河南省新未来2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省新未来2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．甲,乙,丙3位同学到4个社区参加志愿服务,每人限去一个社区,不同方法的种数是( )
A.24B.36C.64D.81
2．已知随机变量X服从两点分布,,则其成功概率为( )
A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6
3．已知圆与圆,则圆与圆的公切线的条数为( )
A.1B.2C.3D.4
4．随机变量X的分布列如下,且,则( )
A.B.C.D.
5．已知椭圆的右焦点为F,点M是C上的一点,点P是线段的中点,O为坐标原点,若,则( )
A.6B.7C.8D.9
6．已知,,点P是直线上的一点,则当取得最小值时,点P的坐标为( )
A.B.C.D.
7．已知函数在上单调递减的概率为,且随机变量,则（附：若,则,,( )
8．已知椭圆和双曲线有公共的焦点,其中为左焦点,P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点,若的离心率为,则的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．关于的展开式的说法中正确的是( )
A.各项的系数之和为B.二项式系数的和为64
C.展开式中无常数项D.第4项的系数最大
10．若,,,则( )
A.B.
C.D.
11．已知抛物线,过点的直线与C交于,两点,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.的最小值为16
D.若点M是的外心,其中O是坐标原点,则直线的斜率的最大值为
三、填空题
12．由0,1,2,3,4,5,6这七个数字组成没有重复数字的七位数,且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位）,这样的七位数有________________个.
13．已知直线过点,它的一个方向向量为,则点到直线的距离为________________.
14．如图,已知A,B是双曲线的右支上的两点（点A在第一象限）,点A关于坐标原点O对称的点为C,且,若直线的斜率为,则该双曲线的离心率为_______________.
四、解答题
15．已知二项式的展开式中,所有项的二项式系数之和为a,各项的系数之和为b,
(1)求n的值;
(2)求其展开式中所有的有理项.
16．如图,已知在三棱锥中,平面,,,Q为线段上一点,,E为的中点,.
(1)试确定点Q的位置;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求,真正让“人民至上”理念落实落地,着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉,不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡,义诊暖人心”的活动.这6名医生中,外科医生、内科医生、眼科医生各2名.
(1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率;
(2)设X表示选出的3人中外科医生的人数,求X的均值与方差.
18．已知抛物线的焦点为F,过抛物线C的准线上任意一点P作不过焦点F的直线l与抛物线C相交于M,N两点.当直线l的方程为时,,.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)证明：直线是的外角平分线.
19．已知椭圆的左右顶点分别为,,上下顶点分别为,,且四边形的周长为,过点且斜率为k的直线交C于A,B两点,当直线过C的左焦点时,.
(1)求C的标准方程;
(2)若O为坐标原点,的面积为,求直线的方程;
(3)记直线与直线的交点为M,求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：不同方法的种数是：.
故选：C.
2．答案：D
解析：随机变量X服从两点分布,设成功的概率为p,
.
故选：D.
3．答案：B
解析：由,则,半径,
由,则,半径,
所以,故两圆相交,
所以公切线条数为2条.
故选：B.
4．答案：C
解析：根据题意可得解得
.
故选：C.
5．答案：A
解析：记椭圆C的左焦点为,连接,
又点P是线段的中点,O为的中点,所以,
又,所以,
在椭圆中,,
又点M是C上的一点,所以,所以.
故选：A.
6．答案：B
解析：设点关于直线l的对称点为,
则中点在直线上,即①,
直线与直线l垂直,即②,
解得,,即点关于直线l的对称点为,
又,所以,
所以直线的方程为,即,
由,解得,,
所以当取得最小值时,点P的坐标为.
故选：B.
7．答案：C
解析：根据题意在上单调递减,可得,故,,,
所以
.
故选：C.
8．答案：B
解析：令线段的垂直平分线与的交点为M,显然M是的中点,而O是的中点,
则,而,因此,,
则,令与的半焦距为c,
由,得,于是,解得,则,
,所以的渐近线方程为.
故选：B.
9．答案：AC
解析：由,令得：,
即各项的系数之和为,故A正确;
由二项式系数的和为：,故B错误;
因为,
所以当时,不符合题意,所以无常数项,故C正确;
在中,当时系数最大,即第5项的系数最大,故D错误.
故选：AC.
10．答案：ACD
解析：因为,所以,A正确;
因为,,所以,B错误;
因此,,C正确;
从而.D正确.
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：显然直线的斜率不为0,设直线的方程为,由,得,
所以,,,故A正确,B错误;
,
所以,当且仅当时,取到最小值,故C正确;
因为,所以,所以的外心就是弦的中点,
记为,其中,.由,以及,
得,
即,所以直线的斜率.要求直线的斜率的最大值,所以,
所以,当且仅当,
即时“=”号成立,即直线的斜率的最大值为,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：90
解析：因偶数排列顺序固定且0只能在6,5,4位,奇数可任意排列,
则当0排在第6位时,共有（个）数;
当0排在第5位时,共有（个）数;
当0排在第4位时,共有（个）数,
故这样的七位数共有（个）.
故答案为：90.
13．答案：
解析：因为,所以,
所以点到直线的距离为.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图,设直线与x轴交于点D,取的中点M,连接,
由双曲线的对称性可知O为线段的中点,则,所以.
由直线的斜率,得,
则直线的斜率.
设,,则两式相减,得,
化简得,即,
所以该双曲线的离心率.
故答案为：.
15．答案：(1)4
(2),,
解析：(1)因为,所以,
当n为奇数时,此方程无解,
当n为偶数时,方程可化为,解得;
(2)由通项公式,
当为整数时,是有理项,则,
所以有理项为.
16．答案：(1)点Q在线段上且;
(2).
解析：(1)由平面,,得直线,,两两垂直,
以A为原点,直线,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,
由,得,则,
设,则,
于是,,
由,得,解得,
所以点Q在线段上且.
(2)由(1)知,,,,
设平面的法向量,则,取,得,
设直线与平面所成角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：(1)
(2),.
解析：(1)推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数,
这6名医生中,外科医生2名,内科医生2名,眼科医生2名,
设事件A表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”,
表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”,表示“恰好选出2名外科医生”,
,互斥,且,
,,
选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为;
(2)由于从6名医生中任选3名的结果为,
从6名医生中任选3名,其中恰有m名外科医生的结果为,,那么6名中任选3人,
恰有m名外科医生的概率为,
所以,,,
.
18．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)设M,N的坐标分别为,,
由抛物线的定义有,,
可得,,
联立方程消去y后整理为,
有,有,
整理为,解得或（舍去）,
故抛物线C的标准方程为;
(2)直线l的斜率为,
直线l的方程为,代入后整理为,
令,得.可得点P的坐标为,
焦点F的坐标为,直线的方程为,
整理为,
点P到直线的距离为
,
同理点P到直线的距离为,
由及直线l与抛物线C的位置关系,可得直线是的外角平分线.
19．答案：(1)
(2)或或或
(3)
解析：(1)由题意知,
解得,,,
所以椭圆C的标准方程为;
(2)由题意知直线的方程为,设,,
由,得,
所以,解得,
所以,,
所以
,
又点O到直线的距离,
所以的面积,
解得或,所以或或或,
所以直线的方程为或或或;
(3)由题意知直线的方程为,设,,
由,得,
所以,解得,
所以,,
设,因为,,M在同一条直线上,
所以,
又,,在同一条直线上,所以,
所以,
所以,所以点M在直线上,
所以.
X
0
1
2
P