广东省广州市荔湾区2024-2025学年八年级（上）期末数学试卷

这是一份广东省广州市荔湾区2024-2025学年八年级（上）期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在显微镜下，有一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为0.00000078米，这个数用科学记数法表示为7.8×10n，则n的值为( )
A. 7B. 6C. −7D. −6
3.下列运算正确的是( )
A. (a+2)2=a2+4B. (3a2)3=27a6
C. (1a)−1=−aD. ba=b2a2
4.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. 3(a+b)=3a+3bB. a2−a+1=a(a−1)+1
C. a2+2a+4=(a+2)2D. a2−9=(a+3)(a−3)
5.如果(x+m)(x+3)=x2−x−12，则m的值为( )
A. −4B. 4C. −2D. 2
6.若长度分别为a，4，7的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是( )
A. 11B. 4C. 3D. 2
7.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是( )
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
8.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是( )
A. 40°B. 64°C. 76°D. 86°
9.如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为(2,−1)，则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为( )
A. (0,1)
B. (3,1)
C. (1,−1)
D. (0,0)
10.如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；如图2，在射线AD上取点E，连接BE，CE；如图3，在射线AD上取点F连接BF，CF，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是( )
A. nB. 2n−1C. n(n+1)2D. 3(n+1)
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.平面直角坐标系中，点(1,2)与点______关于y轴对称．
12.若分式x−1x−2有意义，则x的取值范围是 ．
13.若实数a、b满足a+b=5，a2b+ab2=−15，则ab的值是______．
14.已知一个正多边形每个内角都是120°，则这个正多边形共有______条对角线．
15.如图，在△ABC中，点M在BC边上，MN⊥AC，垂足为N，MN平分∠AMC，△ABM的周长为18，AN=3，则△ABC的周长为______．
16.如图，在直角△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边作△ACD，满足AC=AD，点E为BC上一点，连接AE，DE，∠CAD=2∠BAE.有下列结论：①∠ACB=∠ADE；②AC⊥DE；③DE−BE=BE+CE；④若CD/​/AB，则AE⊥AD.其中正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：
(1)(2a)3(−5ab2)；
(2)(a+1)(a−1)−(a−1)．
18.(本小题4分)
解分式方程：
1x+3−1x−3=2xx2−9．
19.(本小题6分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A(−3,5)，B(−5,2)，C(−1,3)，直线l经过点(0,1)且与x轴平行．
(1)在图中画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′，并写出点A′的坐标；
(2)若点P(a,b)是△ABC内部一点，点P关于直线l的对称点为Q，且PQ=6，则b的值为______．
20.(本小题6分)
先化简：(x−3xx+1)÷x2−4x+4x+1，然后从−1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．
21.(本小题8分)
两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成(x−1)(x−9)，另一位同学因看错了常数项而分解成(x−2)(x−4)．
(1)求原来的二次三项式；
(2)将(1)中的二次三项式分解因式．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
(1)求证：AC=AE；
(2)若E是AB的中点，CD=4，求BD的长．
23.(本小题10分)
某景区有一片蔬果采摘园，小荔决定采摘一些新鲜蔬果.已知西红柿和土豆的采摘价格分别是每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬果一共支付了210元，其中西红柿比土豆少40千克．
(1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克；
(2)小荔计划参加爱心义卖活动，将采摘的部分蔬果拿去义卖，已知西红柿和土豆的义卖所得分别是60元和90元，西红柿的义卖单价是土豆义卖单价的2倍，土豆比西红柿多卖出12千克，求土豆和西红柿各自的义卖单价(列分式方程解应用题).如果小荔将采摘的蔬果全部义卖出去，那么扣除采摘成本后，义卖所得是多少元．
24.(本小题12分)
为了测量一条两岸平行的河流宽度(跨河测量困难)，三个数学小组开展了课题研究.他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表：
(1)由第一小组的方案可知，河宽AB的长度就是线段______的长度；
(2)第二小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路(如图4)，他们商议后决定改变路线，向右转一个等于2∠AOB的角度，继续前行至点H，满足点A，O，H在一条直线上且点H在BD左侧.他们认为只要测得DF和FH的长就可求出河宽AB的长，你认为他们的方案是否可行.如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由；

(3)请你代表第三小组设计一个测量方案，把测量方案和测量方案示意图填入表格，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并证明方案的可行性．
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(a,0)，B(0,b)，且a，b满足a2+2ab+b2+(b−6)2=0，点D为线段AB上一动点，连接OD．
(1)直接写出a= ______，b= ______；
(2)点P是射线OD上一点，连接PA，PB，AO=BP，∠APD=30°.求△PBO的面积；
(3)在(2)的条件下，点E是线段AB上一动点，以OE为边在OE上方作等边△OEF，连接DF.若OD=a，求OF+DF的最小值(结果用含a的式子表示)．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】(−1,2)
12.【答案】x≠2
13.【答案】−3
14.【答案】9
15.【答案】24
16.【答案】①③④
17.【答案】解：(1)(2a)3(−5ab2)
=8a3⋅(−5ab2)
=−40a4b2；
(2)(a+1)(a−1)−(a−1)
=a2−1−a+1
=a2−a．
18.【答案】解：1x+3−1x−3=2xx2−9，
方程可化为1x+3−1x−3=2x(x+3)(x−3)，
方程两边同乘(x+3)(x−3)，得(x−3)−(x+3)=2x，
解得x=−3，
检验：当x=−3时，(x+3)(x−3)=0，不是分式方程的解，
所以原分式方程无解．
19.【答案】4
20.【答案】解：原式=(x2+xx+1−3xx+1)÷(x−2)2x+1
=x(x−2)x+1⋅x+1(x−2)2
=xx−2，
∵x+1≠0且x−2≠0，
∴x≠−1且x≠2，
则可取x=0，
原式=0．
21.【答案】解：(x−1)(x−9)
=x2−9x−x+9
=x2−10x+9，
(x−2)(x−4)
=x2−4x−2x+8
=x2−6x+8，
∴原来的二次三项式为：x2−6x+9；
(2)x2−6x+9=(x−3)2．
22.【答案】(1)证明：∵AD平分∠CAB，
∴设∠CAD=∠EAD=α，
∴∠BAC=2α，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠DEA=90°，CD=CE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
CD=CEAD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE；
(2)解：∵点E是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴∠B=∠EAD=α，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∴α+2α=90°，
∴α=30°，
∴∠CAD=α=30°，
在Rt△ACD中，CD=4，∠CAD=30°，
∴AD=2CD=8，
∴BD=AD=8．
23.【答案】解：(1)设西红柿采摘了x千克，土豆采摘了y千克，
根据题意得：x=y−406x+3y=210，
解得：x=10y=50，
答：西红柿采摘了10千克，土豆采摘了50千克；
(2)设土豆义卖单价为m元/千克，则西红柿的义卖单价为2m元/千克，
根据题意得：90m−602m=12，
解得：m=5，
经检验，m=5是原方程的解，且符合题意，
∴土豆义卖单价为5元/千克，西红柿的义卖单价为10元/千克，
∴扣除采摘成本后，义卖所得是60+90−210=−60(元)，
答：扣除采摘成本后，义卖所得是−60元．
24.【答案】从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD=∠BCA=65°，CD交AB延长线于D BC
25.【答案】−6 6 课题
测量河流宽度
工具
测量角度的仪器(仪器的高度忽略不计)、标杆、皮尺
小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案
如图1，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得∠ACB=45°．
如图2，从点B向正南方向走到点D，O是BD的中点，继续从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点A，O，E在一条直线上．
______
测量方案示意图