2024-2025学年安徽省亳州市涡阳县四校联考九年级上学期12月期末数学试卷（解析版）

这是一份2024-2025学年安徽省亳州市涡阳县四校联考九年级上学期12月期末数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 已知，则下列比例式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，，
∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意．
故选：B．
2. 抛物线的顶点落在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】∵，
∴顶点坐标为：，
∴顶点坐标落在第一象限；
故选A．
3. 已知为锐角，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∴，
故选：D．
4. 在中，，若，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵csB=cs（90°-A）=sinA=，
故选C．
5. 在中，， ，则的值为（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】A
【解析】由题意，
则，得
，
．
故选：A．
6. 若是锐角，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，，且，
∴；
故选A．
7. 直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC．
∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF．
在△BCE与△ACF中，∵∠EBC=∠ACF，BC=AC，∠BCE=∠CAF，
∴△BCE≌△CAF（ASA）．
∴CF=BE=3，CE=AF=4．
在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，
∴，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF．
∴，解得．
在Rt△BCD中，∵，BC=5，
∴．
故选C．
8. 如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点到旗杆的距离，测得旗杆的顶部的仰角，旗杆底部的俯角，那么，旗杆AB的高度是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在△EBC中，有BE=EC×tan45°=8，
在△AEC中，有AE=EC×tan30°=,∴AB=8+.
故答案是：D.
9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点，则的值为（ ）

A. 2B. C. 3D.
【答案】A
【解析】如解图，连接交CD于点，

∵四边形是正方形，
∴CD，，，，
∴，
根据题意，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴
故选：A
10. 在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．若抛物线与线段有两个公共点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵点坐标为点坐标为．
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴，
如图所示，当抛物线在线段上方，且与只有1个交点时，
联立，
∴，即，
∴，
解得：，
当抛物线经过点时， ，
解得：；
∴当抛物线与线段有两个公共点时，．
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：___________．
【答案】
【解析】根据特殊角的三角函数值知：，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______．
【答案】
【解析】过点作轴，则：
∴，即：，
∴；
故答案为：．
13. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，若与的面积之差为5．则的值为______．
【答案】10
【解析】∵和都是等腰直角三角形，
∴，
设，则点B的坐标为，
∵与的面积之差为5，∴，即：，
∵反比例函数在第一象限的图象经过点，∴；
故答案为：10．
14. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点，交对角线于点．
（1）线段的长为________；
（2）________．
【答案】
【解析】（1）如图，连接．
∵四边形矩形，，
∴，．
∵是的中点，
∴．
在中，由勾股定理得．
在矩形中，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2）如图，延长交于点．
在中，，
∴．
∵，，
∴，
∴，∴，∴，∴．
∵，∴，∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
解：原式．
16. 已知反比例函数（为常数）．
（1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围；
（2）当时，随的值增大而减小，求的取值范围．
解：（1）∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，解得，
∴的取值范围是；
（2）∵反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小，
∴，解得，
∴的取值范围是．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知：如图，沿江堤坝的横断面是梯形．坝高，斜坡的坡度，，求和的长．
解：过点作，垂足为，
则四边形是矩形，
则，
∵斜坡的坡比，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
答：斜坡、的长分别是，．
18. 如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点、、的坐标依次为、、．

（1）请以原点为位似中心，在第一象限内作出位似图形，与相似比为；
（2）在网格中找出点，使其满足以下两个条件，，②．
解：（1）如图，延长至格点，使，延长至格点，使，延长至格点，使，然后连接，，即可；

∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∴即为所求；
（2）如图，取格点，连接即可，

由网格可知：，，，
∴，
∴，
∴，
∴点即为所求．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知：如图，在中，．

（1）求证：；
（2）若，求的值．
解：（1）在中，，

∴，.
∴，
又，由勾股定理得，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴ ，
∴．
20. 如图，在中，高线、交于点．

（1）求证：；
（2）若，，，求．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
六、解答题（本题满分12分）
21. 2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员顺利进入太空．如图，这是某同学绘制的模拟火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为．后火箭到达点，此时测得仰角为．（参考数据：，，，，，）
（1）求地面雷达站到发射处的水平距离；
（2）这枚火箭从处到处的平均速度是多少？（（1）、（2）结果精确到0.1）
解：（1）在中，，
答：雷达站到发射处的水平距离为；
（2）在中，，
在中，，
∴，
∴速度为，
答：这枚火箭从到的平均速度为．
七、解答题（本题满分12分）
22. 如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为6米，宽为12米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．

（1）求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽2米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆？请通过计算说明；
（3）如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点，在地物线上，点，在上，求出所需的三根“光带”，，的长度之和的最大
解：（1）∵，．
∴设这条抛物线的函数解析式为，
∵抛物线过O0,0，
∴，解得，
∴这条抛物线的函数解析式为，
即；
（2）当（或）时，．
故能行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆．
（3）设点的坐标为，
则，，
根据抛物线的轴对称，可得：，
∴，即，
令，
，
∴当，即米时，三根木杆长度之和的最大值为15米．
八、解答题（本题满分14分）
23. 如图1，在等边中，，点，为平面内的点，且满足，，为的中点，为的中点．

（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）若，求的长．
解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴；
（2）如图1，连接，；

图1
∵，，
∴为等边三角形；
∵点，分别是和中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）①如图2，过点作，与的延长线交于点，

图2
∵，，∴四边形是矩形，
∴，，
又∵，∴，
∴，
②如图3，过点作，与交于点，

图3
由①得，
∴，
综上：当时，或．