湖北省十堰市2024-2025年高三上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省十堰市2024-2025年高三上学期期末考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．下列双曲线，焦点在y轴上且渐近线方程为的是( )
A.B.C.D.
3．如图，在中，D是延长线上一点，且，则( )
A.B.
C.D.
4．已知，则( )
A.B.C.D.
5．已知，且x，，，，的中位数为1，则( )
A.B.C.1D.
6．已知正三棱锥的体积为，，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
7．在中，，D为上一点，，，则的面积为( )
A.B.C.D.
8．已知函数，若实数a、b、c满足，且，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知虚数z满足，则( )
A.z的实部为B.z的虚部为
C.D.z可能为纯虚数
10．已知，函数，则下列说法正确的是( )
A.若m为奇数，则是的极小值点
B.若m为奇数，则是的极大值点
C.若m为偶数，则是的极小值点
D.若m为偶数，则是的极大值点
11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，则下列四个结论中正确的是( )
A.曲线E关于原点对称，且关于直线对称
B.曲线E上任意一点到原点的距离都不超过2
C.若是曲线E上的任意一点，则的最大值为
D.已知，直线与曲线E交于A，B两点，则为定值
三、填空题
12．已知函数是定义在R上的奇函数，若，，则_________.
13．已知，函数在上单调递减，则的最大值为_________.
14．由数字1，2构成一个9位的数字序列，含有连续子序列1221的数字序列有_________个.（例如122122211，212112211符合题意）
四、解答题
15．现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不喜欢.为了调查人们是否喜欢这种交通方式，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市随机调查了100名市民，得到了一个市民是否喜欢骑“共享单车”的样本，具体数据如下列联表：
(1)根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联？
(2)为进一步了解A城市的拥堵情况，该同学从样本中A城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法抽取6人，并从这6人中选出2人代表发言，记代表发言中喜欢骑“共享单车”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.
附表格及参考公式：，其中.
16．如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点E、F分别在侧棱、上，且.
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)已知O为底面的中心，在上是否存在点G，使得平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
17．已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前n项和为，若恒成立，求的取值范围.
18．已知抛物线的焦点F在直线上，A，B，C，是E上的三个点.
(1)求E的方程；
(2)已知，且直线经过点F，，求直线的方程；
(3)已知A，B在y轴的两侧，过点A，B分别作抛物线E的切线，，且与交于点Q，直线与和分别交于点M，N，求面积的最小值.
19．设函数在区间D上有定义，若对任意，，都满足，则称函数在区间D上为k级速增函数.
(1)判断函数在区间R上是否为1级速增函数，说明理由；
(2)若函数在区间上为2级速增函数，且，证明：对任意，，恒成立；
(3)若在区间上为k级速增函数，求k的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：不等式.
所以，
又，
所以.
故选：D
2．答案：C
解析：由、的焦点在x轴上，A、B错；
由的焦点在y轴上且渐近线方程为，C对；
由的焦点在y轴上且渐近线方程为，D错.
故选：C
3．答案：B
解析：.
故选：B.
4．答案：D
解析：，
则，又，
所以.
故选：D.
5．答案：B
解析：因为，所以，
又x，，，的中位数为1，所以，
当时，x，，，分别为1，2，1，2，
则中位数为，不符合题意；
当时，，
则中位数为，解得.
故选：B
6．答案：D
解析：设正三棱锥的底面中心为M，
外接球的球心为O，显然球心O在直线上.
设正三棱锥的高为h，外接球的半径为R，
由，可得正三角形的面积为，
所以，解得.
球心O到底面的距离为，
由，得，
所以外接球的表面积为.
故选：D.
7．答案：B
解析：记的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，
因为，
所以.
由余弦定理可知，
得，
又，所以，
则的面积为.
故选：B.
8．答案：A
解析：作出函数的图像，如图：
由图可知，，
即，得，
即，
由，即，可得，
得，即，所以.
所以，，
故的取值范围为.
故选：A.
9．答案：AC
解析：设，
由，可得，
所以，
解得，
则，
所以z的实部为，z的虚部为，，z不可能为纯虚数.
故选：AC.
10．答案：BC
解析：由题可得.
当m为奇数时，，
令，，
且当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以是的极大值点，B正确；
当m为偶数时，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以是的极小值点，C正确.
故选：BC.
11．答案：ABD
解析：根据曲线方程，若点在曲线E上，
易知点，都满足曲线E的方程，
所以曲线E关于原点对称，且关于直线对称，A正确；
令第一象限点在曲线E上，则，
因为，则，
解得，当且仅当时等号成立，
所以曲线E上任意一点到原点的距离都不超过2，B正确；
由曲线E的对称性知，当位于第二象限时，取得最大值，
所以，令，
将代入，
可得，
故，
解得，即的最大值为6，C错误；
由题，知点A，B关于原点对称，不妨设第一象限点，
则且，
则，
，
所以为定值，D正确.
故选：ABD
12．答案：3
解析：因为，所以，即，
因为是定义在R上的奇函数，所以，
故.
故答案为：3.
13．答案：10
解析：因为，
所以，
又因为在上单调递减，
设，可知在上单调递减，
则，
解得，
且，则，
解得，
当时，，
当时，，
所以的最大值为10.
故答案为：10.
14．答案：174
解析：考虑出现子序列1221时，可能出现的位置有6个，
依次对应的序列放入集合，中，
记为集合中元素的个数，则，
再考虑重复的序列，，
，
，
又注意到任意多于2个集合的交集均为空集，
所以含有连续子序列1221的数学序列有个.
故答案为：174
15．答案：(1)认为市民喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联
(2)分布列见解析，
解析：(1)零假设为：市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况无关联.
根据列联表中的数据，
得.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联，
此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)根据分层随机抽样的知识可知，随机抽取的6人中喜欢骑“共享单车”的有4人，不喜欢骑“共享单车”的有2人，
所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以X的分布列为
所以.
16．答案：(1)
(2)存在，且
解析：(1)因为在直四棱柱中，
底面是边长为2的正方形，
以点D为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，
令，则，
易知是平面的一个法向量，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
(2)由(1)可得、，，
假设存在满足条件的点G，设，
所以，
因为平面，
所以，解得.
故当时，平面.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由，可得，
两式相减可得，
则，即数列的公比为.
当时，，则，解得，
所以.
(2)由(1)可得，
所以，
则，
所以，
即，
解得，
由，可得，
令，则，
当时，，
当时，，
当时，1，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由题可知，
所以，解得，
所以E的方程为；
(2)设，，由题可知，
依题意知直线的斜率必存在，
设直线的方程为.
由
整理得，
则，，
，
，
因为，所以，
所以，，
解得，所以直线的方程为；
(3)设，
因为A，B在y轴的两侧，所以直线的斜率一定存在，
不妨设，
直线的方程为，
由
整理得，
则，，
由
得，
设切线，的斜率分别为，
又，所以，
则，，
所以的方程为，
即，
同理可得的方程为.
由
解得
即.
令，可得，，
.
点Q到直线的距离为，
故的面积为，
，（当时，等号成立）
令，，
记，则，
令，则，
所以在上单调递增；
令，则，在上单调递减，
所以，
故面积的最小值为.
19．答案：(1)是，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3).
解析：(1)函数在区间R上是1级速增函数，理由如下：
设，则
，
即，
所以函数在区间R上为1级速增函数.
(2)证明：因为函数在区间上为2级速增函数，
所以任意，，都满足.
已知，令，
所以，故时，
.
当时，，
所以对任意，，恒成立；
(3)由题设，令，
而，
所以在，上恒成立.
令在上单调递增，
则
令，则，
所以在上，，即在上单调递减，
在上，，即在上单调递增，
所以，故，
所以，即k的取值范围为.
A
B
总计
喜欢
40
10
50
不喜欢
20
30
50
总计
60
40
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
P