天津市西青区2024-2025学年高二上学期期末学业质量检测数学试卷(含答案)

这是一份天津市西青区2024-2025学年高二上学期期末学业质量检测数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知空间向量,且,则( )
A.B.C.1D.2
2．已知直线l的斜率为3,且在y轴上的截距为,则l的方程为( )
A.B.C.D.
3．已知双曲线的焦距,实轴长为4,则曲线C的渐近线为( )
A.B.C.D.
4．已知圆,圆,则两圆的位置关系是( )
A.相离B.相交C.内切D.外切
5．已知等差数列中,,且,则( )
A.0B.C.D.
6．已知抛物线上一点到焦点的距离为,则其焦点坐标为( )
A.B.C.D.
7．设等比数列的前n项和为,若,则( )
A.6B.7C.8D.9
8．在四棱锥中,底面是正方形,E为中点,若,,,用,,表示,则( )
A.B.C.D.
9．已知平行于x轴的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于P,Q两点,O为坐标原点,若为等边三角形,则双曲线C的离心率为( )
A.2B.C.D.
10．数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微”.事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,例如,与相关的代数问题,可以转化为点与点之间距离的几何问题.若曲线,且点M,N分别在曲线C和圆:上,则M,N两点间的最大距离为( )
A.8B.6C.5D.4
二、填空题
11．已知直线,,若,则实数________.
12．经过、的方向向量为,则________.
13．已知双曲线上一点P到左焦点的距离为3,则点P到右焦点的距离为________.
14．已知数列的通项公式为,数列是以1为首项,2为公比的等比数列,则________.
15．下列四个命题中.
①若数列的前n项和为满足,则是等比数列且通项公式为;
②拋物线上两点、且（O为原点）,则;
③椭圆左、右焦点分别是、,左、右顶点分别、,点P是椭圆上异于、的任意一点,则直线与直线的斜率之积为;
④与两圆和都外切的圆的圆心的轨迹为双曲线.
其中正确命题序号为________.（写出所有的正确答案）
三、双空题
16．已知圆和圆,则两圆公共弦所在直线的方程为________:公共弦长为________.
四、解答题
17．已知圆C的方程为:.
（1）若直线与圆C相交于A,B两点,且,求实数a的值;
（2）过点作圆C的切线,求切线方程.
18．如图所示的几何体中,四边形为矩形,平面,,,,点P为棱的中点.
（1）求证:平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值;
（3）求点F到平面的距离.
19．已知等比数列的公比大于1,,;等差数列满足,
（1）求数列,的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
20．已知椭圆的左焦点F为圆的圆心,且椭圆上的点到点F距离的最小值为.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）设直线与椭圆交于两个不同点M,N,点A为椭圆上顶点,直线与x轴交于点E,直线与x轴交于点D,若,求证:直线l经过定点.
参考答案
1．答案：C
解析：,,且,则,解得.
故选:C.
2．答案：B
解析：由题意知:直线l过点和斜率为3,
所以得:直线的方程为:,化简得:,
故B项正确.
故选:B.
3．答案：A
解析：由题意可得,,则,
所以双曲线的渐近线方程为.
故选:A.
4．答案：D
解析：对于圆,可得圆的圆心坐标为,半径.
对于圆,可得圆的圆心坐标为,半径.
可得两圆的圆心距.
因为,而圆心距,所以.
故两圆的位置关系是外切.
故选:D.
5．答案：A
解析：记等差数列的公差为d,
因为,,所以,因此,
所以,
故选:A
6．答案：D
解析：由抛物线,则焦点,准线,
由题意可得,且,
则点M到准线l的距离,解得,
所以焦点.
故选:D.
7．答案：A
解析：等比数列中,,,成等比数列
又,,
,解得.
故选:A.
8．答案：B
解析：连接BD,E为PD的中点,
.
故选:B.
9．答案：D
解析：因为为等边三角形,所以渐近线的倾斜角为,
所以,则,离心率为.
故选:D
10．答案：B
解析：因为,
表示曲线C上的点到两定点,的距离之和为,
即,
根据椭圆定义,曲线C表示以和为焦点,以为长轴长的椭圆,
设椭圆C的方程为,
则,,所以,
其方程为;
记圆:的圆心为,其半径为,
根据圆的性质可得,,
因为点在椭圆上,所以,
又在显然单调递减,所以,
则,所以,即M,N两点间的最大距离为6.
故选:B.
11．答案：或1
解析：,则根据直线垂直的充要条件列式得到,
解得或1.
故答案为:或1.
12．答案：/0.5
解析：因为经过、的方向向量为,则直线的斜率为k,
则.
故答案为:.
13．答案：9
解析：由可知,由双曲线定义可知,
,.
故答案为:9.
14．答案：518
解析：数列是以1为首项,2为公比的等比数列,
又,
.
所以
故答案为:518.
15．答案：①③
解析：对于①,当时,,解得,
当时,由可得,
上述两个等式作差可得,即,
所以,数列为等比数列,且其首项和公比均为2,则,①对;
对于②,拋物线上两点、且（O为原点）,
则,
由题意可知,,故,②错;
对于③,设点,其中,则,可得,
易知点、,所以,,③对;
对于④,圆的圆心为原点O,半径为,
圆的标准方程为,圆心为,半径为,
圆心距为,这两圆外离,
设与圆O、圆E都外切的圆为圆P,设圆P的半径为r,
则,,所以,,
所以,与两圆和都外切的圆的圆心的轨迹为双曲线的一支,④错.
故答案为:①③.
16．答案：;
解析：易知两圆相交,将两圆方程相减可得,即;
所以两圆公共弦所在直线的方程为;
易知圆的圆心为,半径为;
圆心到直线的距离为,
所以公共弦长为.
故答案为:;
17．答案：（1）或
（2）或
解析：（1）圆C的方程为:,则圆C的圆心为,半径为2,
直线与圆C相交于A,B两点,且,
圆心到直线得距离,
,,解得或.
（2）由已知得,点M在圆外,
切线的斜率不存在时,直线,与圆C相切;
切线的斜率存在时,可设切线为,即,
由切线的定义可知,,解得,
故切线方程为;
综上所述,切线方程为或.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）连接,交于点O,
由P,O分别为和的中点,得,
而平面,平面,
所以平面.
（2）由直线平面,,以所在的直线为x轴,
以所在的直线为y轴,以所在的直线为z轴,建立如图所示的直角坐标系.
则,,,,,,
,,
设平面的法向量,
则令,得,
设直线与平面所成角的正弦值,则
.
（3）,,
设平面的法向量为,
则,令,得,
所以点F到平面的距离
19．答案：（1）,
（2）
解析：（1）设等比数列的公比为q.得,
①②:,
解得:或因为公比大于1,所以,
代入②得:,.
设等差数列公差为d,,解得:,
所以的通项公式为;的通项公式为.
（2）由（1）知
记①
则
①-②得,
所以
20．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意得圆方程为:圆心为,
即,.
又椭圆上的点到点F的距离的最小值为,,解得:,
,则.
椭圆方程为.
（2）,
设,,
则直线的方程为.
令,得点E的横坐标.所以点
同理,点.
由得.
则,.
所以
又,所以.
解得,此时,
所以直线l经过定点.