丰城市第九中学2025届九年级上学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份丰城市第九中学2025届九年级上学期开学考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是( )
A. 三叶玫瑰线B. 四叶玫瑰线
C. 心形线D. 笛卡尔叶形线
2.小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为( )
A. 13B. 23C. 19D. 29
3.如图，△ABC绕点A按顺时针方向旋转57°后与△AB'C'重合，连接BB'，则∠CAC'=( )
A. 45°
B. 47°
C. 51°
D. 57°
4.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上.若∠BCD=100°，则∠AOD的度数是( )
A. 25°
B. 22.5°
C. 20°
D. 15°
5.关于x的方程ax2-2x-1=0有实数根，则a的取值范围是( )
A. a≥-1B. a>-1C. a≥-1且a≠0D. a>-1且a≠0
6.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①b2-4ac0时，x的取值范围是-10恒成立，
故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①
因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，
则b+c=2k+1②，bc=4k-3③，
因为(b+c)2-2bc=b2+c2=31，
即(2k+1)2-2(4k-3)=31，
整理得：4k2+4k+1-8k+6-31=0，即k2-k-6=0，
解得：k1=3，k2=-2，
∵b+c=2k+1>0即k>-12.bc=4k-3>0即k>34，
∴k2=-2(舍去)，
则b+c=2k+1=7，
又因为a= 31，
则△ABC的周长=a+b+c= 31+7．
14.证明：∵OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，
∴OA=OB，OC=OD．
在△AOD与△BOC中，
∵OA=OB∠O=∠OOD=OC，
∴△AOD≌△BOC(SAS)．
∴AD=BC．
15.解：(a-1a-a-2a+1)÷2a2-aa2+2a+1
=a2-1-a2+2aa(a+1)⋅(a+1)2a(2a-1)
=a+1a2，
∵a是一元二次方程x2-x-1=0的根，
∴a2=a+1，
则原式=a+1a+1=1．
16.(1) 132π；
(2)①如图所示，线段BC即为所求：
∵A(1,4)，B(3,1)，
∴C(6,3)；
②如图点O即为所求：
∵△ABC是直角三角形，即∠ABC=90°，
∴△ABC的外心O即为AC的中点，
∴如图中所示，点O即为所求
17.解：(1)因为口袋中装有3个红球和9个白球，
所以“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件，
所以它发生的概率是0．
(2)设取走了x个白球．
由题意，得9-x3+9=13，
解得x=5．
故取走了5个白球．
18.解：(1)如图，连接AD．
∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，
∴∠ACD=70°．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，
∴∠DAE=90°-40°=50°．
又∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE=12(180°-50°)=65°．
(2)如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，
∴BC=5．
又∵12⋅AF⋅BC=12⋅AC⋅AB，
∴AF=12×3×412×5=125，
∴CF= 32-(125)2=95．
∵AC=AD，AF⊥CD，
∴CD=2CF=185．
19.解：(1)设这两次价格上调的平均增长率为x，
依题意得：10(1+x)2=16.9，
解得：x1=0.3=30%，x2=-2.3(不符合题意，舍去)．
答：这两次价格上调的平均增长率为30%；
(2)设每包应该降价m元，则每包的售价为(10-m)元，每天可售出(30+5m)包，
依题意得：(10-m)(30+5m)=315，
整理得：m2-4m+3=0，
解得：m1=1，m2=3．
又∵要让顾客获得更大的优惠，
∴m的值为3．
答：每包应该降价3元．
20.(1)证明：过O作OH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADO=∠AHO=90°，AD//BE，
∴∠DAO=∠CEO，
∵AC=CE，
∴∠E=∠CAO，
∴∠DAO=∠CAO，
∴OD=OH，
∴AC是⊙O的切线；
(2)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=∠DAH=45°，
∴△COH是等腰直角三角形，
∴OC= 2OD= 2OH，
∵AB=2 2+2，
∴OD+ 2OD=2 2+2，
∴OD=2，
∵∠DAO=∠HAO=12∠DAH=22.5°，
∴∠AOD=90°-22.5°=67.5°，
∴阴影部分的面积=△ADO的面积-扇形DOF的面积=12×(2 2+2)×2-67.5⋅π×22360=2 2+2-3π4．
21.y=-x2-4x-3
【解析】(1)解：由函数y=x2-4x+3知，a1=1，b1=-4，c1=3，
∵a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，
∴a2=-1，b2=-4，c2=-3，
∴y=-x2-4x-3，
故答案为：y=-x2-4x-3；
(2)解：根据题意得：m-1=-nn-3=0，解得m=-2n=3，
∴(m+n)2022=(3-2)2022=1；
(3)证明：化简y=2(x-1)(x+3)得y=2x2+4x-6，
则A、B、C三点的坐标分别为A(1,0)，B(-3,0)，C(0,-6)，
∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为A1(-1,0)，B1(3,0)，C1(0,6)，
∴经过A1、B1、C1三点的函数解析式为y=-2x2+4x+6，
∴y=-2x2+4x+6与原函数y=2(x-1)(x+3)是旋转函数．
22.解：(1)90；DE=2OF．
(2)由旋转的性质，可知△OAB≌△ODE，
∵△OAB为等边三角形，OD平分∠AOB，△ODE为等边三角形，
∴∠DOE=60°，∠AOD=12∠AOB=30°，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°，
∵OA=OE，
∴∠OAE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，∠BAE=∠OAB-∠OAE=15°，
∵F是AE的中点，
∴OF⊥AE，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴DE=OE= 2OF．
(3)2 3或2．
23.解：(1)∵y=x2-2ax+3a=(x-a)2-a2+3a，
又抛物线顶点纵坐标为-4，
∴-a2+3a=-4，
解得：a=-1或a=4(此时顶点不在第三象限，舍去)，
∴抛物线的函数表达式：y=x2+2x-3，
∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，
∴顶点坐标为(-1,-4)；
(2)令y=x2-2ax+3a=0；
解得：x=1或x=-3，
∴点A(-3,0)，B(1,0)，
∴AB=|1-(-3)|=4，
将x=0代入y=x2+2x-3得：y=-3，
∴点G(0,-3)，即OG=|-3|=3，
∴S△ABG=12AB⋅OG=12×4×3=6，
∴△ABG的面积为6；
(3)如图：

∵点B关于对称轴对称的点为点A，
∴AQ=BQ，
∴BQ+GQ=AQ+GQ，
∴A，Q，G共线时，BQ+GQ最小，即线段AG与对称轴的交点即为点Q，
由A(-3,0)，G(0,-3)可得直线AG解析式为y=-x-3，
在y=-x-3中，令x=-1得y=-2，
∴点Q坐标(-1,-2)；
(4)在抛物线上存在一点P，使得△AGP是以AG为直角边的直角三角形，理由如下：
①以点A为直角顶点的直角三角形，过P作PF⊥x轴于F，如图：

∵OA=OG=3，
∴∠GAO=45°，
∵∠GAP=90°，
∴∠PAF=45°，
∴△APF是等腰直角三角形，
设OF=m，则AF=3+m，
∵PF=AF，
∴P(m,3+m)，
∵点P在抛物线y=x2+2x-3上，
∴m2+2m-3=3+m，
解得，m1=2，m2=-3，(不合题意，舍去)，
∴点P(2,5)；
②以G为直角顶点，设抛物线顶点C，连接GC，过C作CH⊥y轴于H，如图：

由(1)知C(-1,-4)，
∵G(0,-3)，
∴∠AGO=45°，CH=1，GH=1，
∴CH=GH，
∴∠GCH=∠CGH=45°，
∴∠AGC=180°-45°-45°=90°，
∴点P即是点C，
∴点P(-1,-4)，
综上所述，满足条件的点P坐标为(2,5)或(-1,-4)．