2023-2024学年浙江省宁波市海曙区九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市海曙区九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题有10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 抛物线的顶点坐标是( )
A. （3，1）B. （3，﹣1）
C. （﹣3，1）D. （﹣3，﹣1）
【答案】A
【解析】抛物线的解析式为：，
其顶点坐标为：．
故选：A．
2. 如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是( )

A. AB. BC. CD. D
【答案】B
【解析】A、顺时针，连续旋转60度，三次即可得到．
B、不能作为“基本图案”．
C、旋转180度，即可得到．
D、旋转60度即可．
故选：B．
3. 下列判断正确的是（ ）
A. “打开电视机，正在播NBA篮球赛”是必然事件
B. “掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每掷硬币2次就必有1次反面朝上
C. 一组数据2，3，4，5，5，6的众数和中位数都是5
D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】D
【解析】A. “打开电视机，正在播NBA篮球赛”是随机事件，故本选项错误；
B. “掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示进行大量重复试验时，硬币正面朝上的次数是总次数的，而并不表示每掷硬币2次就必有1次反面朝上，故本选项错误；
C. 一组数据2，3，4，5，5，6的众数是5，中位数是4.5，故本选项错误；
D. 因为，所以乙组数据比甲组数据稳定，故本选项正确．
故选：D.
4. 如图，AB为的直径，，，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】如图，连接，

，
是直角三角形，且
是等边三角形
是直径，
故选D
5. 半径为5，圆心A的坐标为，点P的坐标为，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在上B. 点P在内
C. 点P在外D. 点P在上或外
【答案】A
【解析】∵圆心A的坐标为，点P的坐标为，
，
∵半径为5，
∴点P点圆心的距离等于圆的半径，
∴点P在上．
故选：A．
6. 如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F．已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵AC＝3，CE＝4，
∴AE=7，
∵a∥b∥c，
∴．
故选：C．
7. 如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，
∵AE=2，BE=，AB=5，
∴AE2+BE2=AB2，
∴△ABE是直角三角形，
∴sinA=，
故选A．
8. 已知圆锥的母线长13，圆锥的高12，则这个圆锥的侧面积是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】可设圆锥底面半径长为，
∵，，
由勾股定理得，
圆锥侧面展开图的面积，
所以圆锥的侧面积为．
故选：B．
9. 如图，二次函数的图象与轴负半轴相交，其顶点为下列结论：
①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】如图．
①抛物线开口向上，则．
抛物线与轴交于负半轴，则，
所以，．
故①正确；
②根据抛物线与轴的一个交点是，，对称轴知，抛物线与轴的另一个交点是，，则当时，，即．故②正确；
③根据图示知，当时，，即．故③错误；
④根据图示知，对称轴，则，所以．故④正确；
⑤由图示知，抛物线的顶点为，则，所以．故⑤正确．
综上所述，正确的结论有①②④⑤，共有4个．
故选：D．
10. 如图，正方形的边长为6，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，在上滑动，同时点F在上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点M所经过的路线长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵M是线段的中点，
∴，
∴M在以B为圆心，以的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段的中点为M的终点位置，即线段的中点M所经过的路线长即为，
当Q与A重合时，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∴，
同理可求得，∴，
∴线段的中点M所经过的路线长，
故选B．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题5分，共30分）
11. 已知4a＝3b，则＝________________．
【答案】
【解析】∵4a＝3b，
∴
故答案为：．
12. 若抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，则线段AB的长为______．
【答案】4
【解析】当y＝0时，＝0，
解得：x＝5或1，
∴点A（5，0）和点B（1，0），
∴线段AB的长＝5-1＝4．
故答案为：4．
13. 如图，四边形为圆内接四边形，若，则________．
【答案】
【解析】∵四边形为圆内接四边形，，
∴，
故答案为：.
14. 一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的n个红球，18个黄球，9个白球，现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，由此可以估算的n值是_____．
【答案】33
【解析】由题意可得：，
解得：n＝33，
经检验，n=33是原方程的解.
故答案：33．
15. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与面积比是______．
【答案】
【解析】，，
，，
以原点为位似中心放大后得到，
，
与的相似比是，
与的面积的比是．
故答案为：．
16. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝10，∠ABC＝∠DAC，则AC长为_____．
【答案】
【解析】连接CD，如图所示：
∵∠ABC=∠DAC，
∴，
∴AC=CD，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=10，
∴AC=CD===5，
故答案为5．
三、解答题（本大题有8小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
（1）求点B到AD的距离；
（2）求塔高CD（结果用根号表示）．
解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，
∵AB=40m，∠A=30°，
∴BE=AB=20m，
即点B到AD的距离为20m．
（2）在Rt△ABE中，
∵∠A=30°，
∴∠ABE=60°．
∵∠DBC=75°，
∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°．
∴DE=EB=20m．
又∵m，
∴AD=AE+EB=20+20=20（+1）．
在Rt△ADC中，∠A=30°，
∴DC=AD=10+10．
答：塔高CD为（10+10）m．
18. 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
① 当时， ；② 当时，
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.

解：（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴,BD=8÷2=4，
∴．
②如图1，

当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴
（2）如图2，

当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
（3）①如图3，

∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，

∵AC=，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE==2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
由（2），可得
，
∴BD=．
综上所述，BD的长为或．
19. 如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点.
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
解：（1）∵四边形是矩形，
∴，，
由旋转性质，得：，，
∴，，
∵在矩形中，，∴，
在和中，，∴，
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即的度数为．
20. （1）解方程：；
（2）计算：．
解：（1），
∴，
∴，
∴；
（2）
．
21. 晋中市第六届运动会在寿阳举办，一中的“体育达人”张飞在“跳远”、“100米”、“200米”、“400米”四个项目中成绩都非常出色．
（1）张飞同学如果任选一项参赛，选准“跳远”的概率为多少？
（2）运动会主委会规定最多只能参加两项，用画树状图或列表的方法，求张飞同学选准“跳远”和“100米”的概率．
解：（1）张飞抽到四个项目的机会均等，∴选准“跳远”的概率为．
（2）列表如下：
总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，而选准“跳远”和“100米”比赛的有两种情况，∴．
22. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．
证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，∴AE=ED；
（2）∵OC⊥AD，∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴ =．
23. 如图，已知正比例函数的图象与抛物线相交于点．
（1）求与的值；
（2）若点在函数的图象上，抛物线的顶点是，求的面积；
（3）若点是轴上一个动点，求当最小时点的坐标．
解：（1）把点的坐标代入中，得，
．
把点的坐标代入，
得；
（2）把点的坐标代入中，得，
，
抛物线的顶点的坐标是，
，
；
（3）设点关于轴的对称点为，则的坐标为，连接交轴于点，此时最小，
设直线的解析式是，
把，的坐标代入，得，解得：，
，
当时，，
点的坐标是．
24. 如图，在矩形ABCD中，，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
（1）若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
（2）试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
（3）连接CP，若，，求线段BE和CP的长．
解：（1）∵，BC＝8，E是BC中点，
∴AB=12，BE=4，
设BF=x，则AF=12-x，
由矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处得EF=AF=12-x，
在Rt△BEF中，，
可得，
解得，∴BF= ；
（2），，
理由如下：∵矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，
∴A、E关于FG对称，∴GF⊥AE，
过点G作GM⊥AB于点M，如图：
∵AE⊥GF，
∴∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AFO=90°，∠AFO+∠FGM=90°，
∴∠BAE=∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴，
∵∠AMG=∠D=∠DAM=90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM=AD，
∴；
（3）过点P作PN⊥BC交BC的延长线于N，如图：
由，设BE=3k，则BF=4k，
EF=AF=5k，AB=9k，
∵，，
∴AE=，
∴，
∴k=1或-1（舍），
∴BE=3，AB=9，
∵BC:AB=2:3，
∴BC=6，
∴BE=CE=3，AD=PE=BC=6，
∵∠EBF=∠FEP=∠PME=90°，
∴∠FEB+∠PEN=90°，∠PEN+∠EPN=90°，
∴∠FEB=∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴，
∴，
∴，，
∴CN=EN-EC=，
∴，
∴BE=3，CP= ．第一次
第二次
跳远
100米
200米
400米
跳远
（跳、100）
（跳、200）
（跳、400）
100米
（100、跳）
（100、200）
（100、400）
200米
（200、跳）
（200、100）
（200、400）
400米
（400、跳）
（400、100）
（400、200）