2023-2024学年浙江省宁波市九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】抛物线的顶点坐标是，
故选：A.
2. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，则的长为（ ）
A. 6B. 9C. 10D. 25
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∴，
故选B．
3. 如图，在中，，，，则（ ）
A B. C. 4D.
【答案】B
【解析】在中，，，，
，，
解得：，
，
故选：B．
4. 如图，弦CD与直径AB相交，连接BC、BD，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（ ）
A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°
【答案】C
【解析】连接AC，如图所示：
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BDC＝∠A＝40°；
故选：C．
5. 小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，
∴小华获胜的概率是：=．
故选：A．
6. 已知点A（﹣3，a），B（﹣2，b），C（1，c）均在抛物线y＝3（x+2）2+k上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. c＜a＜bB. a＜c＜bC. b＜a＜cD. b＜c＜a
【答案】C
【解析】函数的对称轴为：x＝﹣2，
a＝3＞0，故开口向上，
x＝1比x＝﹣3离对称轴远，故c最大，b为函数最小值，
故选：C．
7. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意做出示意图，则，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴（负值舍去）．
故选：B．
8. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，
∴=，
故选A．
9. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A. y=﹣B. y=﹣C. y=﹣D. y=
【答案】C
【解析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∵=tan30°=，
∴，
∵×AD×DO=xy=3，
∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=﹣．
故选C．
10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】①∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，∴>0
∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴，∴，
由图象得，当时，，
∴
∴，故③正确；
④当时，的值最大，
∴当时，>，
∴（），
∵b＞0，
∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A.
二、填空题（每小题5分，共30分）
11. 已知，那么=________．
【答案】﹣
【解析】∵，
∴b=，
把b=代入中，可得：
故答案-．
12. 学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为___________．
【答案】
【解析】列表如下三辆车分别用1，2，3表示：
所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，
则，
故答案为：．
13. 如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，母线长，则侧面展开图的圆心角的度数为______．
【答案】
【解析】圆锥的侧面积公式为
将，代入公式得：
代入数据解得：
故答案为．
14. 如图所示的网格是边长为1的正方形网格，，，是网格线交点，则____．
【答案】
【解析】如图，作AD⊥BC于D点，则△ABD为直角三角形，
其中，AD=3，BD=4，由勾股定理可得AB=5，
∴，
故答案为：．
15. 有一个开口向下的二次函数，下表是函数中四对x与y的对应值．
若其中有一对对应值有误，则对于该二次函数，当时，x的取值范围是____________．
【答案】或
【解析】由表可知：时y的值小于当、1、2时y的值，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线必为先递增再递减，即函数值随x的增大先增大再减小，
∴时y的值错误数据；
又∵和2时y的值相等，
∴抛物线对称轴为，
∴根据对称性可知：和3时，函数值相等，为，
∴当时，或，
故答案为：或．
16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．
【答案】
【解析】连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17. （1）计算：．
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标．
解：（1）原式；
（2）当时，，
∴，，
∴与x轴的交点为和．
18. 某学校开展会员核酸检测，设立了，，三个检测小组．
（1）学生甲随机选择一个小组进行核酸检测，则他选择组的概率为______．
（2）学生乙、丙分别选择一个小组进行核酸检测，求乙、丙在同一小组的概率（用树状图或列表法分析）．
解：（1）总共有三组，
∴甲选的概率为：
（2）树状图如下
∴乙、丙在同一小组核酸检测的概率
或列表法（如图）．
19. 如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着仰角为30°的山坡前进1000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，求山的高度？
解：过点D作DF⊥AC．
∵∠BAC=45°，∠DAC=30°，
∴∠BAD=15°．
∵∠BDE=60°，∠BED=90°，
∴∠DBE=30°．
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=15°，
∴∠ABD=∠DAB，
∴AD=BD=1000．
∵AC⊥BC，DE⊥AC，DE⊥BC，
∴∠DFC=∠ACB=∠DEC=90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∴DF=CE．
在Rt△ADF中，
∵∠DAF=30°，
∴DF=AD=500，
∴EC=500，BE=1000×sin60°=，
∴BC=500+米．
答：山的高度为（500+）米．
20. 如图中，，在BC上取一点D使，连结AD，作的外接圆，交AB于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求AC的长．
解：（1）连结DE，∵，
∴AD为直径，∴，
∵，∴（三线合一）
（2）设，则，
∵，
∴
∴，
∴，得（取正值）．
∴，
∴根据勾股定理得：
21. 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）
解：（1）由题意，得：
，
，
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得：，
解这个方程得：，，
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．
（3），抛物线开口向下，当时，，
，当时，，
设成本为（元，由题意，得：，
，随的增大而减小，当时，，
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．
22. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
解：（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，
所以反比例函数解析式为，
把B（n，﹣4）代入，得﹣4n=﹣8，
解得n=2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：，
所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，
即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×2×2+12×2×4=6；
（3）由图可得，不等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2．
23. （1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空：
①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______．
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．
解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵，
∴，
设交于点O，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
（2）结论：， ．理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，∴ ，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．

（1）求抛物线的表达式；
（2）是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）若点在抛物线对称轴上，点为任意一点，是否存在点、，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出，两点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）当时，，
，
当时，，
∴，
，
∵对称轴为直线，
，
∴设抛物线的表达式：，
，
，
抛物线的表达式为：；
（2）如图1，作于F，交于E，
，，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
；
（3）设，
∵以A，，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
，
即：，
，
，
，
∵，，
，，
．
1
2
3
1
2
3
x
…
0
1
2
…
y
…
…