2025年高考数学基础知识篇（核心知识背记手册）-专项训练

这是一份2025年高考数学基础知识篇（核心知识背记手册）-专项训练，共47页。试卷主要包含了 ，，复数的分类，复数相等，共轭复数，复数的几何意义，复数的模， 推导公式， 辅助角公式等内容，欢迎下载使用。
（核心基础知识背记手册）
目录
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc18296" 基础知识背记01 集合 PAGEREF _Tc18296 \h 2
\l "_Tc19387" 基础知识背记02 常用逻辑用语 PAGEREF _Tc19387 \h 2
\l "_Tc27183" 基础知识背记03 复数 PAGEREF _Tc27183 \h 3
\l "_Tc9294" 基础知识背记04 平面向量 PAGEREF _Tc9294 \h 3
\l "_Tc12268" 基础知识背记05 基本不等式 PAGEREF _Tc12268 \h 4
\l "_Tc12238" 基础知识背记06 三角函数与诱导公式、三角恒等变换 PAGEREF _Tc12238 \h 5
\l "_Tc5608" 基础知识背记07 三角函数的图象及性质 PAGEREF _Tc5608 \h 6
\l "_Tc2187" 基础知识背记08 解三角形 PAGEREF _Tc2187 \h 8
\l "_Tc32576" 基础知识背记09 函数的基本性质 PAGEREF _Tc32576 \h 9
\l "_Tc14069" 基础知识背记10 指数对数幂函数 PAGEREF _Tc14069 \h 11
\l "_Tc25927" 基础知识背记11 函数的零点与方程的根 PAGEREF _Tc25927 \h 14
\l "_Tc7987" 基础知识背记12 导数 PAGEREF _Tc7987 \h 14
\l "_Tc4922" 基础知识背记13 数列 PAGEREF _Tc4922 \h 15
\l "_Tc16497" 基础知识背记14 立体几何 PAGEREF _Tc16497 \h 16
\l "_Tc4311" 基础知识背记15 直线与圆 PAGEREF _Tc4311 \h 22
\l "_Tc31667" 基础知识背记16 圆锥曲线 PAGEREF _Tc31667 \h 26
\l "_Tc14949" 基础知识背记17 排列组合与二项式定理 PAGEREF _Tc14949 \h 30
\l "_Tc1582" 基础知识背记18 概率统计 PAGEREF _Tc1582 \h 31
基础知识背记01 集合
1. 集合有个元素，子集有个，真子集有个，非空真子集个数为个.
2. ，
3.
基础知识背记02 常用逻辑用语
1.充分条件与必要条件
对于若则类型中，为条件，为结论
若充分性成立，若必要性成立
若，，则是的充分必要条件（简称：充要条件）
若，，则是的充分非必要条件（充分不必要条件）
若，，则是的必要非充分条件（必要不充分条件）
若，，则是的既不充分也不必要条件
2.全称量词命题与存在量词命题
全称量词：（任意，所有，全部），含有全称量词的命题，叫做全称量词命题
存在量词：：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词的命题，叫做存在量词命题
3.全称量词命题和存在量词命题的否定
全称量词命题的否定
全称量词命题：，，否定为：，
存在量词命题的否定
存在量词命题：，，否定为：，
基础知识背记03 复数
1.虚数单位：，规定
2.虚数单位的周期
3.复数的代数形式：Z=，叫实部，叫虚部
4.复数的分类
5.复数相等：若
6.共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；，
7.复数的几何意义：复数复平面内的点
8.复数的模：， 则 ；
基础知识背记04 平面向量
1.向量的运算
（1）两点间的向量坐标公式：
，，终点坐标始点坐标
（2）向量的加减法
，，
（3）向量的数乘运算
，则：
（4）向量的模
，则的模
（5）相反向量
已知，则；已知
（6）单位向量
（7）向量的数量积
（8）向量的夹角
（9）向量的投影
（10）向量的平行关系
（11）向量的垂直关系
（12）向量模的运算
基础知识背记05 基本不等式
1.，，（积定和最小）
2.，，（和定积最大）
3.，，
4.推广公式：
基础知识背记06 三角函数与诱导公式、三角恒等变换
1. 特殊角的三角函数值
2. 同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
3. 正弦的和差公式
，
4. 余弦的和差公式
，
5. 正切的和差公式
，
6. 正弦的倍角公式
7. 余弦的倍角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
8. 正切的倍角公式
9. 推导公式
10. 辅助角公式
，，其中，
基础知识背记07 三角函数的图象及性质
1.三角函数的图象与性质
2.三角函数型函数的图象和性质
（1）正弦型函数、余弦型函数性质
，
振幅，决定函数的值域，值域为
决定函数的周期，
叫做相位，其中叫做初相
（2）正切型函数性质
的周期公式为：
3.三角函数的伸缩平移变换
（1）伸缩变换（，是伸缩量）
振幅，决定函数的值域，值域为；
若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比
（2）平移变换（，是平移量）
平移法则：左右，上下
基础知识背记08 解三角形
1.正弦定理
（1）基本公式：
（其中为外接圆的半径）
（2）变形
①
②
③
④
（3）应用：边角互化
①
②
③
或（舍）
2.三角形中三个内角的关系
，，
3.余弦定理
（1）边的余弦定理
，，
（2）角的余弦定理
，，
（3）应用1.求值，求角
①在中，已知，求
，
②在中，已知，求
，
（4）应用2.判断三角形的形状
设为最大边，则为最大角
4.三角形的面积公式
基础知识背记09 函数的基本性质
1.定义域
①分式函数定义域：
②偶次根式函数的定义域：
③次幂型函数的定义域：
④对数函数的定义域：
⑤正切函数的定义域：
2.单调性
（1）单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗
②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘
④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘
⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
（2）复合函数的单调性
3.奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称
偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的四则运算
4.周期性（差为常数有周期）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
5.对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
6.周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
7.奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
基础知识背记10 指数对数幂函数
1.指数函数的图象与性质
2.指数和对数的互化公式
3.对数的性质与运算法则
（1）两个基本对数：
①，②
（2）对数恒等式：
①，②
（3）幂的对数：
①：
②：
③：
（4）积的对数：
（5）商的对数：
4.换底公式：
；
推广1：对数的倒数式
推广2：
5.对数函数的图象与性质
6.幂函数
恒过定点
（1）幂函数的单调性
（2）幂函数的奇偶性
基础知识背记11 函数的零点与方程的根
1. 函数的零点
对于函数，我们把的实数叫做函数的零点
2. 函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系
函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标
方程的实数解
函数的零点
函数的图象与轴有交点
3. 零点存在性定理
如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解
基础知识背记12 导数
1.八大常用函数的求导公式
（1）（为常数）
（2），例：，，，
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
2.导数的四则运算
（1）和的导数：
（2）差的导数：
（3）积的导数：（前导后不导前不导后导）
（4）商的导数：，
3.复合函数的求导公式
函数中，设（内函数），则（外函数）
4.导数的几何意义
（1）导数的几何意义
导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率
（2）直线的点斜式方程
直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：
5.导函数与原函数的关系
单调递增
单调递减
6.极值
（1）极值的定义
在处先↗后↘，在处取得极大值
在处先↘后↗，在处取得极小值
（2）极值与导数的关系
是极值点
是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件
基础知识背记13 数列
1.等差数列通项公式： 或
2.等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项
3.若，为等差数列，则，仍为等差数列
4.等差数列前n项和公式：或
5.等差数列的前项和中，，（为奇数）
6.等比数列通项公式：
7.等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项
8.若，为等比数列，则，仍为等比数列
9.等比数列前项和公式：
10.已知与的关系
11. 分组求和
若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和
12. 裂项相消求和

基础知识背记14 立体几何
1.平面初等几何基础
（1）三角形的面积公式：
（2）正方形的面积公式：
（3）长方形的面积公式：
（4）平行四边形的面积公式：
（5）菱形的面积公式：（，为菱形的对角线）
（6）梯形的面积公式：（为上底，为下底，为高）
（7）圆的周长和面积公式：，
2.立体几何基础公式
（1）所有椎体体积公式：
（2）所有柱体体积公式：
（3）球体体积公式：
（4）球体表面积公式：
（5）圆柱：
（6）圆锥：
3.平面图形的判定定理
（1）高中常用的平行四边形的判定定理
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
②两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）菱形的判定定理
①四边相等的四边形是菱形
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
③一组邻边相等的平行四边形是菱形
（3）正方形的判定定理
①有一个角是直角的菱形是正方形
②一组邻边相等的矩形是正方形
③对角线互相垂直的矩形是正方形
（4）矩形的判定定理
对角线相等且互相平分的四边形是矩形
4.平面图形的对角线
平行四边形的对角线互相平分
菱形的对角线互相垂直平分
矩形的对角线相等且互相平分
正方形的对角线互相垂直平分且相等
5.常见立体几何的定义、性质及其关系
（1）棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行图形，侧面是平行四边形（即侧棱平行且相等）
（2）斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱
（3）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
（4）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
（5）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，即：平行六面体的六个面都是平行四边形
6.四个公理与一个定理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
7.空间中点线面的位置关系
8.长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式
（1）已知长宽高求体对角线：
（2）已知三条面对角线求体对角线：
9.球体问题
（1）球体体积公式：，球体表面积公式：
（2）正方体、长方体、正四棱锥的外接球问题（类型Ⅰ）
球心体心，直径体对角线
已知长宽高，，求体对角线，公式为：
，
（3）直棱柱的外接球问题（类型Ⅱ）
，其中为直棱柱的高，为底面外接圆半径（可用正弦定理求解）
（4）墙角问题可转化为类型Ⅰ
（5）侧棱底面问题可转化为类型Ⅱ
10.空间中的平行关系
（1）线线平行
①三角形、四边形中位线，②平行四边形的性质（对边平行且相等）
③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
（2）线面平行的判定定理：
平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行
（3）线面平行的性质定理
若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行
（4）面面平行的判定定理
（5）面面平行的性质定理
性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面
性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行
11.空间中的垂直关系
（1）线线垂直
①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直
②勾股定理的逆定理证线线垂直
③菱形、正方形的对角线互相垂直
（2）线面垂直的判定定理
（3）线面垂直的性质定理
（4）面面垂直的判定定理
（5）面面垂直的性质定理
12.异面直线所成角
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
13.线面角
直线与平面所成角，(为平面的法向量).
14.二面角的平面角
（，为平面，的法向量）.
15.点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
基础知识背记15 直线与圆
1.两点间的距离公式
，，
2.中点坐标公式
，，为的中点，则：
3.三角形重心坐标公式
4.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系
（1）斜率：表示直线的变化快慢的程度；，直线递增，，直线递减，
（2）倾斜角：直线向上的部分与轴正方向的夹角，范围为
（3）直线的斜率与倾斜角的关系：
5.两点间的斜率公式
，，
6.直线的斜截式方程
，其中为斜率，为轴上的截距
7.直线的点斜式方程
已知点，直线的斜率，则直线方程为：
8.直线的一般式方程
9.两条直线的位置关系
（1）平行的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：，，
（2）重合的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
（3）垂直的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
10.点到直线的距离公式
点，直线，点到直线的距离为：
11.两条平行线间的距离公式
，，
12.圆的标准方程
，其中圆心坐标为，半径为
13.圆的一般方程
（）
配方可得：，
圆心坐标为，半径为
14.表示圆的充要条件：
15.点与圆的位置关系
已知点，圆的方程为：
若，点在圆内
若，点在圆上
若，点在圆外
16.直线与圆的位置关系
直线，圆
代数关系，其中为联立方程根的个数，
几何关系，其中为圆心到直线的距离
17.圆上一点的切线方程
18.圆与圆的位置关系
设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为
若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切
若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；
两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；
两圆内含，公切线的条数为0条；
19.弦长公式
设，，
则
或：
20.圆上一点到圆外一点的距离的最值
21.圆上一点到圆上一点的距离的最值
22.圆上一点到直线距离的最值
23.过圆内一点的最长弦和最短弦
最长弦：直径；最短弦：垂直于直径
基础知识背记16 圆锥曲线
1.椭圆的定义
2.数学表达式
3.椭圆的标准方程
焦点在轴上的标准方程？
椭圆标准方程为：
焦点在轴上的标准方程？
椭圆标准方程为：
4.椭圆中，，的基本关系

5.椭圆的几何性质
6.双曲线的定义
7.数学表达式：
8.双曲线的标准方程
焦点在轴上的标准方程？ 焦点在轴上的标准方程？

标准方程为： 标准方程为：
9.双曲线中，，的基本关系

10.双曲线的几何性质
11.抛物线的定义
平面上一动点到定点的距离与到定直线：的点的轨迹叫做抛物线
12.图形
13.数学表达式
14.标准方程的推导
设，由定义可知：，等式两边同时平方得：
15.抛物线的标准方程及其几何性质
16.通径
通径长：，半通径长：
17.焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）
基础知识背记17 排列组合与二项式定理
1.分类计数原理（加法原理）
.
2.分步计数原理（乘法原理）
.
3.排列数公式
==.(，∈N*，且)．注:规定.
4.组合数公式
===(∈N*，，且).
5.排列数与组合数的关系
.
6．单条件排列
以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有种；
②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.
②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.
（3）两组元素各相同的插空
个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当时，无解；当时，有种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.
7．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有
.
8.二项式定理 ;
二项展开式的通项公式
.
基础知识背记18 概率统计
1. 等可能性事件的概率.
2. 互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
3. 个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
4. 独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
5. 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
6. 次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
7.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）;
（2）.
8. 数学期望
9. 数学期望的性质
（1）.
（2）若～,则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
10. 方差
11. 标准差=.
12.方差的性质
(1)；
(2）若～，则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
13.方差与期望的关系
.
14.正态分布密度函数
，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
15.对于，取值小于x的概率
.
.
16.条件概率
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
17.条件概率的三种求法
18.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝
，此公式为全概率公式.
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
19.贝叶斯公式
一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有
20.数字样本特征
（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数
（3）平均数：，反映样本的平均水平
（4）方差：
反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；
越大，样本波动越大，越不稳定；越小，样本波动越小，越稳定；
（5）标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样
（6）极差：等于样本的最大值最小值
21.求随机变量X的分布列的步骤：
(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若～,则，.
23. 求解概率最大问题的关键是能够通过构造出不等关系，结合组合数公式求解结果
24. 线性回归分析解题方法：
（1）计算的值；（2）计算回归系数；（3）写出回归直线方程.
线性回归直线方程为：，，
其中为样本中心，回归直线必过该点
（4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱）
，正相关；，负相关
25.独立性检验解题方法：
（1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性
独立性检验计算公式
函
数
性
质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
a>1
01; x