广西桂林市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷(含答案)

这是一份广西桂林市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知向量,,则( )
A.B.C.D.
2．直线的斜率为( )
A.B.C.D.
3．根据如下两组数据,下列说法正确的是( )
A.X和Y呈正相关,M和N呈正相关
B.X和Y呈负相关,M和N呈负相关
C.X和Y呈正相关,M和N呈负相关
D.X和Y呈负相关,M和N呈正相关
4．方程表示一个圆,则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．已知双曲线的一条渐近线方程为,则( )
A.B.C.D.3
6．某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资,但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系,已知小孙的工作时间X（单位:小时）与工资Y（单位:元）之间的关系如表:
若Y对X的线性回归方程为,则m的值为( )
A.56.5B.58C.60D.62.5
7．设O为坐标原点,F为椭圆的左焦点,A是该椭圆上的点,且是正三角形,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知编号为的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球,其中1号口袋中有两个1号球,一个2号球和一个3号球;2号口袋中有两个1号球,一个3号球;3号口袋内有三个1号球,两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球,将取出的球放入与球同编号的口袋中,第二次从该口袋中任取一个球,下列说法不正确的是( )
A.第二次取到3号球的概率为
B.如果第二次取到1号球,则它来自1号口袋的概率最大
C.在第一次取到2号球的条件下,第二次取到1号球的概率是
D.如果将6个不同小球放入这3个口袋内,每个口袋至少放1个,则不同的分配方法有540种
二、多项选择题
9．抛物线的焦点为F,点P在C上,若.则点P的坐标为( )
A.B.C.D.
10．如图,已知四面体,点E,F分别是,的中点,下列等式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11．在某市某次质量检测联合考试中,考生有30000人,考生的数学成绩X服从正态分布.已知随机变量,若X与Y的方差相同,则下列结论正确的是( )附:若随机变量X服从正态分布,则,,.
A.
B.
C.
D.估计该市数学成绩在区间的考生约645人
三、填空题
12．的展开式中常数项是________.（用数字作答）.
13．小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是__________.
14．如图,正方体的棱长为3,点M满足,若平面经过点B,且平面,则平面截此正方体所得的截面的面积为________.
四、解答题
15．某学生对40名同学的饮食习惯进行了一次调查,其中甲组为女同学,乙组为男同学,调查的饮食指数结果如下:
甲组:
93,88,87,86,85,77,77,75,74,73,68,67,64,63,63,61,59,56,53,52,
乙组:
93,91,90,89,85,84,81,80,80,79,79,78,77,74,72,71,66,61,56,55,
（说明:饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数不低于70的人,饮食以肉类为主）
（1）根据以上数据完成下列列联表:
（2）是否有的把握判断同学们的饮食习惯与性别有关?
附:,.
16．已知直线l经过点,圆.
（1）若l经过圆C的圆心,求l的方程;
（2）若l与C相切,求l的方程.
17．如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,平面,,,点E为的中点.
（1）证明:;
（2）求点B到平面的距离;
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
18．设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测,路面检测合格后该车才可投入量产,这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II,两个环节至少通过一个才算实验室检测合格,且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型,现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为,,乙车通过I､II环节的概率分别为,,路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为,.
（1）求甲,乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率;
（2）设甲,乙两款车型可投入量产的种数为X,求X的分布列与均值.
19．已知双曲线的左,右焦点分别为,,C的右顶点满足.
（1）求C的方程;
（2）直线l与C恰有1个公共点,且与C的两条渐近线分别交于点M,N,设O为坐标原点:
①证明:M与N的横坐标的积为定值;
②求周长的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意,.
故选:C
2．答案：A
解析：直线可化为,
所以斜率为
故选:A
3．答案：D
解析：由所给数据可知,当X增大时Y减小,X和Y呈负相关;当M增大时和N增大,M和N呈正相关.
故选:D
4．答案：B
解析：由,得,
解得.
故选:B
5．答案：A
解析：由于双曲线的一条渐近线为,
所以,.
故选:A
6．答案：C
解析：由表格数据知:,,
由线性回归方程为,
,解得.
故选:C.
7．答案：B
解析：设椭圆另一焦点为,不妨设A在第二象限,连接,根据题意,作图如下:
因为为等边三角形,即可得:,
则,,
则,
由椭圆定义可知:,
故可得:.
故选:B
8．答案：C
解析：选项A:
设为“第1次在1号口袋中取i号球”,B为“第二次取号球”
则
,
故A选项正确.
选项B:
设C为“第二次取号球”,则
,
故,,
,
所以则它来自1号口袋的概率最大,B选项正确.
选项C:,所以C选项错误.
选项D:
将6个不同小球放入这3个口袋内,每个口袋至少放1个,
先将6个球分成3组,有,,三种分法.
对于,有种方法;
对于,有种方法;
对于,有种方法.
所以不同的分配方法共有种,D选项正确.
故选:C
9．答案：AB
解析：依题意,抛物线的焦点为,
准线方程为,
由于,根据抛物线的定义可知,
则,,
所以P的坐标为、.
故选:AB
10．答案：AC
解析：因为,故A正确;
因为,故B错误;
因为,故C正确;
因为,故D错误.
故选:AC
11．答案：ABD
解析：依题意,X服从正态分布,
所以,A选项正确.
随机变量,所以,
所以,,B选项正确.
,所以C选项错误.
,
估计该市数学成绩在区间的考生约人,D选项正确.
故选:ABD
12．答案：160
解析：二项式的展开式的通项公式为,
令,即,常数项为.
故答案为:160.
13．答案：0.8或
解析：根据题意，设小智第一盘获胜，小智第二盘获胜，
则，，则.
故答案为:0.8.
14．答案：
解析：依题意可知,正方体的棱长为3,
以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系,
由于,则,M为上靠近的三等分点,所以.
因为平面,,,所以,
则平面的一个法向量为.
设平面与棱的交点为E,设,则.
因为,即,可得.
又因为在棱上,,,代入可得,
解得,所以.
设平面与棱的交点为F,设,则.
因为,即,可得.
又因为F在棱上,,,代入可得,
解得,所以.
其中,,,.
,,,所以,所以平面与正方体的截面为四边形,
,,
,,所以四边形是等腰梯形,
高为,
所以面积为.
故答案为:
15．答案：（1）列联表见解析
（2）有95%的把握判断同学们的饮食习惯与性别有关
解析：（1）根据题目所给数据,填写列联表如下:
（2）,
所以有95%的把握判断同学们的饮食习惯与性别有关.
16．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意可得:圆的圆心为,半径,
因为直线l经过点,则直线l的斜率为,
所以l的方程为,即.
（2）当斜率不存在时,直线l的方程为,圆心到直线的距离为2,等于半径,符合题意;
当斜率存在时,设直线l的方程为,即,
因为l与C相切,则,解得,
所以l的方程为
所以直线的方程为或.
17．答案：（1）证明见解析
（2）4
（3）
解析：（1）连接,
依题意,底面为直角梯形,,平面,
以A为原点,,分别为x,y轴,与平行的方向为z轴,
建立如图所示空间直角坐标系,
,,,,
,,,
所以.
（2）,,,,
设平面的法向量为,
则,故可设,
所以点B到平面的距离为.
（3）,,设平面的法向量为,
则,故可设,
设平面与平面的夹角为,
则.
18．答案：（1）
（2）分布列见解析,
解析：（1）设事件A表示甲车通过实验室测试,事件B表示乙车通过实验室测试,
则,,
则甲、乙中恰有一款车进入路面测试的概率为:
;
（2）随机变量X可能的取值为:0,1,2,
由题意,甲、乙车投产的概率分别为,
所以,
,
,
所以数学期望.
19．答案：（1）
（2）①证明见解析;
②6
解析：（1）设双曲线C的半焦距为c,则,,
因为双曲线右顶点,所以,
由,得:,
所以,则双曲线C的标准方程为.
（2）①当直线l的斜率存在时,设其方程为,显然,
联立,消去y得:,
由直线l与双曲线C有且只有一个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别相交知:直线l与双曲线的渐近线不平行,所以且,
于是得,则,
双曲线C的渐近线为,
联立,消去y得:,
设,,则.
当直线l的斜率不存在时,,故,
综上,点M与点N的横坐标的积为定值3.
②由①,且,,
因为,分别在双曲线的两条渐近线上,不妨取,
则,当且仅当时取等号,
所以周长的最小值为6.
X
5
6
7
8
9
10
Y
5
4.8
3.5
4
3
2
M
2
4
6
7
9
N
3
4
9
7
11
工作时间X
2
4
5
6
8
工资Y
30
40
50
70
性别
主食蔬菜
主食肉类
总计
女
男
总计
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
主食蔬菜
主食肉类
总计
女
10
10
20
男
4
16
20
总计
14
26
40
X
0
1
2
P