2025高考数学考点剖析精创专题卷六-不等式【含答案】

这是一份2025高考数学考点剖析精创专题卷六-不等式【含答案】，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，，记，，则M与N的大小关系是( )
A.B.C.D.无法确定
2．若a，b是任意实数，且，则( )
A.B.C.D.
3．定义，若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
4．某单位在对一个长，宽的矩形空地进行绿化，设计方案初步确定为：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度x（m）的取值范围为( )
A.B.C.D.
5．已知关于x的一元二次不等式的解集为，且实数，满足，则实数m的取值范围是( )
A.B.
C.或D.或
6．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是( )
A.B.或
C.D.或
7．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本，已知购买m台设备的总成本为（单位：万元）.若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备( )
A.100台B.200台C.300台D.400台
8．设，，且，则的最小值是( )
A.1B.2C.4D.8
二、多项选择题
9．不等式对任意的恒成立，则( )
A.B.C.D.
10．若，，且，则( )
A.mn的最大值为B.的最小值为5
C.的最小值为D.的最大值为
11．若a，b，，则下列命题正确的是( ).
A.若且，则B.若，则
C.若，则D.若且，则
三、填空题
12．已知实数x，y满足，，则的取值范围为___________.
13．已知不等式的解集是，则不等式的解集是__________.
14．已知，则的最小值为__________.
四、解答题
15．关于x的不等式的解集为或.
（1）求关于x的不等式的解集；
（2）求关于x的不等式的解集.
16．如图1所示为传统节日玩具之一——走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日.灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动.轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图象便不断走动，因剪的图象为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯.现打算做一个体积为的长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）.
（1）若底面大矩形的周长为，当底面边长为多少时，底面面积最大？
（2）若灯笼高为，现只考虑灯笼的主要框架（如图2），当底面边长为多少时，框架用料最少？
17．已知a，b，c均为正实数，求证：
（1）；
（2）.
18．为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元.
（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
（2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
19．书籍《见微知著》中谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有整体观察、整体设元、整体代入、整体求和等.
例如，已知，求证：.
证明：原式.
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长.”同理，我们有更多的式子满足以上特征.
请根据以上阅读材料解答下列问题.
（1）已知，求的值.
（2）若，解关于x的方程.
（3）若正数a，b满足，求的最小值.
参考答案与详细解析
一、选择题
1．答案：B
解析：因为，，所以，，所以，所以.
2．答案：C
解析：对于A，，因为，所以，但是a的符号不确定，所以A错误；对于B，因为，所以，但是a的符号不确定，所以B错误；对于C，由，得，所以C正确；对于D，当，时，满足，但，所以D错误.
3．答案：C
解析：方法一：等价于，即，所以，解得.
方法二：等价于，即.因为，所以，所以.
4．答案：B
解析：因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为，绿草坪面积为，总面积为.根据题意可得，整理得，解得或.由题意知解得，所以.故选B.
5．答案：D
解析：由不等式的解集，可得一元二次方程的根为，，则，，由，得或.由，得，即，解得或.综上，实数m的取值范围是或.
6．答案：D
解析：由两个正实数x，y满足，得，则，当且仅当，即时取等号.由不等式有解，得，解得或.
7．答案：B
解析：由题意，，当且仅当，即时，等号成立，所以应购买200台.
8．答案：A
解析：方法一：因为，，且，所以，，，当且仅当时取等号.
方法二：，当且仅当时取等号.
二、多项选择题
9．答案：ACD
解析：可整理为，
则，故A正确.
当，时，满足，即原不等式成立.B错误；
由，得，所以.C正确；
.D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABC
解析：
11．答案：BC
解析：对于A，取，，则不成立.
对于B，若，则，.
对于C，若，则，，.
对于D，若且，则，，而b可能为0，因此不正确.
三、填空题
12．答案：
解析：设，则
解得
.
，，
，，.
13．答案：或
解析：因为不等式的解集是，所以，且2和3是方程的两个根，由根与系数的关系，得解得
因为不等式，所以，即，解得或.
14．答案：
解析：因为，所以，，所以，当且仅当即，时，等号成立.
四、解答题
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为不等式的解集为或，
所以解得
所以不等式化为，解得，
所以所求不等式的解集为.
（2）由（1）知不等式可化为，
即，即，即，
解得，所以所求不等式的解集为.
16．答案：（1）40
（2）当长为，宽为时，用料最少
解析：（1）设大矩形的长为x，宽为y，
依题有，即，则底面面积，
当且仅当时，底面面积最大.
（2）依题有，
框架用料最少等价于底面用料为最小即可，，
当且仅当，即，时取等号，
故当长为，宽为时，用料最少.
17．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：左边，
当且仅当时取“=”.
故.
（2）证明：因为，当且仅当时取“=”，
所以，
所以，所以，①
同理，当且仅当时取“=”，②
，当且仅当时取“=”.③
，得，
当且仅当时等号成立.
18．答案：（1）75人
（2）存在实数m满足条件，且实数m的值为7
解析：（1）依题意可得调整后研发人员的人数为，年人均投入为万元，
则，解得，
又，，所以调整后的技术人员最多有75人.
（2）假设存在实数m满足条件.
由条件①，得，解得.
又，，所以当时，取得最大值7，所以.
由条件②，得，不等式两边同除以ax，
得，整理得，
因为，当且仅当，
即时等号成立，所以.
综上，得.
故存在实数m满足条件，且实数m的值为7.
19．答案：（1）1
（2）
（3）
解析：（1）由题意得.
（2）因为，所以原方程可化为，
即，
所以，即，解得.
（3）由题意得
.
因为，当且仅当，即，时，等号成立，
所以有最小值，此时有最大值，
所以有最小值，即M的最小值为
A
√
因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立.
B
√
，当且仅当时，等号成立.
C
√
，当且仅当，且，即，时，等号成立.
D
×
，当且仅当，即，时，等号成立.