2023-2024学年四川省成都市高新技术产业开发区九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年四川省成都市高新技术产业开发区九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A卷（共100分）
第I卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．）
1. 下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．因此，
A、圆柱的主视图与俯视图都是矩形，错误；
B、正方体的主视图与俯视图都是正方形，错误；
C、圆锥的主视图是等腰三角形，而俯视图是圆和圆心，正确；
D、球体主视图与俯视图都圆，错误．
故选C．
2. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、不是反比例函数，选项A不符合题意；
B、是反比例函数，选项B符合题意；
C、不是反比例函数，选项C不符合题意；
D、不是反比例函数，选项D不符合题意；
故选：B．
3. 在中，，，，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，，，
则，
故选：A．
4. 如图，路灯距离地面7.5米若身高1.5米的小明在距离路灯的底部（点O）8米的A处，则小明的影子AM的长为（ ）
A. 1.25米B. 2米C. 4米D. 6米
【答案】B
【解析】如图，根据题意，得△MBA∽△MCO，
∴，∴即，
解得AM＝2．
则小明的影子AM的长为2米．
故选B．
5. 在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.5，由此可估计袋中红球的个数为（ ）
A. 12个B. 10个C. 8个D. 6个
【答案】B
【解析】设盒子中有红球个，
由题意可得：，解得：，
故选：B．
6. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月平均增长率．设该公司11，12两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 2500（1+x）2＝9100
B. 2500（1+x）（1+2x）＝9100
C. 2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝9100
D. 2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
【答案】D
【解析】设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100，
故选：D．
7. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A. 抛物线的对称轴为直线
B. 抛物线的顶点坐标为
C. ，两点之间的距离为
D. 当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【解析】∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴，∴，
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当时，，即，∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
8. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为x轴上的一点，将绕点O按顺时针旋转60°至，反比例函数的图象经过点B，过A作交反比例函数图象于点C，若的面积为，则k的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过B点作于E点，如图，
根据旋转的性质可得：，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴中，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴，
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 已知，则___________．
【答案】
【解析】由条件得：，则，
故答案：．
10. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为_________．
【答案】2021
【解析】，是方程的两个实数根，
，，
．
11. 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到对应函数图象的解析式为__________．
【答案】
【解析】将二次函数化为顶点式为：，
将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为，
故答案为：．
12. 已知点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，那么y1_____y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【答案】＞
【解析】∵反比例函数y＝中k＝2＞0，
∴在同一个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
13. 如图，在中，是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交DB于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________．

【答案】
【解析】根据作图可得，
∴，
∴，
∵与四边形的面积比为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）解方程：；
（2）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，是否存在实数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
解：（1），
，
，
，
解得：；
（2）根据题意，，
∴，
∴，
经检验，是方程的根，且符合题意，
即．
15. 为了发扬中国航天精神，在中国航天日纪念活动中，学校举行班级歌咏比赛．将分别写有《飞天》《仰望星空》《祖国不会忘记》和《不忘初心》歌名的4张卡片，由一班和二班随机抽取．一班先从中随机抽取1张，放回后再由二班从中随机抽取1张．
（1）写出一班抽中歌曲《祖国不会忘记》的概率．
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，求出一班和二班抽中不同歌曲的概率．
解：（1）在4张卡片中随机抽取1张，
则一班抽中歌曲《祖国不会忘记》的概率是．
（2）根据题意，画树状图如下：
由图知，共有16种等可能的结果数，其中一班和二班抽中不同歌曲的有12种，
则一班和二班抽中不同歌曲的概率是．
16. 渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD，如图．在桥面上点处，测得到左桥墩的距离米，左桥墩所在塔顶的仰角，左桥墩底的俯角，求CD的长度．（结果精确到米．参考数据：，）

解：如图所示，上截取，使得，

∴，
∵
∴，
设，在中，，
∴
又
∴
∴
即米
17. 如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）如果是的中点，且，求的长．
（1）证明：如图所示，

∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：如图所示，

∵平分
∴
又∵，
则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，取的中点，连接，

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴
设，则，
∴
∵
∴
∴，,
∵，，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴到的距离相等，设为，在，设点到的距离为，
∴，
∴，
∴．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．

（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
解：（1）令，则，
∴点A的坐标为，
将点代入得：，
解得：，
∴，
将点代入得：，解得：，
∴反比例函数的表达式为；
（2）设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，

令解得：，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵直线l是的垂线即，，
∴，，∴，
设直线l的解析式是：，
将点，点代入得：，解得：，
∴直线l的解析式是：，
设点C的坐标是，
∵，(分别代表点B与点C的横坐标) ，
解得或6，
当时，；
当时，，
∴点C的坐标为或.
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与双曲线的另一个交点，
将直线l与双曲线的解析式联立得：，解得：或，
∴，
画出图形如下：

又∵
∴
∴
∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等，
设直线的解析式是：
将点代入得：
解得：
∴直线的解析式是：
∵点D也在双曲线上，
∴点D是直线与双曲线的另一个交点，
将直线DE与双曲线的解析式联立得：，
解得：或，∴，，
设直线的解析式是：，
将点，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是：，
又将直线的解析式与直线l的解析式联立得：，解得：，
∴点P的坐标为，
∴，，
∴.
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于______．
【答案】4
【解析】∵，∴，∴，
则
，
∵，
∴，
即代数式的最小值等于4，
故答案为：4．
20. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳___________名观众同时观看演出．（取3.14，取1.73）

【答案】184
【解析】如图，过点O作的垂线段，交于点，

圆心O到栏杆的距离是5米，
米，
，
，米，
，
，
，
可容纳的观众
阴影部分面积（人），
最多可容纳184名观众同时观看演出，
故答案为：184．
21. 若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是_________________．
【答案】﹣4或2
【解析】∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x，
∵，
①当1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，
∴﹣1﹣m＝3，解得：m＝﹣4；
②当2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，
∴﹣4+2m＝3，解得：m（舍去）．
③当﹣12，即﹣2＜m＜4时，当x时，函数最大值为3，
∴3，解得m＝2或m＝﹣2（舍去），
综上所述，m＝﹣4或m＝2，
故答案为：﹣4或2．
22. 如图，在中，，．点D、E分别在AB和AC边上，，把沿着直线DE翻折得，如果射线，那么______．
【答案】
【解析】过D作DM⊥AC于M，过B作BH⊥AC于H，
∵，，
∴，，，
∴
∴
过D作DG⊥EF交EF于N，交AC于G
∵把沿着直线DE翻折得，
∴DE平分，
∴,，
∵，
∴DG∥BC，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
23. 如图，分别经过原点和点的直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是________．
【答案】
【解析】如图：以为边向上作等边，过点C作轴于点E，则，则C的横坐标为2，纵坐标为，
∴，
取点，则是的中位线，
∴，
∵，
∴点B在半径为4的上运动，
∵是的中位线，
∴，
∴，当与相切时，最大，则正弦值最大，
在中，，
过点B作轴，过点C作于点F，过点D作于点G， 则，，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
设，,则,
∴,
∴
∴，解得：
∴,
∴的最大值为．
故答案为．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 某经销商经过市场调查整理出某种商品在2020年10月的第x天（1≤x≤30）的售价与销量的相关信息如表：
已知该商品的进价为50元/件．
（1）销售该商品第几天时，销售该商品的日销售利润为2280元；
（2）销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？
解：（1）由题意得：（x+60﹣50）（200﹣5x）＝2280，解得：x1＝2，x2＝28，
∴销售该商品第2天或第28天时，日销售利润为2280元；
（2）设日销售利润为W元，由题意得：
W＝（x+60﹣50）（200﹣5x）＝﹣5（x﹣15）2+3125，
∵﹣5＜0，抛物线开口向下，∴当x＝15时，W取得最大值，最大值为3125元．
∴销售该商品第15天时，日销售利润最大，最大日销售利润为3125元．
25. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线解析式及，两点坐标；
（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线与x轴交于，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，，
解得：，
∴.
（2）∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
（3）如图所示，作交于点，为的中点，连接，

∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则，
解得：（舍去），∴点，
设直线的解析式为，∴，解得：
∴直线的解析式，
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
26. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．

【初步感知】
（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）
【拓展运用】
（3）如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．
（1）证明：如图，连接，

当时，，即，
，
，，,
，，即，
，
，
在与中，，
，
，
；
（2）①
证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，

当时，，即，
是的中点，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
根据（1）中的结论可得，
；
故线段之间的数量关系为；
②解：当点F在射线上时，
如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，

同①，可得，
，，
，，
同①可得，
，
即线段之间数量关系为；
当点F在延长线上时，
如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，连接

同（1）中原理，可证明，
可得，
，，
，，
同①可得，
即线段之间数量关系为,
综上所述，当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，；
（3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，

如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点，

，
，，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
根据（2）中的结论，
，
，
，
，
，
．售价（元/件）
日销售量（件）
x+60
200﹣5x