黑龙江省新时代高中教育联合体2024-2025学年高二上学期期末联合考试数学试卷B(含答案)

这是一份黑龙江省新时代高中教育联合体2024-2025学年高二上学期期末联合考试数学试卷B(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．数据2,4,6,8,10,12,14的第70百分位数是( )
A.6B.8C.9D.10
2．已知直线是双曲线的一条渐近线,则( )
A.1B.2C.4D.16
3．先后抛掷两枚质地均匀的骰子,第一次和第二次出现的点数分别记为a,b,则下列结论正确的是( )
A.“第一次出现的点数为1点”与“第二次出现的点数为2点”为互斥事件
B.“两次出现的点数之和大于6”与“两次出现的点数之和小于6”为对立事件
C.的概率为
D.的概率为
4．已知的展开式的第2项系数为,则下列结论中错误的是( )
A.B.展开式的常数项为第5项
C.展开式的各二项式系数的和为256D.展开式的各项系数的和为
5．某类汽车在今年1至5月销量y（单位：万辆）,如下表所示：
若x与y线性相关,且线性回归方程为,则下列说法不正确的是( )
A.样本的相关系数r为负数B.
C.当时,残差的绝对值为0.1D.可预测当时销量约为1.5万辆
6．今年暑期档推出多部精彩影片,其中比较热门的有《解密》,《名侦探柯南》,《抓娃娃》,《逆行人生》,《死侍与金刚狼》,甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相同,且甲一定选《抓娃娃》,则两位同学不同的观影方案种数为( )
A.24B.28C.36D.12
7．已知点F是抛物线的焦点,经过F的两条直线分别交抛物线于A,B和C,D,其中B,C两点在x轴上方.若,则四边形面积的最小值为( )
A.B.C.D.
8．春夏换季是流行性感冒爆发期,已知A,B,C三个地区分别有,,的人患了流感,且这三个地区的人口数之比是,现从这三个地区中任意选取1人,若选取的这人患了流感,则这人来自B地区的概率是( )
二、多项选择题
9．为了提高身体素质,小伟今年12月份一直坚持运动,他将1~10日每天运动时长绘制成了折线图,如图所示,则( )
A.小伟1~10日每天运动时长的极差为39分钟
B.小伟1~10日每天运动时长的中位数为34.5分钟
C.小伟1~10日每天运动时长的众数为55分钟
D.小伟1~3日每天运动时长的方差大于5~7日每天运动时长的方差
10．已知点为圆上的动点,,,则下列说法正确的是( )
A.面积的最大值为3
B.直线,与圆C相交或相切
C.
D.最大时,
11．已知椭圆的左、右顶点分别为,,左、右焦点分别为,,M是椭圆C上异于,的一点,且（O为坐标原点）,记,的斜率分别为,,设I为的内心,记,,的面积分别为,,,则( )
A.B.椭圆C的离心率为
C.D.
三、填空题
12．若随机变量,则的值为______________.
13．2025年“第九届亚冬会”即将在哈尔滨举办.现需要分配4名志愿者对2种不同的体育运动进行宣讲,每个宣讲至少分配1人,则不同的分配方案种数为__________.
14．已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点,其中,分别为左、右焦点,P是与在第一象限的公共点.若线段的垂直平分线经过坐标原点,则当取最小值时,为____________.
四、解答题
15．已知,直线与圆交于A,B两点.
(1)证明l恒过定点,并求出原点O到直线l的最大距离;
(2)已知点在圆C上,求的取值范围.
16．教育局组织学生参加“防溺水”网络知识问答,该地区有小学生4500人,初中生4300人,高中生2200人,按学段比例分层抽样,从中抽取220名学生,对其成绩进行统计频率分析,得到如下图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)用样本估计总体,估计该地区成绩的中位数（保留小数点后两位）,并估计该地区学生成绩大于等于90分的人数;
(3)教育局的工作人员在此次竞赛成绩中抽取了10名同学的分数：,,,,已知这10个分数的平均数,方差,若剔除其中的最高分98和最低分86,求剩余8个分数的平均数与方差.
（参考数据：,,）
17．目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种,某公司为了了解该市电动车消费者对这两种电池电动车的偏好,随机调查了500名电动车用户,其中男性用户300名,在被调查的女性用户中偏好铅酸电池电动车的占,得到以下的2×2列联表：
(1)根据以上数据,完成列联表,依据小概率值的独立性检验,能否认为该市电动车用户对这两种电池的电动车的偏好与性别有关;
(2)从偏好石墨烯电池电动车的用户中按性别比例用分层随机抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查,再从这7名用户中抽取2人进行座谈,在有女性用户参加座谈的条件下,求恰有两名女性用户参加座谈的概率;
(3)用样本的频率估计概率,在该市所有女性电动车用户中随机抽取3名进行新车试驾,记3名参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X,求X的分布列.
参考公式：,其中.
参考数据：
18．某大公司招聘分为笔试和面试,笔试通过后才能进入面试环节,面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取部分人员进行该部门的面试.2024年应聘该公司的学生的笔试成绩Y近似服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.已知的近似值为76.5,的近似值为5.5,以样本估计总体.
(1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩,求该公司预期的平均成绩大约是多少?
(2)现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试,该公司某部门有意在这3人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试并且采用积分制,满分为10分,其中通过初试考核记6分,通过复试考核记4分,初试通过才能参加复试,应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立.已知甲和乙通过初试的概率均为,丙通过初试的概率为,甲和乙通过复试的概率均为,丙通过复试的概率为.
①若从这3人中随机选取2人参加面试,求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率;
②若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试,记他们本次面试的得分之和为X,求X的分布列以及数学期望.
参考数据：若,则：;;.
19．已知,分别是双曲线的左、右顶点,,分别为其左、右焦点,实轴长为4,M,N为双曲线C上异于顶点的任意两点,当经过原点O时,直线与直线斜率之积为定值4.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线,交双曲线C的左、右两支于D,E两点.
①求m的取值范围;
②设直线与直线交于点Q,求证：点Q在定直线上.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,
所以数据2,4,6,8,10,12,14的第70百分位数是,
故选：D
2．答案：B
解析：由双曲线可知,渐近线方程为,
又直线是其中一条渐近线,
所以,即,
故选：B.
3．答案：C
解析：先后抛掷两枚质地均匀的骰子,共有36种不同的情形.
对于A选项,“第一次出现的点数为1点”与“第二次出现的点数为2点”可以同时发生,故不是互斥事件,故A错误;
对于B选项,“两次出现的点数之和大于6”与“两次出现的点数之和小于6”不能同时发生,
是互斥事件,但是其中一个事件不发生时,另一个事件不一定发生（例如可发生“两次出现的点数之和为6”）,所以不是对立事件,故B错误;
对于C选项,包含的样本点有,,共2个,所以,故C正确;
对于D选项,包含的样本点有,,,,,共5个,
所以,故D错误.
故选：C.
4．答案：D
解析：因为的展开式的通项公式为,（）,
所以,即,
解得,故A正确;
所以,
当,即时为常数项,故B正确;
所以展开式的各二项式系数的和为,故C正确;
所以展开式的各项系数的和为,故D错误.
故选：D.
5．答案：C
解析：对于A,从表中的数据看,y随x的增大而减小,所以变量x,y负相关,则样本的相关系数r为负数,故A正确;
对于B,,,所以,得,故B正确;
对于C,因为,所以当时,残差的绝对值为,故C错误;
对于D,当时,,所以预测当时销量约为1.5万瓶,故D正确,
故选：C.
6．答案：A
解析：若两人所选影片中,《抓娃娃》相同,则两人从剩余4部中各选1部,有种方案,
若两人所选影片中,不是《抓娃娃》相同,相同的影片为4部中1部,有种选择,
再给乙从剩余3部中选择一部,有种选择,故共有种方案,
综上,共有种方案.
故选：A.
7．答案：D
解析：设直线CD的方程为,设点、,
联立,可得,所以,
所以,
同理可得,
所以,四边形的面积为,
当且仅当时,等号成立,
所以四边形面积的最小值为,
故选：D.
8．答案：C
解析：记事件M表示“这人患了流感”,事件,,分别表示“这人来自A,B,C地区”,
由题意可知,,,
,,,
则
故.
故选：C.
9．答案：AB
解析：将这10个数据从小到大排序：16,17,31,31,33,36,42,49,51,55,
故极差为,A正确,
中位数为,故B正确;
众数为31,C错误,
由折线图可知1~3日每天运动时长的波动小,5~7日每天运动时长的波动大,
故1~3日每天运动时长的方差小于5~7日每天运动时长的方差,故D错误;
故选：AB.
10．答案：ACD
解析：如图,
对于A选项,因为底为定值,
所以当M到（即x轴）距离最大时三角形面积最大,
为点为圆上的动点,所以M到x的最大距离为半径2,
所以面积的最大值是,故A正确;
对于B选项,因为直线,恒过定点,
而点1,0在圆上,
又直线不垂直x轴,所以直线与圆相交,故B错误;
对于C选项,,故C正确;
对于D选项,当最大时,此时,直线与圆相切,
点,则,且,
由勾股定理可得,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：由题意作图如下：
对于A,由,则在中,,即,故A正确;
对于B,由,则,在中,,
由,则,所以离心率,故B错误;
对于C,取线段的中点为N,连接,如下图：
在中,,易知,,则,
由,,则,,所以,故C正确;
对于D,设内切圆半径为r,则,,,
所以,即,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：10
解析：由题意可得,.
故答案为：10.
13．答案：14
解析：第1步：根据分类加法计数原理求4名学生志愿者分组的种数,
4名学生志愿者分为2组,共有两种情况：
①一组3人,另一组1人,共有种;
②一组2人,另一组2人,共有种,
所以共有种分法,
第2步：根据分步乘法计数原理计算所求,
由上可知,不同的分配方案种数为种.
故答案为：14.
14．答案：
解析：设半焦距为c,,,
Q为中点,线段的垂直平分线经过坐标原点,O为中点,则,
由,,
则,,,
所以,从而有,
故,
当且仅当,即时取等.
故答案为：.
15．答案：(1)证明见解析,最大距离
(2)
解析：(1)由直线,
得,
联立,解得,
所以l恒过定点,
设直线l恒过定点为,
则当时,原点O到直线l的距离最大,最大距离为.
(2)点在圆C上,的几何意义为点到的距离,
因为圆,即,圆心,,
又因为,所以在圆内,
所以到的距离的最大值为,
到的距离的最大值为
所以,
所以的取值范围为.
16．答案：(1)
(2),550人
(3)
解析：(1)由,
解得.
(2)因为,,
所以中位数为x满足,
由,解得,
即估计该地区成绩的中位数为分;
估计该地区学生成绩大于等于90分的人数为（人）.
(3)由题意,剩余8个成绩的平均值为 ,
因为10个分数的方差,
所以,
所以剩余8个分数的方差
,
即剩余8个分数的平均数与方差分别为,21.
17．答案：(1)列联表见解析,能
(2)
(3)分布列见解析
解析：(1)被调查的女性市民人数为,
其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为.
偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为,
所以列联表为：
零假设：市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关,
根据列联表中的数据可以求得
,
由于,
根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,
即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关.
(2)因为偏好石墨烯电池电动车的市民中,男性市民与女性市民的比为,
所以采用分层抽样的方法抽取7的人中,男性市民有5人,女性市民有2人,
设“有女性市民参加座谈”为事件A,“恰有两名女性市民参加座谈”为事件B,
则,,
所以.
(3)根据频率估计概率知,女性用户中偏好石墨烯电池电动车的概率为,
偏好铅酸电池电动车的概率为,
参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X,X可能取值为0,1,2,3,
,
,
,
,
故X的分布列如下：
18．答案：(1)71分
(2)①②分布列见解析,13
解析：(1)由,
又的近似值为76.5,的近似值为5.5,
所以该公司预期的平均成绩大约是（分）.
(2)①记选出甲、乙参加面试为事件,选出甲、丙参加面试为事件,选出乙、丙参加面试为事件,这两人本次面试的得分之和不低于16分为事件B,
则,,,
②X的可能取值为0,6,10,12,16,20,
故,,
,,
,.
故X的分布列为：
则.
19．答案：(1)
(2)①或;②证明见解析
解析：(1)由题意可得,则,
设,则,且,
由直线的斜率,直线的斜率,
则,可得,
由,则,解得,
所以.
(2)①由,则渐近线方程为,显然直线,斜率存在,为,
易得,解得或;
②设,,
联立可得,消去x可得,
由①可得,,
则,,两式相除可得,即,
由,,则直线的方程为,则,
直线的方程为,则,
联立可得,则,即,
所以,解得.
综上可得直线与直线的交点Q在定直线上.
月份x
1
2
3
4
5
销量y
5
4.5
4
3.5
2.5
偏好石墨烯电池电动车
偏好铅酸电池电动车
合计
男性用户
200
300
女性用户
合计
500
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
偏好石墨烯电池电动车
偏好铅酸电池电动车
合计
男性市民
200
100
300
女性市民
80
120
200
合计
280
220
500
X
0
1
2
3
P
X
0
6
10
12
16
20
P