辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知点在抛物线上,则抛物线C的准线方程为( )
A.B.C.D.
2．直线与直线之间的距离为( )
A.B.C.D.
3．圆与圆的公共弦长为( )
A.B.C.D.
4．的展开式中,常数项为( )
A.B.C.120D.60
5．若直线与曲线恰有两个交点,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．如图,二面角等于,A,B是棱l上两点,,,且,,则的长等于( )
A.B.C.D.
7．过倾斜角为的直线与抛物线相交于A,B两点,且满足,则抛物线的方程为( )
A.B.C.D.
8．已知椭圆,直线l过右焦点交椭圆于A,B两点,在椭圆长轴所在直线上必存在一点P,使为定值,则P点坐标为( )
A.B.C.D.（2,0）
二、多项选择题
9．已知直三棱柱中,,,点E为的中点,则下列说法正确的是( )
A.
B.平面
C.异面直线与所成的角的余弦值为
D.点到平面的距离为
10．在圆锥曲线（包括椭圆、双曲线和抛物线）中,曲线上任意一点到焦点的连线段称为焦半径.则下列选项正确的为( )
A.椭圆以焦半径为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆相内切.
B.双曲线以焦半径为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆相外切.
C.抛物线以焦半径为直径的圆与x轴相切.
D.抛物线以焦半径为直径的圆与准线相切.
11．如图,P是椭圆与双曲线在第一象限的交点,,且,共焦点,离心率分别为,,则下列结论正确的是( )
A.,B.若,则
C.D.若,则的最大值是
三、填空题
12．反比例函数的图像是双曲线,则这个双曲线的一个焦点坐标为________.
13．P点是椭圆上任意一点,Q点是圆上任意一点,求的取值范围________.
14．抛物线的一条弦的长度为10,过A,B两点分别做抛物线的切线交于P点,则面积的最大值为________.
四、解答题
15．从A,B,C等8人中选出5人排成一排.
（1）A必须在内,有多少种排法?
（2）A,B都在内,且A排在B前面,有多少种排法?
（3）A,B,C都在内,且A,B必须相邻,C与A,B都不相邻,都多少种排法?
（4）A不允许站排头和排尾,B不允许站在中间（第三位）,有多少种排法?
16．如图,在四棱锥中,平面平面,是等边三角形,四边形是梯形,且,,,点G是的重心,与交于点M.
（1）证明:平面;
（2）证明:平面;
（3）求平面与平面的夹角的余弦值.
17．已知椭圆焦距为2,离心率e等于
（1）求椭圆E的标准方程;
（2）过点作两条互相垂直的弦,,其中B,D在x轴的上方,且B在D的右侧,设弦,的中点分别为M,N.
①若弦,的斜率均存在,求的最小值;
②O为坐标原点,试探究:与的面积之比是否为定值?若是,请求出此值;若不是,请说明理由.
18．如图,在四面体中,平面,M,P分别是线段,的中点,点Q在线段上,且.
（1）求证:平面;
（2）当,时,求平面与平面夹角的余弦值;
（3）在（2）的条件下,若G为内的动点,平面,且与平面所成的角最大,试确定点G的位置.
19．双曲线中垂直于实轴的动弦,,为双曲线的两个顶点,直线与交点的轨迹为椭圆C.
（1）求椭圆C的方程;
（2）且为椭圆C上一点,E,F为椭圆C两个动点,直线的斜率和直线的斜率互为相反数,P点关于x轴的对称点为,Q为中点,O为坐标原点.证明:O,Q,三点共线.
参考答案
1．答案：D
解析：因为点在抛物线上,则,
可得抛物线,即,
可知,且焦点在y轴正半轴上,
所以抛物线C的准线方程为.
故选:D.
2．答案：B
解析：直线化为:,
所以直线与直线之间的距离为:
.
故选:B.
3．答案：C
解析：圆①与圆②,
①－②得,即公共弦方程为,
又圆的半径为,圆心为,
圆心到直线距离,
所以公共弦长为.
故选:C.
4．答案：D
解析：的展开式中的第项为:.
令,则常数项为.
故选:D.
5．答案：B
解析：由知直线l过定点,
由曲线,两边平方得,
则曲线是以为圆心,1为半径的上半圆（包含x轴上的两点）,
当直线过点时,直线l与曲线有两个不同的交点,
此时,解得,
当直线与曲线相切时,直线和圆有一个交点,
圆心到直线的距离,解得,
要使直线与曲线恰有两个交点,
则直线夹在两条直线之间,因此,
即实数k的取值范围为.
故选:B.
6．答案：D
解析：由二面角的平面角的定义知,
所以,
由,,得,
又因为,
所以
,
所以,即.
故选:D.
7．答案：A
解析：过倾斜角为的直线的方程为,设,,
联立,消去x,可得,
所以,
又,所以,所以,
所以,,所以,解得或（舍去）,
所以抛物线方程为,即.
故选:A.
8．答案：B
解析：椭圆,直线l过右焦点,
当直线的斜率不为0时,设直线方程为,,,
由,消去x得,,
整理得,所以,,
设长轴上的点,
可得,,
所以
,
当且仅当时,即时,
为定值,此时P点坐标为,
当直线直线的斜率为0时,,,计算可得,
所以在椭圆长轴所在直线上必存在一点P,使为定值,且P点坐标为.
故选:B.
9．答案：ABD
解析：如图,建立空间直角坐标系,
则,,,,,.
A:,,,,
所以,故A正确;
B:,,,
设平面的一个法向量为,
则,令,则,,所以,
所以,即,
又平面,所以平面,故B正确;
C:,,则,,,
所以,
即异面直线与所成的角的余弦值为,故C错误;
D:设平面的一个法向量为,
则,令,则,所以,
得,所以点到平面的距离为,故D正确.
故选:ABD
10．答案：AC
解析：对于A,设椭圆的方程为,F,分别是椭圆的左右焦点,
作出以线段为直径的圆和以长轴为直径的圆,如图所示.
设中点为M,连结,是的中位线,可得,
即两圆的圆心距为,|根据椭圆的定义,可得,
所以圆心距,
即两圆的圆心距等于它们半径之差,因此,以为直径的圆与以长半轴为直径的圆相内切.故A正确;
对于B,设以实轴为直径的圆的圆心为,其半径,
线段为直径的圆的圆心为,其半径为,
当P在双曲线左支上时,,
所以,所以,所以两圆内切.
当P在双曲线右支上时,,
所以,所以,
所以两圆外切.故B错误;
对于CD,抛物线的焦点F的坐标为,设点P点坐标为,
则以为直径的圆的圆心是,
根据抛物线的定义与P到直线是等距离的,
所以为直径的圆的半径为,因此以为直径的圆与x轴相切,故C正确,D错误.
故选:AC.
11．答案：ACD
解析：A.由题意可知,,,
得,,故A正确;
BD.中,若,设椭圆和双曲线的半焦距为c,
根据余弦定理,,
整理为,可得,
设,,,
则,,可得,,即,
因为,故B错误;
又因为,
当,即时,取到最大值,故D正确;
C.在椭圆中,,
,
整理为,
在双曲线中,,
整理为,
所以,即,
而,则,故C正确.
故选:ACD.
12．答案：（或）
解析：由双曲线的渐近线为x轴与y轴,对称轴为,且其焦点在上,
联立方程,解得或,
即其两顶点坐标分别为,,可知其实半轴长为4,
且双曲线的渐近线相互垂直,可知双曲线为等轴双曲线,
故其虚半轴长为4,可知其半焦距为,
故其焦点坐标分别为,.
故答案为:（或）.
13．答案：
解析：由题意可知:圆的圆心为,半径,
因为Q点是圆上任意一点,
则,即,
又因为P点是椭圆上任意一点,设,
可得,
当时,取到最小值;
当时,取到最大值5;
可得,所以的取值范围为.
故答案为:.
14．答案：
解析：因直线的斜率显然不为0,设弦所在直线方程为,,,
联方,消去x得,
所以,,
由弦长公式可得,
化简整理得,所以,
设抛物线的一条切线方程为,
联立可得,消去x得,
所以,解得,代入方程可得,
解得,所以,,
所以抛物线在处的切线方程为,在处的切线方程为,
联立,解得且,
又,,所以交点P的坐标为,
所以点P到直线的距离为
,
当时,,所以面积的最大值为.
故答案为:
15．答案：（1）4200
（2）1200
（3）240
（4）4440
解析：（1）由题意,先从余下的7人中选4人共有种不同结果,
再将这4人与A进行全排列有种不同的排法,
故由乘法原理可知共有种不同排法.
（2）由题意,先从余下的6人中选3人共有种不同结果,
再将这3人与A,B的进行全排列有种不同的排法,
故由乘法原理可知共有种不同排法,
又A,B之间的排列有,
所以A排在B前面,有种不同排法.
（3）因A,B,C都在内,所以只需从余下5人中选2人有种不同结果,
A,B必须相邻,有种不同排法,
由于C与A,B都不相邻,先将选出的2人进行全排列共有种不同排法,
再将A,B这个整体与插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法,
由乘法原理可得共有种不同排法.
（4）分四类:第一类:所选的5人无A,B,共有种排法;
第二类:所选的5人有A、无B,共有种排法;
第三类:所选的5人无A、有B,共有种排法;
第四类:所选的5人有A,B,若A排中间时,有种排法,
若A不排中间时,有种排法,
共有种排法;
综上,共有种不同排法.
16．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）.
解析：（1）在中,,,
所以,所以,
因为平面平面,
平面平面,,平面,
所以平面.
（2）连接并延长,交于点N,连接,
因为点G是的重心,所以N是的中点,且,
在梯形中,因为,且,
所以,则,
所以,所以,
又因为平面,平面,
所以平面;
（3）取的中点H,连接,
在中,,所以且,
又因为平面平面,平面平面,
平面,所以平面,
由（1）知,
则以D为坐标原点,,所在直线为x轴,y轴,
过点D且与平行直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题知,,,,,
所以,,
设平面的一个法向量为,
则,所以,
令,则,,故,
又平面,则为平面的一个法向量,
设平面与平面的夹角为,
所以,
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）①;
②与的面积之比为定值,定值为
解析：（1）由题意可知,,可得,
则,所以椭圆的方程为.
（2）①设,,,则
联立方程,消去x可得,
则,,,
由弦长公式可得:,
用代替m可得,
可得,
则
,
当且仅当,即,时,等号成立,
所以的最小值为;
②因为,可得,
则,由代替m得,
当,即时,,过点;
当,即时,,
则,
当时,,经验证直线过点,
综上,直线恒过点.
设O,F到直线的距离分别为,则,
可得.
所以与的面积之比为定值,定值为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）点G位于中位线靠近O的八等分点的第3个点处
解析：（1）取BD中点O,连接PO,
是BM的中点,,且,
在线段CD上取点F,使,连接OF,QF,
,,且,
,,四边形POFQ为平行四边形,,
又平面平面,平面.
（2）,,则,,
取BD中点O,则,又平面,,平面BCD,
以O为原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,故,,
则,,,
,所以,
故,
易知平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量为,
则,即,
取,则,,,
设平面与平面的夹角为,
则,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）由（2）知O为BD中点,为AD中点,连接OM,
,
点G为内动点且平面QGM,
又平面ABD,平面平面,
,故点G在OM上,
设,又,,,
则,
,
易知平面的一个法向量为,
设QG与平面所成角为,则最大时,最大,
,
所以当时,最大,此时最大,
即当点G位于中位线靠近O的八等分点的第3个点处时,QG与平面所成角最大.
19．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）,,设,,
设为曲线C上任意一点,则,,
则直线的方程:①
直线的方程:②
由①②得,
在双曲线上,,
,,,
椭圆C的方程为.
（2）设,,,,直线的斜率为k,
则直线,直线,
联立,得,其中,
,,同理,
,
,,
设,,,
,两式作差得,
,,
,,Q,三点共线.