2023-2024学年浙江省宁波市江北区九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市江北区九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 二次函数的最小值是（ ）
A. B. -2C. 1D. 2
【答案】B
【解析】，
，抛物线开口向上，二次函数有最小值，
当x=-1时，，故选：B．
2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 明天我市下雨
B. 抛一枚硬币，正面朝下
C. 购买一张福利彩票中奖了
D. 掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零
【答案】D
【解析】必然事件就是一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，由必然事件和随机事件的定义可知，选项A，B，C为随机事件，选项D是必然事件，
故选D．
3. 已知，，是，的比例中项，那么为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】是、的比例中项，，解得：．
故选：D．
4. 如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，则与的面积之比是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵与是位似图形，点为位似中心，，
∴与的相似比为，
∴与的面积之比是；
故选D．
5. 已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】正多边形的一个外角等于，且外角和为，
则这个正多边形的边数是：，
故选C．
6. 如图，在直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（ ）
A. h=mB. k= n
C. k>nD. h>0，k>0
【答案】B
【解析】根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），
因为点（h，k）在点（m，n）的上方，所以k＞n，k=n不正确．故选B．
7. 如图，在四边形中，以为直径的恰好经过点，，交于点，已知平分，，，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，连接OC
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，∠DAB=2∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵∠BOC=2∠CAB，∴∠BOC=∠DAB，∴AD∥OC，
∴△OCE∽△DAE，∴，
故选D．
8. 如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）
A. 11米B. （36﹣15）米
C. 15米D. （36﹣10）米
【答案】D
【解析】过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
∴BE＝30×tan30°＝10（米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．
∴甲楼高为（36﹣10）米．
故选D．
9. 设k为非负实数，且方程的两实数根为a，b，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】由题意可知，此方程有两个非负实数根，
∴，解得或，
∵k为非负实数，
∴．
∵方程的两实数根为a，b，
∴，，
∴
，
∵当时，随k的增大而增大，
又，
∴当时，有最小值，为，
∴的最小值为2．
故选：C
10. 如图，是的弦，点是上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，，，则弦的长（ ）
A. 与，， 的值均有关B. 只与， 的值有关
C. 只与 的值有关D. 只与， （或，）的值有关
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共30分）
11. 有5张扑克牌，牌面朝下，随机抽出一张记下花色后放回，洗牌后再这样抽，经历多次试验后，得到随机抽出一张牌是红桃的频率是0.2，则红桃大约有 _______张．
【答案】1
【解析】设红桃大约有x张，
根据题意有：，
解得：，
故答案为：1．
12. 若一个三角形的三边之比为，且周长为厘米，那么这个三角形的面积为 ___________. .
【答案】
【解析】设三边的长是厘米，厘米，厘米，
则，
解得：，
则三边长是，，．
∵
∴三角形是直角三角形，
∴三角形的面积是（cm）
故答案为：
13. 若二次函数的图像经过（2，0），且其对称轴为直线x=-1，则当函数值y>0成立时，x的取值范围是________.
【答案】
【解析】如图所示：∵图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，
∴图象与x轴的另一个交点为：（﹣4，0），
则使函数值y＞0成立的x的取值范围是：﹣4＜x＜2．
14. 如图，，，以为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，为半径作弧，过点O作的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是______．

【答案】
【解析】如图，连接，．

，，以为直径作半圆，圆心为点；以点为圆心，为半径作弧，
，，，，
，
是等边三角形，
．
又，
．
在中，，，
，
，
故答案为：．
15. 若锐角满足，求＝_____度
【答案】或
【解析】，
因式分解，得，
∴或，
∴或．
故答案为：45或60．
16. 有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则的长_______________________．
【答案】
【解析】由题意得：，
，
，
，
在和中，，
，
，
设，则，
，解得，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
即，
故答案为：．
三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 全国文明城市是指全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市，2021年是第七届创城周期第一年，为此我市各校积极参与创建活动，自发组织开展文明劝导活动，某中学九（1）班为此制作了大小、形状、质地等都相同的“文明劝导员”胸章和“文明监督员”胸章各2枚，现将4枚胸章放入不透明的盒中．
（1）该班级的一名“文明劝导员”要从盒中抽取一枚胸章，求该同学抽取的胸章与其相配的概率为______；
（2）“文明劝导员”小新和“文明监督员”小华同时从盒中各抽取一枚胸章，试用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求出小新和小华抽取的胸章恰好同时与其身份匹配的概率．
解：（1）该班级的一名“文明劝导员”要从盒中抽取一枚胸章，该同学抽取的胸章与其相配的概率为；
（2）把2枚“文明劝导员”胸章分别记为A、B，2枚“文明监督员”胸章分别记为C、D，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，小新和小华抽取的胸章恰好同时与其身份匹配的结果有4种，
∴小新和小华抽取的胸章恰好同时与其身份匹配的概率为．
18. 已知二次函数.
（1）求图象与两坐标轴的交点坐标；
（2）直接写出当取何值时，？
（3）直接写出当时，求的取值范围．
解：（1），与轴交于，
令得.解得：，，
∴抛物线与轴交点为，1,0
（2）如图，∵抛物线与轴交点为，1,0
∴当时，或；
（3）如图，∵=2（x+1）2-8
∴当x=-1时，y最小值为-8
当x=-4时，y=2（-4+1）2-8=10
∴当时，求取值范围为．
19. 已知：如图，在中，，M是BC的中点，于点E，交BA的延长交于点D．
求证：（1）；
（2）.
证明：（1），，
．
，
，
．
是的中点，
，
．
．
，
，
，
；
（2），
，
，，
，
．
20. 如图，正六边形内接于．

（1）若是上的动点，连接，求的度数；
（2）已知的面积为．
求的度数；
求的半径．
解：（1）如图所示，在取一点，连接 ，

∵六边形是正六边形，
∴ ，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，，
∴，
∴，
即的半径为．
21. 2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，）
解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，
∴OA=，
Rt△中，，cm，
∴cm．
22. 某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
（1）【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点处，当∠BEF＝25°，则∠FE ＝_____°．
（2）【特例探究】如图2，连接DF，当点恰好落在DF上时，求证：AE＝2 F．
（3）【深入探究】若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，他们发现AE与F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与F之间的数量关系式．
（4）【拓展探究】若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变，他们发现AE与F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
（1）解：由题意可得：
∴，
由折叠的性质可得：，
∴
故答案为：25
（2）证明：由折叠的性质可得，，，，
∴
由题意可得：，
∴，
∴
又∵，
∴（AAS）
∴，即E为AB的中点，
由三角函数的定义可得：，，
∵，
∴，即，∴
（3）解：，理由如下：
由（2）可得，E为AB的中点，
又∵AD＝mAB，
，
由三角函数的定义可得：，
∵，
∴，即，
∴
（4）解：，理由如下：
在AB上截取BG，使得BG=BF，连接GF，在FD上截取FH，使得FH=BF，连接EH，如下图：
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
由题意可得：，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（SAS）
∴，，
又∵
∴，
∴为等边三角形，
∴
设，，则，
∵，
∴
∴，即
解得，负值已舍去
，
∴．
23. 抛物线与轴交于点，（在左边），与轴交于点．
（1）直接写出，，点的坐标；
（2）如图，在第三象限的抛物线上求点，使；
（3）如图，点为第一象限的抛物线上的一点，过点作交抛物线于另一点，交轴于点，且满足，求的解析式．
解：（1）对于，令，解得或1，令，则，
故点A、、的坐标分别为、、；
（2）延长交轴于点，过点作交轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，设，则，
在中，，，，
由勾股定理得：，解得；
∴，
∵，故设直线的表达式为，
将点A的坐标代入上式得：，
联立，解得 ：（不合题意的值已舍去），
故点的坐标为；
（3）过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，
∵，
∴，
∵，
∴和相似比为2：3，
即，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
由点A、的坐标得，直线的表达式为，
联立可得：，故，
同理可得，直线的表达式为，
同理可得，，
∵=-4，=1，
∴，
又∵，解得，，
∴点、的坐标分别为、，
由、的坐标得，直线的表达式为：．