江西省新余市第四中学2024届高三下学期4月高考模拟练习（二）数学试题

这是一份江西省新余市第四中学2024届高三下学期4月高考模拟练习（二）数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知连续型随机变量与离散型随机变量满足，，若与的方差相同且，则（ ）.
A．B．C．D．
2．已知为锐角，，则（ ）.
A．B．C．D．
3．已知复数在复平面内表示一个圆周，则在复平面内表示的点构成的形状为：（ ）.
A．圆周B．椭圆周C．双曲线的一部分D．线段
4．已知首项为的等差数列的前项和为，，则（ ）.
A．B．C．D．
5．扇环是指一个圆环从圆心引出两条射线截出的部分.组成同一扇环的大、小两弧分别称为外弧与内弧，外弧与内弧在其对应圆上对应的弦为外弦与内弦.如图：两个全等的扇环圆心角为，按此方式摆放，我们会认为环更大，这就是“贾斯特罗错觉”.现顺势延长环使环的内弧长等于环的外弧长，若外、内弧对应圆半径比为，则延长后的内弦与的外弦长度比为（ ）.
A．B．C．D．
6．函数为偶函数，则的值为：（ ）.
A．B．C．D．
7．空间中有三条两两异面的直线，为其中一条直线上一定点，过引直线使其与这三条异面直线都相交，则对于任意的定点，存在的直线有（ ）条.
A．B．C．D．无数
8．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（ ）.
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知定义在上恒正且可导的函数与满足，，则：（ ）.
A．B．
C．恒成立D．与的大小关系无法确定
10．“马鞍面”在建筑美学中有重要应用，将两个顶点重合开口方向相反，且拥有共同对称轴的两条抛物线、分别置于相互垂直的平面内，现固定一条抛物线不动，使另一抛物线平移，且满足其顶点始终位于上，则划过的曲面就是马鞍面（如图所示）.现用一个垂直于、共同对称轴的平面截其对应的马鞍面，则截面的形状可能为：（ ）.
A．B．
C．D．
11．关于的方程的实根个数可能为：（ ）.
A．B．C．D．
三、填空题
12．已知全集为，集合，请写出一个非空点集，使对于唯一固定的满足： .
13．已知函数在内有且仅有个零点，则的取值范围是： .
14．“设函数在区间上可导，则在上至少存在一点使得”这就是著名的“拉格朗日中值定理”.已知函数上的三点Ax1,y1，Bx2,y2，满足，其中为定值，记的斜率分别为.若对于，总使，则的取值范围是： .（参考极限式：）
四、解答题
15．在中，，为的角平分线，在线段上.
(1)求证：；
(2)求的长.
16．在分析学中，我们给出了函数极限的两个性质：①保号性：若，则存在（足够小）使在区间恒有；若，则存在（足够大），当时恒有；（）同理；②保不等式性：若，则，其中与可以是无穷.注意：可以是一个常数，也可以是.已知函数的导函数为.
(1)设为在处的切线，求出的方程并证明的图像恒在曲线的下方.
(2)令，求证：对，恒有两个零点.
17．在平面直角坐标系中有椭圆，已知其离心率为，焦距为.
(1)求的方程.
(2)已知为的右焦点，经过原点的直线与交于两点（在第一象限），直线分别交与两点，直线与直线交于.求证：在定直线上.
18．如图，在三棱锥中，为在平面内的射影点，已知，，，，.

(1)请以、为基底表示，并证明.
(2)求证平面.
(3)设分别为中点，为平面内一点，若，求到平面的距离.
19．生命的诞生与流逝是一个永恒的话题，就某种细胞而言，由该种细胞的一个个体进行分裂，分裂后成为新细胞而原细胞不复存在，多次分裂后，由该个细胞繁殖而来的全部细胞均死亡，我们称该细胞“灭绝”.现已知某种细胞有的概率分裂为个细胞（即死亡），...，有的概率分裂为个细胞.记事件：细胞最终灭绝，：细胞第一次分裂为个细胞.记该细胞第一次分裂后有个个体（分裂后的细胞互不影响），在概率论中，我们用的数学期望作为衡量生物灭绝可能性的依据，如果，则在理论上细胞就不会灭绝；相反，如果，则理论上我们认为细胞在足够多代的繁殖后会灭绝，而这两种情况在生物界中都是普遍存在的.
(1)直接写出的数学期望.
(2)用只含和的概率式表示并证明该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根.
(3)若某种细胞发生基因突变，当时.
（ⅰ）若当其分裂为两个细胞后，有一个细胞具有与原细胞相同的活力，而另一细胞则在此后丧失分裂为两个的能力（即只有可能分裂成个或个），求证：该细胞的灭绝是必然事件.
（ⅱ）受某种辐射污染，若当其分裂为两个细胞后分裂生成的两个细胞此后均丧失分裂为个的能力，并等可能分裂为个或个细胞.我们称为“泛滥型细胞”，已知：，求出一个该种泛滥型细胞经过次分裂，得到个细胞的概率.
参考答案：
1．A
【分析】由正态分布和二项分布的性质可得结果.
【详解】，，，
，由对称性：，
故.
故选：A.
2．C
【分析】利用三角函数的和差公式展开，整理得，再利用三角函数的基本关系式即可得解.
【详解】因为，
所以，
即，
易知，所以，则，
又为锐角，所以.
故选：C.
3．D
【分析】根据复数的几何意义得出故，进而得出在直线上结合自变量范围得出线段.
【详解】表示点，故，
，由此可知表示：，在直线上，
又，所以表示一条线段.
故选：D.
4．B
【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以：.
故选：B
5．D
【分析】设外、内弧对应圆半径分别为，且，由题意可得，求解可得，进而可求结论.
【详解】设外、内弧对应圆半径分别为，且，
由已知可得的外弧长：，的内弧长：，
由题意可得两式相等得：，解得；
易得延长后的内弦长：，的外弦长：，显然：比值为.
故选：D.
6．D
【分析】利用函数的奇偶性列式化简即可求值.
【详解】，，
由函数为偶函数，则 ，
即，解得：.
故选：D.
7．A
【分析】过点作过另两条直线的平面，则两平面有唯一交线，可判断直线的条数.
【详解】如图：在正方体中，不妨设三条两两异面的直线为，
令，作平面过，则过与相交的直线都在平面内，
作平面过，则过与相交的直线都在平面内，.
平面与平面不平行且不重合，有且仅有一条公共直线，
所以直线只有1条.
故选：A.
8．C
【分析】设，进而可得.可求得，进而求得的范围即可.
【详解】设，
，，
.在△与△中：，
即：，
，
当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，
当与轴重合时，取最小，此时，
经上述分析得：，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的焦点三角形问题，考查焦点三角形内切圆，解题的关键是根据双曲线的性和圆的切线的性质得到的范围，数形结合的思想的应用.
9．AC
【分析】令，结合题意，利用导数讨论的单调性即可判断AB；法一：由即可判断CD；法二：令，，利用导数讨论的单调性即可判断CD.
【详解】令，则，
且与恒正，
，单调递增，
，即：，故A正确，B错误.
法一：，成立，故C正确，D错误.
法二：令，，
，单调递增，
又，故，
.故C正确，D错误.
故选：AC
10．AC
【分析】设，先向轴正方向运动了个单位到,运算可得，进而分，两种情况可得结论.
【详解】设，
记在中，，对顶点先向轴负方向运动了个单位，
即先向轴正方向运动了个单位到；
接下来顶点向轴负方向运动了个单位，沿轴正方向观察，
相当于平面向上平移了个单位，向轴负方向运动后横坐标由变为
，，即：，
①当时，原式可退化为：，表示两条相交直线；
②时，原方程为：表示一对双曲线.
故选：AC.
11．ABC
【分析】利用函数得导函数判断函数的单调性，从而可确定函数图象与轴交点的个数，即方程的实根个数.
【详解】（曲线与方程）法一：构造函数：令，下探究的零点：
，设，
则，，所以单调递增，
，，故使，
即：，
当时，单调递减；
当时，单调递增，，
，所以，
因为，，比较与的大小，
可转化为与，即比较与的大小.
其中，所以总使：当时，，没有实数根；
当时，，有一实数根；
当时，，有两个实数根.
法二：根据题意知，
所以，对两边分别取对数，则可得，
设，则，
令，当，，所以单调递减，
当时，，单调递增，所以当时取得最小值，
，
当时，，没有实数根；
当时，，有一个实数根；
当时，，有两个实数根.
故选：ABC
12．（答案不唯一）
【分析】根据题意，得到集合表示一条直线，且原点到直线的距离等于，进而得到答案.
【详解】由直线，可得原点到直线的距离为，
所以直线表示与单位圆相切的一条直线，
即集合表示一条直线，且原点到直线的距离等于，
故可构造集合，使得.
故答案为：（答案不唯一）
13．
【分析】由题意可得，令得，分类讨论t的取值情况，建立不等式组，解之即可求解.
【详解】，
令，则.，
当①时，得或
当②时，得
当③时，得
联立以上各式解得，
即实数a的取值范围为
故答案为：
14．
【分析】求出和，当，证明单调递减，证明单调递增，由得直线与有三个公共点，并验证是否符合题意，当，求出的单调区间，求出，证明单调递增，求解的取值范围.
【详解】因为，
则，记，则，
①，则：，
此时单调递减，
又f′x>0，所以单调递增，
由得直线与有三个公共点，
单调递减，取则使，
使，
由于f′x单调递减，则：，，不符合题意，舍去，
②，x∈0,1，令，
当时，单调递减，
当时，，f′x单调递增，
，
单调递增，易知：在0和1处的极限分别为与.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于分和两种情况并证明单调性.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在和中，利用正弦定理得到，，两式相比，即可证明结果；
（2）法一：在中，利用余弦定理得到，利用（1）中结果，有，，在中，利用余弦定理得，从而得到或，在中，利用余弦定理得，从而得到或，即可求解；法二：利用余弦定理得，，两式相加，即可求解.
【详解】（1）因为，为的角平分线，
在中，因为，得到①，
在中，因为，得到②，
又，由①②得到，
所以.
（2）法一：在中，，
得到，即，
由（1）知，所以，，
在中，，得到，
解得或，
在中，，得到
解得或，所以.
法二：在中，可算，
又，，
又，两式相加可解得.
16．(1)，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）二阶求导，即可根据点斜式求解切线方程，构造函数，求导即可根据单调性求解，
（2）根据（1）知，故，构造函数，求导，判断函数单调性，结合保号性即可求证.
【详解】（1），记则，
，
下试证：，即证：令：，，
当时，，Fx单调递增；当时，，Fx单调递减.
，故：，即：得证.
（2），
，
当时：
当x∈0,1时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，当时，
由（1）知，故，
由函数的保不等式性：，故：
故
下试证：，在x∈0,1时，，故，
记，
当x∈0,1时，，单调递减，
单调递增，
当x∈0,1时，，故：.
由极限的保号性：使在内gx>0，则使；同理，，使
有两个零点.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得，求解即可；
（2）设：Ax1,y1，，，，联立直线与椭圆方程，利用根与系数和关系可得，进而可得点的坐标，进而求得直线的方程，求得点的横坐标为定值可得结论.
【详解】（1）由已知可得，解得：，
故：.
（2）设：Ax1,y1，，，，
联立，
得：.
故：，联立得：.
又：.，
，同理：.
由直线的两点式方程：，
即：，
化简得：，
由：解得：为定值，即：在直线上.
18．(1)，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）构造，使得点为的重心，利用三角形重心的性质，用，表示.
（2）先证平面，得到，再在中，利用勾股定理的逆定理得到，依据线面垂直的判定定理，可证线面垂直.
（3）证明，可以以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】（1）如图：中：

延长到，使；延长到，使.
因为，所以，
所以点为的重心.
所以，
所以.
又因为
即.
因为.
所以.
（2）如图：

因为平面，平面，所以；
又，平面，，所以平面，
又平面，所以.
又因为，
所以，所以；
在中，，，所以.
又，所以，所以.
在中，，，所以.
在中，，，，因为，所以.
又平面，，所以平面.
（3）因为.
因为，所以，且.
延长交于，因为，所以为线段的中点.
所以可以以为原点，建立如图空间直角坐标系.

则，，，，，，，
所以，，.
因为平面，，平面，所以，所以.
设平面的法向量为m=x,y,z.
则，令得：.
又，所以到平面的距离为：
.
【点睛】结论点睛：（1）若在所在的平面上，且为的重心.
（2）若为的重心，则.
19．(1)
(2)，，证明见解析
(3)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）对于求随机变量的数学期望，根据数学期望的定义，是各个取值与其对应概率乘积的和.
（2）在求事件A的概率表示时，需要用到全概率公式.对于证明灭绝概率是方程的根，要根据条件逐步推导.
（3）对于证明细胞灭绝是必然事件，要根据新的分裂规则求出新的数学期望并判断.求经过n次分裂得到3个细胞的概率，需要根据分裂规则建立递推关系求解.
【详解】（1）.
（2），
则：，
，由于分裂后细胞相互独立，
. ，
所以：.
若能取到中的所有数，则令：，有：，
为该方程的一个实根，.，
由于的每一项在上均单调递增，故单调递增，.
由于，则：①当时，单调递减，，，故在，只有唯一零点，
这是原方程的最小正实根，符合的实际意义；
②当时，，故唯一使，
此时在单调递减，在单调递增且.
所以在有两个零点与，其中：.由于，
故，故，此时也取到原方程的最小正实根，符合的实际意义.
综上：该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根.
（3）（ⅰ）由（2）可知：若一个细胞失去分裂为两个的能力，则灭绝概率，
故对该细胞母体：，
，解得：，该细胞的灭绝是必然事件.
（ⅱ）由条件：，
，
.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解时，读懂题目，利用全概率的知识求解；二是求解的最值时，根据解析式的特点，利用导数和数列知识来求解.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
B
D
D
A
C
AC
AC
题号
11









答案
ABC