的纵坐标为，
，
点在反比例函数的图象上，点的纵坐标为，
点的横坐标为，
即，
，
，
故选：C．
12. 如图，是的切线，A、B为切点，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】是的切线,
，
,
故选：A
二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13. 如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数），函数的图象为曲线．若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则的坐标是______，的取值范围是________．

【答案】
【解析】∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴，
∴当函数过点时，，
当函数过点时，，
∴若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，的取值范围是：．
14. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升1米后，水面的宽度为________米．（结果可带根号）
【答案】
【解析】建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线解析式为，
把和代入得，，解得：，
∴抛物线解析式为，
把代入得：，
则水面的宽度是米．
15. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交于点E，则的长为_____________．
【答案】
【解析】如图所示：连接、、，
∵，∴是直径， ∴，
根据网格图形可知：
， ，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴所对的圆心角是90°，
∴的长为以为直径的圆周长的，
即．
16. 如图在中，，，将绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°），得到，设交边于D，连结，若是等腰三角形，则旋转角α的度数为_____.
【答案】或
【解析】∵绕C点逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∴，
根据三角形的外角性质，，
是等腰三角形，分三种情况讨论，
①时，，无解，
②时，，
解得，
③时，，
解得，
综上所述，旋转角α度数为或.
故答案为：或.
三．解答题（共7小题）
17. 用指定的方法解方程：
(1) (因式分解法)
(2) (公式法)
解：（1）∵(y﹣3)2+3(y﹣3)+2＝0，
∴(y﹣3+1)(y﹣3+2)＝0，
即(y﹣2)(y﹣1)＝0，
则y﹣2＝0或y﹣1＝0，
解得：y＝2或y＝1；
（2）方程整理为一般式得x2﹣3x﹣8＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣8，
∴△＝(﹣3)2﹣4×1×(﹣8)＝41＞0，
则x＝．
18. 如图，在矩形中，点E是线段AD上的一点，且，连接CE，设．
（1）尺规作图：将线段绕点B逆时针旋转α得到线段，连接交于点H，连接；
（2）试判断与的数量关系，并给予证明．
解：（1）如图所示，即为所求；
（2），
证明：过点作的垂线，如图，
将线段BA绕点B逆时针旋转α得到线段，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
又∵，
，
，
在和中，，
，
．
19. “五一”小长假期间，小明和小华都准备在玉溪市的玉溪汇龙生态园（记为A）、通海秀山公园（记为B）、磨盘山国家森林公园（记为C）、易门龙泉国家森林公园（记为D）这四个景点中任选一个去游玩，每个景点被选中的可能性相同．
（1）求小明去通海秀山公园的概率；
（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都去玉溪汇龙生态园的概率．
解：（1）小明去通海秀山公园的概率为：；
（2）画出树状图如图：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中小明和小华都去玉溪汇龙生态园的情况只有1种，∴．
20. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E是AB边上的一个动点，连接CE，点F在边AB的延长线上，且BF＝BE，连接DF交CE于点G，连接BG．
（1）当点E是AB的中点时，求CE的长；
（2）在（1）的条件下，求BG的长；
（3）当BG时，请直接写出线段AF的长．
解：（1）如图，连接，
∵四边形是菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，
∴,是等边三角形，
，
∵是AB的中点
∴，
在中，
（2）四边形是菱形
在与中， ，
，，
，，
在中，，
.
（3）如图，延长交于点，连接，连接，
四边形是菱形
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
中，，
，
中，，
BG，，
，，，
.
21. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∠A＝90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．
（1）求∠EOD的度数；
（2）若r＝2，求阴影部分的面积．
解：（1）∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．
∴，
∠B＝60°，
，
（2）如图，连接，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
的半径为r＝2，则，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分面积等于
．
22. 如图，点是直线与反比例函数图象的两个交点，轴，垂足为点已知，连接．
求反比例函数和直线的表达式：
和的面积分别为求．
解：由点在反比例函数图象上，
反比例函数的解析式为
将点代入得
设直线的表达式为
解得
直线的表达式为；
由点坐标得点到的距离为
设与轴的交点为可得如图：
由点知点到的距离分别为，3
.
23. 如图1，用长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设垂直于墙的一边长为，平行于墙的一边长为．
（1）直接写出y与x满足的函数关系式及x的取值范围________________________；
（2）求菜园面积S的最大值；
（3）如图2，在菜园内修建两横一竖且宽均为的小路，其余部分种菜，若种菜部分的面积随x的增大而减小，则a的取值范围为___________．
解：（1）
由，
，
；
答案为：（） ．
（2），
，
∵，
∴开口向下，
∵对称轴为，
∴当时，S随x增大而减小，
∴当时，S有最大值，最大值为448；
（3）菜地的宽，菜地的长为，
菜地面积S=，
，抛物线开口向下，
种菜部分的面积随x的增大而减小，由，
为此抛物线的对称轴x=，
∴，
∴，
∴．