泸化中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份泸化中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,若,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．下列各图中,一定不是函数图象的是( )
A.B.
C.D.
3．已知等差数列的前n项和为,且,命题“”,命题“”,则命题p是命题q的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
4．已知,若,则的值为( )
A.B.C.D.
5．已知,,,则a、b、c的大小顺序正确的是( )
A.B.C.D.
6．已知命题p：若,则;命题q：若,则.则下列是真命题的是( )
A.B.C.D.
7．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.B.
C.D.
8．已知函数的两个零点分别是和3,函数,则函数在上的值域为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数的定义域为,则( )
A.的图象关于原点对称B.在上单调递增
C.恰有2个极大值点D.恰有1个极小值点
10．若a,b,,则下列说法正确的是( )
A.“对恒成立”的充要条件是“”
B.“”是“”的充分不必要条件
C.“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D.“”是“无最小值”的既不充分也不必要条件
11．已知函数,下列结论正确的是( )
A.是奇函数
B.若在定义域上是增函数,则
C.若的值域为R,则
D.当时,若,则
三、填空题
12．幂函数过点,则___________.
13．2弧度的圆心角所对的弧长为6sin,则这个圆心角所夹的扇形面积是____________.
14．设函数的最小正周期为,且其图象关于直线对称,则在下面结论中正确的个数是________________.
①图象关于点对称;
②图象关于点对称;
③在上是增函数;
④在上是增函数;
⑤由可得必是的整数倍.
四、解答题
15．若集合,集合.
(1)当时,求;
(2)若,求a的取值范围.
16．已知函数.
(1)若,求不等式的解集;
(2)已知,且在上恒成立,求a的取值范围;
(3)若关于x的方程有两个不相等的正实数根,,求的取值范围.
17．已知函数.
(1)求的最大值及取得最大值时x的值;
(2)若方程在上的解为,,求的值.
18．在无菌培养环境中,某类细菌的繁殖在初期会较快,随着单位体积内细菌数量的增加,繁殖速度又会减慢,在一次实验中,检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示.
(1)当时,根据表中数据分别用模型和建立y关于x的函数解析式.
(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量,则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时,称该函数模型为“理想函数模型”,已知当培养时间为9小时时,检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个,你认为(1)中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：）
(3)请用(2)中的“理想函数模型”估计17小时后,该类细菌在培养皿中的数量.
19．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数,给定函数.
(1)请你应用题设结论,求函数图象的对称中心;
(2)用定义证明在区间上的单调性;
(3)已知函数的图象关于点对称,且当时,.若对任意,总存在,使得,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为集合,,且,则,
所以,.
故选：D.
2．答案：A
解析：对于A选项,由图象可知,存在x同时对应两个函数值y,A选项中的图象不是函数图象;
对于B选项,由图象可知,每个x有唯一的函数值y与之对应,B选项中的图象是函数图象;
对于C选项,由图象可知,每个x有唯一的函数值y与之对应,C选项中的图象是函数图象;
对于D选项,由图象可知,每个x有唯一的函数值y与之对应,D选项中的图象是函数图象.
故选：A.
3．答案：C
解析：由等差数列的前n项和公式得,
即,又.
当时,令,则满足,而不满足,故充分性不成立;
当,即时,,则满足,故必要性成立.
综上所述,命题p是命题q的必要不充分条件.
故选：C.
4．答案：C
解析：
,,
故选：C.
5．答案：D
解析：因为在上是增函数,且,所以.
故选：D.
6．答案：C
解析：不妨设,满足,但此时,无意义,故命题p为假命题,
当时,,故命题q为真命题,
故为假命题,为假命题,故为假命题,为真命题,为假命题.
故选：C.
7．答案：D
解析：设这两年年平均增长率为x,
因此解得.
8．答案：B
解析：由题意得,,解得,,
故,
由于与在上单调递增,
故在上单调递增,
故,,
故在上的值域为.
故选：B.
9．答案：ABC
解析：因为的定义域为,,所以为奇函数,A正确;
因为,当时,,所以,则在上单调递增,B正确;
显然,令,得,分别作出,在区间上的图象,
由图可知,这两个函数的图象在区间上共有4个公共点,且两图象在这些公共点上都不相切,故在区间上有2个极大值点和2个极小值点,C正确,D错误.
故选：ABC.
10．答案：BC
解析：因为当,时,推不出,故A错误;
由可推出,而由,可得或,推不出,
所以“”是“”的充分不必要条件,故B正确;
由方程有一个正根和一个负根,可得,可推出,
由推不出,
故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件,故C正确;
由,,可得(当且仅当取等号),无最小值,
所以“”是“无最小值”的充分条件,故D错误.
故选：BC.
11．答案：AB
解析：对于A,由题函数定义域为,关于原点对称,
当时,,,;
当时,,,,
则函数为奇函数,故A正确;
对于B,若在定义域上是增函数,则,即,故B正确;
对于C,当时,在区间上单调递增,此时值域为,
当时,在区间上单调递增,此时值域为.
要使的值域为R,则,即,故C不正确;
对于D,当时,由于,则函数在定义域上是增函数,
又函数是奇函数,故由,得,
则,且,且,
解得,故D不正确.
故选：AB.
12．答案：2
解析：根据题意可知,解得或,又因为,解得,故.
13．答案：
解析：由题意可得,,
扇形的半径,
扇形面积
故答案为：.
14．答案：2
解析：函数的最小正周期为,
所以,得到,
得到,
令,,
代入对称轴,得,,
因为,所以,得,
所以函数解析式为,
令,,得,,
所以对称中心的坐标为,,
所以,①图象关于点对称,错误;
②图象关于点对称,正确;
令,,
解得,,
所以函数的单调递增区间为,,
所以③在上是增函数,错误;
④在上是增函数,正确;
由函数对称中心的坐标为,,
可得相邻零点的差是的整数倍,
所以⑤由可得必是的整数倍,错误.
故答案为：2.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,集合,
又集合,所以.
(2)因为,所以,
①当,即时,;
②当,即时,要使,则必须,解得.
综上,a的取值范围是.
16．答案：(1)或
(2)
(3)
解析：(1)当时,,
,即,解得或,
不等式的解集为或;
(2),
则二次函数图象的开口向上,且对称轴为,
在上单调递增,,
在上恒成立,转化为,
,解得,故实数a的取值范围为;
(3)关于x的方程有两个不相等的正实数根,,
,,,
且,解得,
,
令,
在上单调递减,
,,
故的取值范围为.
17．答案：(1)时,函数取最大值,且最大值为1;
(2).
解析：(1).当,
即时,函数取最大值,且最大值为1.
(2)因为,令,,解得,,
即函数图象的对称轴为,,
当时,对称轴为.
又方程在上的解为,.
,则,
,
又,
故.
18．答案：(1),
(2)模型①是“理想函数模型”,理由见解析
(3)（百万个
解析：(1)当时,,
由图表数据可得,
,,
联立上式,解方程可得,,
则;
当时,,
由图表数据可得,
,
联立上式,解方程可得,,
则;
(2)考虑①,由,
可得,
而,
可得模型①是“理想函数模型”;
考虑②,由,
可得
而,
所以模型②不是“理想函数模型”;
(3)由(2)可得时,
（百万个
19．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)设函数图象的对称中心为,
则,
即,
即,
,
整理得,
于是,
解得,
所以的对称中心为;
(2)任取,,且,
则,
因为且,
所以,
即,
所以在上单调递增;
(3)由题意得：的值域是值域的子集,
由(2)知在上单调递增,
故的值域为,
于是原问题转化为在上的值域,
因为对称轴为,在对称轴处取得最小值,
①当,即时,在上单调递增,
同时的图象恒过对称中心,
可知在上也单调递增,
故在上单调递增,
又,
故,
所以,
所以,解得,
又,故此时;
②当,即时,
在上单调递减,上单调递增,
又过对称中心,
故在上单调递增,上单调递减,
故此时
欲使,
只需,且,
解得且,
解不等式得：,又,
故此时;
③当,即时,
在上单调递减,在上也单调递减,
由对称性知在上单调递减,
于是,
因为,
故,解得,
又,故此时,
综上,实数m的取值范围是.
x
2
3
5
3.5
4.5
5.5